3.4實(shí)際問題與一元一次方程

3.4實(shí)際問題與一元一次方程一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?益陽(yáng)期末）甲、乙兩人練習(xí)賽跑，甲每秒鐘跑7米，乙每秒鐘跑6.5米，他倆從同一地點(diǎn)起跑，乙先跑5米后，甲出發(fā)追趕乙．設(shè)甲出發(fā)x秒后追上乙，則下列四個(gè)方程中正確的是（）A．7x＝6.5x+5 B．7x＝6.5x﹣5 C．7x+5＝6.5x D．（7+6.5）x＝5【分析】首先理解題意找出題中存在的等量關(guān)系：乙跑的路程＝甲跑的路程，根據(jù)此等式列方程即可．【解析】設(shè)甲出發(fā)x秒鐘后追上乙，則甲所跑的路程為7x，而此時(shí)乙所跑的路程為6.5x+5；根據(jù)此時(shí)“甲追上乙”那么他們的總路程應(yīng)該相同，即7x＝6.5x+5．故選：A．2．（2021秋?華州區(qū)期末）某商人一次賣出兩件商品．一件賺了15%，一件賠了15%，賣價(jià)都是1955元，在這次買賣過程中，商人（）A．賠了90元 B．賺了90元 C．賺了100元 D．不賠不賺【分析】根據(jù)利潤(rùn)問題，設(shè)賺了15%的商品的成本為x元，則x（1+15%）＝1955，賠了15%的商品的成本為y元，則y（1﹣15%）＝1955，再分別解方程求出x和y，然后比較兩件商品的成本與它們的銷售價(jià)即可判斷賺或賠．【解析】設(shè)賺了15%的商品的成本為x元，則x（1+15%）＝1955，解得x＝1700（元），賠了15%的商品的成本為y元，則y（1﹣15%）＝1955，解得y＝2300（元），所以兩件商品的總成本為1700元+2300元＝4000元，而4000元﹣2×1955元＝90元，所以在這次買賣過程中，商人賠了90元．故選：A．3．（2022秋?高邑縣期末）某快遞分派站現(xiàn)有若干件包裹需快遞員派送．若每個(gè)快遞員派送10件，還剩6件；若每個(gè)快遞員派送12件，還差6件，則分派站現(xiàn)有包裹為（）A．60件 B．66件 C．68件 D．72件【分析】設(shè)分派站現(xiàn)有包裹x件，根據(jù)“若每個(gè)快遞員派送10件，還剩6件；若每個(gè)快遞員派送12件，還差6件”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)分派站現(xiàn)有包裹x件，依題意得：x-解得：x＝66．故選：B．4．（2023?光澤縣模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多出9人無車坐．問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C．x3+2=x2-9 D．3（x﹣2【分析】設(shè)車x輛，根據(jù)乘車人數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解析】設(shè)車x輛，根據(jù)題意得：3（x﹣2）＝2x+9．故選：B．5．（2022秋?聊城期末）足球比賽的記分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，若一個(gè)隊(duì)打了14場(chǎng)比賽得17分，其中負(fù)了5場(chǎng)，那么這個(gè)隊(duì)勝了（）場(chǎng)．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】設(shè)這個(gè)隊(duì)勝了x場(chǎng)，根據(jù)一支球隊(duì)打了14場(chǎng)，負(fù)5場(chǎng)，則平（14﹣5﹣x）場(chǎng)，再根據(jù)共得分17分，就可以列方程，求解即可．【解析】設(shè)這個(gè)隊(duì)勝了x場(chǎng)，則平（14﹣5﹣x）場(chǎng)，由題意得：3x+（14﹣5﹣x）＝17，解得：x＝4．即該球隊(duì)勝了4場(chǎng)．故選：B．二．填空題（共3小題）6．（2023春?耒陽(yáng)市期末）某商品按定價(jià)的八折出售，售價(jià)為14元，則原定價(jià)是17.5元．【分析】設(shè)商品原定價(jià)為x元，根據(jù)題意列方程求解，即可得到答案．【解析】設(shè)商品原定價(jià)為x元，由題意得：0.8x＝14，解得：x＝17.5，即商品原定價(jià)為17.5元，故答案為：17.5．7．（2022秋?馬尾區(qū)期末）（古代數(shù)學(xué)問題）今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：幾個(gè)人一起去買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問有多少人，物品的價(jià)格是多少？設(shè)有x人，則根據(jù)題意列出方程8x﹣3＝7x+4．【分析】可設(shè)有x個(gè)人，根據(jù)所花總錢數(shù)不變列出方程即可．【解析】設(shè)有x人，根據(jù)題意，可列方程：8x﹣3＝7x+4，故答案為：8x﹣3＝7x+4．8．（2023?漢陰縣一模）把1～9這九個(gè)數(shù)填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一條對(duì)角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”，它源于我國(guó)古代的“洛書”（圖1），是世界上最早的“幻方”．圖2是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則xy的值為1．【分析】根據(jù)題意將“九宮格”補(bǔ)充完整，由“九宮格”的性質(zhì)可得出關(guān)于x，y的一元一次方程，解之即可得出x，y的值，再將其代入xy中即可求出結(jié)論．【解析】將“九宮格”補(bǔ)充完整，如圖所示．依題意得：4+y+2＝2+5+8，8+x+6＝2+5+8，解得：x＝1，y＝9，∴xy＝19＝1．故答案為：1．三．解答題（共4小題）9．（2022秋?清河區(qū)校級(jí)期末）一家商店因換季將某種服裝打折銷售，如果每件服裝按標(biāo)價(jià)的5折出售，將虧本20元，如果按標(biāo)價(jià)的8折出售，將盈利40元．（1）每件服裝的標(biāo)價(jià)是多少元？（2）打幾折銷售能恰好保證利潤(rùn)率為50%？【分析】（1）設(shè)每件服裝的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)每件服裝按標(biāo)價(jià)的5折出售，將虧本20元，如果按標(biāo)價(jià)的8折出售，將盈利40元得：0.5x+20＝0.8x﹣40，即可解得答案；（2）設(shè)打m折銷售能恰好保證利潤(rùn)率為50%，根據(jù)售價(jià)＝進(jìn)價(jià)×（1+利潤(rùn)率）得：200×m10=（0.5×200+20）×【解析】（1）設(shè)每件服裝的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)題意得：0.5x+20＝0.8x﹣40，解得x＝200，∴每件服裝的標(biāo)價(jià)是200元；（2）設(shè)打m折銷售能恰好保證利潤(rùn)率為50%，根據(jù)題意得：200×m10=（0.5×200+20）×解得m＝9，答：打9折銷售能恰好保證利潤(rùn)率為50%．10．（2023?橫山區(qū)三模）如圖，大長(zhǎng)方形是由5個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為2.4cm的正方形拼成的，請(qǐng)求出大長(zhǎng)方形的面積（列一元一次方程解）?【分析】設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為xcm，由題意列出方程，即可求解．【解析】設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為xcm，由題意可得：3x+2.4＝2.4×2，解得：x＝0.8，∴大長(zhǎng)方形的面積＝（2.4×2）×（0.8+2.4）＝15.36cm2．11．（2022秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）某車間為提高生產(chǎn)總量，在原有16名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的3倍多4人．（1）求調(diào)入多少名工人；（2）在（1）的條件下，每名工人每天可以生產(chǎn)240個(gè)螺栓或400個(gè)螺母，1個(gè)螺栓需要2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應(yīng)該安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？【分析】（1）設(shè)調(diào)入x名工人，根據(jù)“調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的3倍多4人“得：16+x＝3x+4，可解得答案；（2）設(shè)y名工人生產(chǎn)螺栓，由“1個(gè)螺栓需要2個(gè)螺母”，可得240y×2＝400（22﹣y），即可解得答案．【解析】（1）設(shè)調(diào)入x名工人，根據(jù)題意得：16+x＝3x+4，解得x＝6，∴調(diào)入6名工人；（2）由（1）知，調(diào)入6名工人后，車間有工人16+6＝22（名），設(shè)y名工人生產(chǎn)螺栓，則（22﹣y）名工人生產(chǎn)螺母，∵每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，∴240y×2＝400（22﹣y），解得y＝10，∴22﹣y＝22﹣10＝12，答：10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，可使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套．12．（2022秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）某種商品按成本提高20%后標(biāo)價(jià)，節(jié)假日期間又以標(biāo)價(jià)打八折銷售，結(jié)果這種商品每件虧損了64元，問這件商品成本多少元？（虧損＝成本﹣售價(jià)）【分析】首先設(shè)這件商品的進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：（1+20%）×進(jìn)價(jià)×打折＝進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)，根據(jù)等量關(guān)系代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得方程，再解方程即可．【解析】設(shè)這件商品進(jìn)價(jià)x元，依題意有（1+20%）x?80%＝x﹣64，0.96x＝x﹣64，解得x＝1600．答：這件商品進(jìn)價(jià)1600元．一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?鄭州期末）如圖，現(xiàn)有3×3的方格，每個(gè)小方格內(nèi)均有2﹣10之間不同的數(shù)字，要求方格內(nèi)每一行、每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等，圖中給出了部分?jǐn)?shù)字，則P處對(duì)應(yīng)的數(shù)字是（）A．2 B．4 C．5 D．7【分析】設(shè)下面中間的數(shù)為x，分別表示出相應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)每一行、每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等，列出方程求解即可．【解析】設(shè)下面中間的數(shù)為x，則三個(gè)數(shù)字之和為8+x，8﹣3＝5，8+x﹣3﹣6＝x﹣1，8+x﹣2﹣（x﹣1）＝7，5+6+7﹣7﹣3＝8，如圖所示：P+6+8＝7+6+5，解得P＝4．故選：B．二．解答題（共3小題）2．（2022秋?道縣期末）2021年“雙十一”期間，很多國(guó)貨品牌受到人們的青睞，銷量大幅增長(zhǎng)．某平臺(tái)的體育用品旗艦店實(shí)行優(yōu)惠銷售，規(guī)定如下：對(duì)原價(jià)160元/件的某款運(yùn)動(dòng)速干衣和20元/雙的某款運(yùn)動(dòng)棉襪開展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案A：買一件運(yùn)動(dòng)速干衣送一雙運(yùn)動(dòng)棉襪；方案B：運(yùn)動(dòng)速干衣和運(yùn)動(dòng)棉襪均按9折付款．某戶外俱樂部準(zhǔn)備購(gòu)買運(yùn)動(dòng)速干衣30件，運(yùn)動(dòng)棉襪x雙（x≥30）．（1）若該戶外俱樂部按方案A購(gòu)買，需付款（20x+4200）元（用含x的式子表示）；若該戶外俱樂部按方案B購(gòu)買，需付款（18x+4320）元（用含x的式子表示）；（2）若x＝40，通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買較為合算；（3）當(dāng)購(gòu)買運(yùn)動(dòng)棉襪多少雙時(shí)兩種方案付款相同．【分析】（1）根據(jù)兩種不同的優(yōu)惠方案列出代數(shù)式即可；（2）將x＝40分別代入（1）所列代數(shù)式計(jì)算比較即可；（3）根據(jù)“兩種方案付款相同”列出方程并解答．【解析】（1）按方案A購(gòu)買，需付款：30×1600+20（x﹣30）＝20x+4200，即需要付款（20x+4200）元；按方案B購(gòu)買，需付款：30×160×0.9+20×0.9x＝18x+4320，即需要付款（18x+4320）元．故答案為：（20x+4200），（18x+4320）；（2）當(dāng)x＝40時(shí)，方案A：20×40+4200＝5000（元）．方案B：18×40+4320＝5040（元）．因?yàn)?000＜5040，所以按方案A購(gòu)買較為合算；（3）根據(jù)題意，得20x+4200＝18x+4320．解得x＝60．答：當(dāng)購(gòu)買運(yùn)動(dòng)棉襪60雙時(shí)，兩種方案付款相同．3．（2023?仙游縣校級(jí)模擬）某校為2023級(jí)初一新生采購(gòu)1000套校服，已知購(gòu)買一套男生校服需花費(fèi)135元，購(gòu)買一套女生校服需花費(fèi)150元，本次采購(gòu)花費(fèi)143700元，求該校采購(gòu)的男生校服和女生校服的套數(shù)．【分析】設(shè)該校采購(gòu)的男生校服x套，女生校服（1000﹣x）套，由題意知，135x+150（1000﹣x）＝143700，解得，x＝420，則1000﹣x＝580，然后作答即可．【解析】設(shè)該校采購(gòu)的男生校服x套，女生校服（1000﹣x）套，由題意知，135x+150（1000﹣x）＝143700，去括號(hào)得，135x+150000﹣150x＝143700，移項(xiàng)合并得，﹣15x＝﹣6300，系數(shù)化為1得，x＝420，∴1000﹣x＝580（套），∴該校采購(gòu)的男生校服420套，女生校服580套．4．（2023?廣平縣校級(jí)開學(xué)）一輛快車從甲站開向乙站，速度是65.5千米/時(shí)，過了1小時(shí)后，一輛慢車又從甲站開向乙站，速度是58.5千米時(shí)．當(dāng)快車到達(dá)乙站時(shí)，慢車離乙站還有104千米．甲、乙兩站相距多少千米？【分析】根據(jù)“當(dāng)快車到達(dá)乙站時(shí)，慢車離乙站還有104千米”列方程求解．【解析】甲、乙兩站相距x千米，則：58.5×（x65.5-1）＝x解得：x＝425.75，答：甲、乙兩站相距425.75米．一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期末）某超市推出如下優(yōu)惠方案：（1）購(gòu)物款不超過200元不享受優(yōu)惠；（2）購(gòu)物款超過200元但不超過600元一律享受九折優(yōu)惠；（3）購(gòu)物款超過600元一律享受八折優(yōu)惠．小明的媽媽兩次購(gòu)物分別付款168元、423元．如果小明的媽媽在超市一次性購(gòu)買與上兩次價(jià)值相同的商品，則小明的媽媽應(yīng)付款（）元．A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80【分析】要求他一次性購(gòu)買以上兩次相同的商品，應(yīng)付款多少元，就要先求出兩次一共實(shí)際買了多少元，第一次購(gòu)物顯然沒有超過200，即是168元．第二次就有兩種情況，一種是超過200元但不超過600元一律9折；一種是購(gòu)物超過600元一律8折，依這兩種計(jì)算出它購(gòu)買的實(shí)際款數(shù)，再按第三種方案計(jì)算即是他應(yīng)付款數(shù)．【解析】（1）第一次購(gòu)物顯然沒有超過200元，即在第二次消費(fèi)168元的情況下，他的實(shí)質(zhì)購(gòu)物價(jià)值只能是168元．（2）第二次購(gòu)物消費(fèi)423元，則可能有兩種情況，這兩種情況下付款方式不同（折扣率不同）：①第一種情況：他消費(fèi)超過200元但不足600元，這時(shí)候他是按照9折付款的．設(shè)第二次實(shí)質(zhì)購(gòu)物價(jià)值為x，那么依題意有x×0.9＝423，解得：x＝470．①第二種情況：他消費(fèi)超過600元，這時(shí)候他是按照8折付款的．設(shè)第二次實(shí)質(zhì)購(gòu)物價(jià)值為x，那么依題意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去）即在第二次消費(fèi)423元的情況下，他的實(shí)際購(gòu)物價(jià)值可能是470元．綜上所述，他兩次購(gòu)物的實(shí)質(zhì)價(jià)值為168+470＝638（元），超過了600元．因此一次性購(gòu)買可以按照8折付款：638×0.8＝510.4（元）綜上所述，她應(yīng)付款510.4元．故選：C．2．（2022秋?廣陽(yáng)區(qū)期末）為響應(yīng)習(xí)總書記“綠水青山，就是金山銀山”的號(hào)召，某校今年3月爭(zhēng)取到一批植樹任務(wù)，領(lǐng)到一批樹苗，按下列方法依次由各班領(lǐng)?。旱谝话囝I(lǐng)取全部的110，第二班領(lǐng)取100棵和余下的110，第三班領(lǐng)取200棵和余下的110，第四班領(lǐng)取300A．6400 B．8100 C．9000 D．4900【分析】設(shè)樹苗總數(shù)為x棵，根據(jù)各班的樹苗數(shù)都相等，可得出第一班和第二班領(lǐng)取的樹苗數(shù)相等，由此可得出方程．【解析】設(shè)樹苗總數(shù)x棵，根據(jù)題意得：110x＝100+110（x-1解得：x＝9000，答：樹苗總數(shù)是9000棵．故選：C．二．解答題（共1小題）3．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上有A，B，C三個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)﹣20，﹣8，16，有兩條動(dòng)線段PQ和MN（點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），PQ＝2，MN＝4，線段MN以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B開始向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段PQ以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A開始向右勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，線段PQ立即以相同的速度返回；當(dāng)點(diǎn)Q回到點(diǎn)A時(shí)，線段PQ、MN同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ和MN保持長(zhǎng)度不變）．（1）當(dāng)t＝20時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為8，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣8．（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)CQ＝PM時(shí)，求出點(diǎn)M表示的數(shù)．（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)兩條線段有重合部分時(shí)，速度均變?yōu)樵瓉淼囊话?，?dāng)重合部分消失后，速度恢復(fù)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段PQ和MN重合部分長(zhǎng)度為1.5時(shí)所對(duì)應(yīng)的t的值．【分析】（1）當(dāng)t＝20時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為8；當(dāng)t＝20時(shí)，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣8；（2）當(dāng)t≤12時(shí)，Q表示的數(shù)是﹣20+3t，P表示的數(shù)是﹣22+3t，M表示的數(shù)是﹣12+t，36﹣3t＝|﹣10+2t|，此時(shí)﹣12+t＝﹣12+465=-145，當(dāng)12＜t≤24時(shí)，Q表示的數(shù)是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的數(shù)是50﹣3t，M表示的數(shù)是﹣12+t，3t﹣36＝|62（3）當(dāng)PQ從A向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，﹣8+32（t﹣4）﹣[﹣8+12（t﹣4）]＝1.5或﹣4+12（t﹣4）﹣[﹣10+32（t﹣4）]＝1.5，當(dāng)PQ從C向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，132+12（t-352）﹣[132-32（t-352【解析】（1）∵﹣8﹣4+20×1＝8，∴當(dāng)t＝20時(shí)，點(diǎn)M表示的數(shù)為8；∵16﹣{20×3﹣[16﹣（﹣20）]}＝﹣8，∴當(dāng)t＝20時(shí)，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣8；故答案為：8，﹣8；（2）當(dāng)t≤12時(shí)，Q表示的數(shù)是﹣20+3t，P表示的數(shù)是﹣22+3t，M表示的數(shù)是﹣12+t，∴CQ＝16﹣（﹣20+3t