專題23解答題重點出題方向反比例函數(shù)與幾何綜合專項訓練

專題23解答題重點出題方向反比例函數(shù)與幾何綜合專項訓練（解析版）模塊一2022中考真題集訓1．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，一次函數(shù)y＝2x+b與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象交于點A（1，4），與y軸交于點（1）k＝4，b＝2；（2）連接并延長AO，與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象交于點C，點D在y軸上，若以O(shè)、C、D為頂點的三角形與△AOB相似，求點思路引領(lǐng)：（1）將點A（1，4）分別代入反比例函數(shù)y=kx（k≠0）和一次函數(shù)y＝2x+（2）根據(jù)題意，需要分類討論：當點D落在y軸的正半軸上，當點D落在y軸的負半軸上，△COD∽△AOB或△COD∽△BOA，依次根據(jù)比例關(guān)系，求解即可．解：（1）將點A（1，4）代入反比例函數(shù)y=kx（∴k＝1×4＝4；將A（1，4）代入一次函數(shù)y＝2x+b，∴2×1+b＝4，解得b＝2．故答案為：4；2．（2）當點D落在y軸的正半軸上，則∠COD＞∠ABO，∴△COD與△ABO不可能相似．當點D落在y軸的負半軸上，若△COD∽△AOB，∵CO＝AO，BO＝DO＝2，∴D（0，﹣2）．若△COD∽△BOA，則OD：OA＝OC：OB，∵OA＝CO=17，BO∴DO=17∴D（0，?17綜上所述：點D的坐標為（0，﹣2），（0，?17總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的系數(shù)，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行分類討論．2．（2022?徐州）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與反比例函數(shù)y=8x（x＞0）的圖象交于點A，與x軸交于點B，與y軸交于點C，AD⊥x軸于點D，CB＝CD，點C關(guān)于直線AD的對稱點為點（1）點E是否在這個反比例函數(shù)的圖象上？請說明理由；（2）連接AE、DE，若四邊形ACDE為正方形．①求k、b的值；②若點P在y軸上，當|PE﹣PB|最大時，求點P的坐標．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)點A的坐標為（m，8m），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AD⊥CE，AD平分CE，如圖，連接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，4m），于是得到點（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH=12AD，設(shè)點A的坐標為（m，8m），得到m＝2（負值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx②延長ED交y軸于P，根據(jù)已知條件得到點B與點D關(guān)于y軸對稱，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，則點P即為符合條件的點，求得直線DE的解析式為y＝x﹣2，于是得到結(jié)論．解：（1）點E在這個反比例函數(shù)的圖象上，理由：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k＞0）的圖象與反比例函數(shù)y=8x（x＞0）的圖象交于點∴設(shè)點A的坐標為（m，8m∵點C關(guān)于直線AD的對稱點為點E，∴AD⊥CE，AD平分CE，如圖．連接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC=12∵AD⊥x軸于D，∴CE∥x軸，∴E（2m，4m∵2m×4∴點E在這個反比例函數(shù)的圖象上；（2）①∵四邊形ACDE為正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH=12設(shè)點A的坐標為（m，8m∴CH＝m，AD=8∴m=1∴m＝2（負值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，2k+b=4b=2∴k=1b=2②延長ED交y軸于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴點B與點D關(guān)于y軸對稱，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，則點P即為符合條件的點，由①知，A（2，4），C（0，2），∴D（2，0），E（4，2），設(shè)直線DE的解析式為y＝ax+n，∴2a+n=04a+n=2∴a=1n=?2∴直線DE的解析式為y＝x﹣2，當x＝0時，y＝﹣2，∴P（0，﹣2）．故當|PE﹣PB|最大時，點P的坐標為（0，﹣2）．總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022?安順）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點D在y軸上，A，C兩點的坐標分別為（4，0），（4，m），直線CD：y＝ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象交于C，（1）求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；（2）判斷點B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y=kx可得反比例函數(shù)的解析式為y=16x（2）連接AC，BD交于H，由C（4，4），P（﹣8，﹣2）得直線CD的解析式是y=12x+2，即得D（0，2），根據(jù)四邊形ABCD是菱形，知H是AC中點，也是BD中點，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），設(shè)B（p，q），有p+02=4q+22=2，可解得解：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y=k﹣2=k解得k＝16，∴反比例函數(shù)的解析式為y=16∵C（4，m）在反比例函數(shù)y=16∴m=16∴反比例函數(shù)的解析式為y=16x，（2）B在反比例函數(shù)y=16連接AC，BD交于H，如圖：把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：4a+b=4?8a+b=?2解得a=1∴直線CD的解析式是y=12在y=12x+2中，令x＝0得∴D（0，2），∵四邊形ABCD是菱形，∴H是AC中點，也是BD中點，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），設(shè)B（p，q），∵D（0，2），∴p+02解得p=8q=2∴B（8，2），在y=16x中，令x＝8得∴B在反比例函數(shù)y=16總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，函數(shù)圖象上點坐標的特征等，解題的關(guān)鍵是求出點B的坐標．4．（2022?濟南）如圖，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象交于點A（a，3），與（1）求a，k的值；（2）直線CD過點A，與反比例函數(shù)圖象交于點C，與x軸交于點D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點P在反比例函數(shù)的圖象上，點Q在x軸上，若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P坐標．思路引領(lǐng)：（1）將點A的坐標代入y=12x+1求得a，再把點A坐標代入y=（2）先求出A，B，C三點坐標，作CF⊥x軸于F，交AB于E，求出點E坐標，從而求得CE的長，進而求得三角形ABC的面積；（3）當AB為對角線時，先求出點P的縱坐標，進而代入反比例函數(shù)的解析式求得橫坐標；當AB為邊時，同樣先求出點P的縱坐標，再代入y=12x求得點解：（1）把x＝a，y＝3代入y=1212∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y=k3=k∴k＝12；（2）∵點A（4，3），D點的縱坐標是0，AD＝AC，∴點C的縱坐標是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y=12x得∴C（2，6），①如圖1，作CF⊥x軸于F，交AB于E，當x＝2時，y=1∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴S△ABC=12②如圖2，當AB是對角線時，即：四邊形APBQ是平行四邊形，∵A（4，3），B（0，1），點Q的縱坐標為0，∴yP＝1+3﹣0＝4，當y＝4時，4=12∴x＝3，∴P（3，4），當AB為邊時，即：四邊形ABQP是平行四邊形（圖中的?ABQ′P′），由yQ′﹣yB＝y(tǒng)P′﹣yA得，0﹣1＝y(tǒng)P′﹣3，∴yP′＝2，當y＝2時，x=12∴P′（6，2），綜上所述：P（3，4）或（6，2）．總結(jié)提升：本題主要考查了求反比例函數(shù)的解析式，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求點的坐標，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求點的坐標等知識，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形，全面分類．5．（2022?盤錦）如圖，平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是菱形，點A在y軸正半軸上，點B的坐標是（﹣4，8），反比例函數(shù)y=kx(x＜0)（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點D在邊CO上，且CDDO=34，過點D作DE∥x軸，交反比例函數(shù)的圖象于點思路引領(lǐng)：（1）過點B作BF⊥y軸，垂足為F，設(shè)點A為（0，m），根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出OA＝BC＝AB＝5，然后求出點C的坐標，即可求出解析式；（2）作DG⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為G、H，先證明△ODG∽△OCH，求出OG=167，DG=127，然后得到點解：（1）根據(jù)題意，過點B作BF⊥y軸，垂足為F，如圖：∵四邊形OABC是菱形，設(shè)點A為（0，m），∴OA＝BC＝AB＝m，∵點B為（﹣4，8），∴BF＝4，AF＝8﹣m，在直角△ABF中，由勾股定理，則AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，解得：m＝5，∴OA＝BC＝AB＝5，∴點C的坐標為（﹣4，3），把點C代入y=kx，得∴反比例函數(shù)的解析式為y=?12（2）作DG⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為G、H，如圖，∵CDDO∴ODOC∵DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴OGOH∵點C的坐標為（﹣4，3），∴OH＝4，CH＝3，∴OG4∴OG=167，∴點D的縱坐標為127∵DE∥x軸，∴點E的縱坐標為127∴127=?12∴點E的坐標為（﹣7，127總結(jié)提升：本題考查了菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練理解題意，正確的作出輔助線，從而進行解題．6．（2022?聊城）如圖，直線y＝px+3（p≠0）與反比例函數(shù)y=kx（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象交于點A（2，q），與y軸交于點B，過雙曲線上的一點C作x軸的垂線，垂足為點D，交直線y＝px+3于點E，且S△AOB：S△（1）求k，p的值；（2）若OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，求點C的坐標．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)解析式求出B點的坐標，根據(jù)A點的坐標和B點的坐標得出三角形AOB的面積，根據(jù)面積比求出三角形COD的面積，設(shè)出C點的坐標，根據(jù)面積求出k的值，再用待定系數(shù)法求出p即可；（2）根據(jù)C點的坐標得出E點的坐標，再根據(jù)面積相等列出方程求解即可．解：（1）∵直線y＝px+3與y軸交點為B，∴B（0，3），即OB＝3，∵點A的橫坐標為2，∴S△AOB=1∵S△AOB：S△COD＝3：4，∴S△COD＝4，設(shè)C（m，km∴12m?k解得k＝8，∵點A（2，q）在雙曲線y=8∴q＝4，把點A（2，4）代入y＝px+3，得p=1∴k＝8，p=1（2）∵C（m，km∴E（m，12m∵OE將四邊形BOCE分成兩個面積相等的三角形，∴S△BOE＝S△COE，∵S△BOE=32m，S△COE=∴32m=m解得m＝4或m＝﹣4（不符合題意，舍去），∴點C的坐標為（4，2）．總結(jié)提升：本題主要考查反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．7．（2022?大慶）已知反比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y＝x﹣1，其中一次函數(shù)圖象過（3a，b），（3a+1，b（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）如圖，函數(shù)y=13x，y＝3x的圖象分別與函數(shù)y=kx（x＞0）圖象交于A，B兩點，在y軸上是否存在點思路引領(lǐng)：（1）把（3a，b），（3a+1，b+k3）代入y＝（2）作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接AB′交y軸于點P，連接BP，此時AP+BP的最小，即△ABP周長最小，先求出A，B兩點坐標，從而求出AB的長，再根據(jù)點B與點B′關(guān)于y軸對稱，求出B′的坐標，從而求出AB′的長，進而求出△ABP周長的最小值．解：（1）把（3a，b），（3a+1，b+k3）代入y＝b=3a?1b+解得：k＝3，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y=3（2）存在，作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接AB′交y軸于點P，連接BP，此時AP+BP的最小，即△ABP周長最小，由題意得：y=3解得：x=1y=3或x=?1∴B（1，3），由題意得：y=3解得：x=3y=1或x=?3∴A（3，1），∴AB＝22，∵點B與點B′關(guān)于y軸對稱，∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，∴AB′＝25，∴AP+BP＝AP+B′P＝AB′＝25，∴AP+BP的最小值為25，∴△ABP周長最小值＝25+22∴△ABP周長的最小值為25+22總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．（2022?湖北）如圖，OA＝OB，∠AOB＝90°，點A，B分別在函數(shù)y=k1x（x＞0）和y=k2（1）求k1，k2的值；（2）若點C，D分別在函數(shù)y=k1x（x＞0）和y=k2x（x＞0）的圖象上，且不與點A，B重合，是否存在點C，D，使得△COD≌△思路引領(lǐng)：（1）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；（2）根據(jù)△COD≌△AOB和反比例函數(shù)的對稱性可得：B與C關(guān)于x軸對稱，A與D關(guān)于x軸對稱，可得結(jié)論．解：（1）如圖1，過點A作AG⊥y軸于G，過點B作BH⊥y軸于H，∵A（1，4），∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠AOG＝∠OBH，∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，∴△AGO≌△OHB（AAS），∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，∴B（4，﹣1），∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；（2）存在，如圖2，∵△COD≌△AOB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴B與C關(guān)于x軸對稱，A與D關(guān)于x軸對稱，∴C（4，1），D（1，﹣4）．總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的對稱的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)是軸對稱圖形是解本題的關(guān)鍵．9．（2022?雅安）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點A的坐標為（m，2），點B在x軸上，將△ABO向右平移得到△DEF，使點D恰好在反比例函數(shù)y=8x（（1）求m的值和點D的坐標；（2）求DF所在直線的表達式；（3）若該反比例函數(shù)圖象與直線DF的另一交點為點G，求S△EFG．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平移的特點和反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出D，F(xiàn)點的坐標，再利用待定系數(shù)法解答即可；（3）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，根據(jù)三角形的面積公式解答即可．解：（1）過A點作AH⊥BO于H，∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），∴OH＝AH＝2，∴m＝﹣2，由平移可得D點縱坐標和A點縱坐標相同，設(shè)D（n，2），∵D在y=8∴n＝4，∴D（4，2）．（2）過D作DM⊥EF于M，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFM＝45°，∴DM＝MF＝2，由D（4，2）得F（6，0），設(shè)直線DF的表達式為：y＝kx+b，將F（6，0）和D（4，2）代入得：2=4k+b0=6k+b解得：k=?1b=6∴直線DF的表達式為y＝﹣x+6．（3）延長FD交y=8x圖像于點y=?x+6y=解得：x1=4y∴G（2，4），由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，∴S△EFG=12EF?Gy總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022?常德）如圖，已知正比例函數(shù)y1＝x與反比例函數(shù)y2的圖象交于A（2，2），B兩點．（1）求y2的解析式并直接寫出y1＜y2時x的取值范圍；（2）以AB為一條對角線作菱形，它的周長為410，在此菱形的四條邊中任選一條，求其所在直線的解析式．思路引領(lǐng)：（1）運用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)解析式，求出點B的坐標，（也可以直接利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的對稱性得出點B的坐標．）觀察圖象即可得出x的取值范圍；（2）過點A作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，可證得△AOE是等腰直角三角形，得出：∠AOE＝45°，OA=2AE＝22，再根據(jù)菱形性質(zhì)可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根據(jù)對稱性可得C解：（1）設(shè)反比例函數(shù)y2=kx，把A（2，2）代入，得：2解得：k＝4，∴y2=4由y=xy=4x，解得：x∴B（﹣2，﹣2），由圖象可知：當y1＜y2時，x＜﹣2或0＜x＜2；注明：也可以直接利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)圖象的對稱性得出點B的坐標．（2）過點A作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，∵A（2，2），∴AE＝OE＝2，∴△AOE是等腰直角三角形，∴∠AOE＝45°，OA=2AE＝22∵四邊形ACBD是菱形，∴AB⊥CD，OC＝OD，∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，∵∠DFO＝90°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴DF＝OF，∵菱形ACBD的周長為410，∴AD=10在Rt△AOD中，OD=A∴DF＝OF＝1，∴D（1，﹣1），由菱形的對稱性可得：C（﹣1，1），設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n，則m+n=?12m+n=2解得：m=3n=?4∴AD所在直線的解析式為y＝3x﹣4；同理可得BC所在直線的解析式為y＝3x+4，AC所在直線的解析式為y=13x+43，BD所在直線的解析式為y總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)等，難度適中，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．11．（2022?蘇州）如圖，一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=mx（m≠0，x＞0）的圖象交于點A（2，n），與y軸交于點B，與x軸交于點（1）求k與m的值；（2）P（a，0）為x軸上的一動點，當△APB的面積為72時，求a思路引領(lǐng)：（1）把點C的坐標代入一次函數(shù)的解析式求出k，再求出點A的坐標，把點A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式中，可得結(jié)論；（2）根據(jù)S△CAP＝S△ABP+S△CBP，構(gòu)建方程求解即可．解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k=1∴y=12把A（2，n）代入y=12x+2，得∴A（2，3），把A（2，3）代入y=mx，得∴k=12，（2）當x＝0時，y＝2，∴B（0，2），∵P（a，0）為x軸上的動點，∴PC＝|a+4|，∴S△CBP=12?PC?OB=12×|a+4|×2＝|a+4|，S△CAP=12PC∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，∴32|a+4|=72∴a＝3或﹣11．總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．12．（2022?眉山）已知直線y＝x與反比例函數(shù)y=kx的圖象在第一象限交于點M（2，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖，將直線y＝x向上平移b個單位后與y=kx的圖象交于點A（1，m）和點B（n，﹣1），求（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點C，D，求證：△AOD≌△BOC．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)一次函數(shù)求出M點坐標，再代入反比例函數(shù)計算即可；（2）先求出A的點坐標，再代入平移后的一次函數(shù)解析式計算即可；（3）過點A作AE⊥y軸于點E，過B點作BF⊥x軸于點F，即可根據(jù)A、B坐標證明△AOE≌△BOF（SAS），得到∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，再求出C、D坐標即可得到OC＝OD，即可證明△AOD≌△BOC．（1）解：∵直線y＝x過點M（2，a），∴a＝2，∴將M（2，2）代入y=kx中，得∴反比例函數(shù)的解析式為y=4（2）解：由（1）知，反比例函數(shù)的解析式為y=4∵點A（1，m）在y=4∴m＝4，∴A（1，4），由平移得，平移后直線AB的解析式為y＝x+b，將A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；（3）證明：如圖，過點A作AE⊥y軸于點E，過B點作BF⊥x軸于點F．由（1）知，反比例函數(shù)的解析式為y=4∵點B（n，﹣1）在y=4∴n＝﹣4，∴B（﹣4，﹣1），∵A（1，4），∴AE＝BF，OE＝OF，∴∠AEO＝∠BFO，∴△AOE≌△BOF（SAS），∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，由（2）知，b＝3，∴平移后直線AB的解析式為y＝x+3，又∵直線y＝x+3與x軸、y軸分別交于點C，D，∴C（﹣3，0），D（0，3），∴OC＝OD，在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOE=∠BOF∴△AOD≌△BOC（SAS）．總結(jié)提升：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練根據(jù)坐標找線段關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2022?樂山）如圖，已知直線l：y＝x+4與反比例函數(shù)y=kx（x＜0）的圖象交于點A（﹣1，n），直線l′經(jīng)過點A，且與l關(guān)于直線（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求圖中陰影部分的面積．思路引領(lǐng)：（1）將A點坐標代入直線l解析式，求出n的值，確定A點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式即可；（2）通過已知條件求出直線l′解析式，用△BOC的面積﹣△ACD的面積解答即可．解：（1）∵點A（﹣1，n）在直線l：y＝x+4上，∴n＝﹣1+4＝3，∴A（﹣1，3），∵點A在反比例函數(shù)y=kx（∴k＝﹣3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=?3（2）易知直線l：y＝x+4與x、y軸的交點分別為B（﹣4，0），C（0，4），∵直線l′經(jīng)過點A，且與l關(guān)于直線x＝﹣1對稱，∴直線l′與x軸的交點為E（2，0），設(shè)l′：y＝kx+b，則3=?k+b0=2k+b解得：k=?1b=2∴l(xiāng)′：y＝﹣x+2，∴l(xiāng)′與y軸的交點為D（0，2），∴陰影部分的面積＝△BOC的面積﹣△ACD的面積=12×總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確地求得反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．14．（2022?株洲）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在函數(shù)y1=2x（x＜0）、y2=kx（x＞0，k＞0）的圖象上，點C在第二象限內(nèi)，AC⊥x軸于點P，BC⊥y軸于點Q，連接AB、（1）求點A的橫坐標；（2）記四邊形APQB的面積為S，若點B的橫坐標為2，試用含k的代數(shù)式表示S．思路引領(lǐng)：（1）把y＝﹣2代入y1=2x（（2）求得B（2，k2），即可得到PC＝OQ=k2∴AC＝2+k2，BC＝1+2＝3，然后根據(jù)S＝S△ABC解：（1）∵點A在函數(shù)y1=2x（x＜0）的圖象上，點∴﹣2=2x，解得∴點A的橫坐標為﹣1；（2）∵點B在函數(shù)y2=kx（x＞0，k＞0）的圖象上，點∴B（2，k2∴PC＝OQ=k2，∵A（﹣1，﹣2），∴OP＝CQ＝1，AP＝2，∴AC＝2+k2，∴S＝S△ABC﹣S△PQC=12AC?BC?12PC?CQ=總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，表示出線段的長度是解題的關(guān)鍵．15．（2022?自貢）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=nx的圖象相交于A（﹣1，2），B（（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）過點B作直線l∥y軸，過點A作AD⊥l于點D，點C是直線l上一動點，若DC＝2DA，求點C的坐標．思路引領(lǐng)：（1）先把A（﹣1，2）代入反比例函數(shù)y=nx求出n的值即可得出其函數(shù)解析式，再把B（m，﹣1）代入反比例函數(shù)的解析式即可得出m的值，把A，B兩點的坐標代入一次函數(shù)y＝kx+b，求出k、（2）根據(jù)已知確定AD的長和點D的坐標，由DC＝2AD可得DC＝6，從而得點C的坐標．解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函數(shù)y=n∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，∴其函數(shù)解析式為y=?2∵B（m，﹣1）在反比例函數(shù)的圖象上，∴﹣m＝﹣2，∴m＝2，∴B（2，﹣1）．∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）兩點在一次函數(shù)y＝kx+b的圖象上，∴?k+b=22k+b=?1，解得k=?1∴一次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x+1；（2）∵直線l∥y軸，AD⊥l，∴AD＝3，D（2，2），∵DC＝2DA，∴DC＝6，∵點C是直線l上一動點，∴C（2，8）或（2，﹣4）．總結(jié)提升：本題是反比例的綜合題，考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，在解答此題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．16．（2022?開封二模）如圖，平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=nx（n≠0）與一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象相交于點A（1，m），（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出kx+b＞n（3）已知直線AB與y軸交于點C，點P（t，0）是x軸上一動點，作PQ⊥x軸交反比例函數(shù)圖象于點Q，當以C，P，Q，O為頂點的四邊形的面積等于2時，求t的值．思路引領(lǐng)：（1）把點B坐標可確定反比例函數(shù)關(guān)系式，進而確定點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）由圖象的交點坐標以及函數(shù)的增減性直接得出答案；（3）利用點P坐標和三角形的面積公式列方程求解即可．解：（1）點B（﹣3，﹣1）在反比例函數(shù)y=n∴n＝﹣3×（﹣1）＝3，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=3當x＝1時，m=3∴點A（1，3），把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx+b得，?3k+b=?1k+b=3解得k=1b=2∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝x+2，答：反比例函數(shù)關(guān)系式為y=3x，一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝（2）由圖象可知，不等式kx+b＞nx的解集為x＞1或﹣3＜（3）一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝x+2與y軸的交點C（0，2），即OC＝2，當以C，P，Q，O為頂點的四邊形的面積等于2，即S△COP+S△POQ＝2，而S△POQ=12|k|∴12×|t|×2即|t|=1∴t=±因此t=±12時，使以C，P，Q，總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的交點坐標，利用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式以及由函數(shù)關(guān)系式求交點坐標是解決問題的關(guān)鍵．17．（2022?裕安區(qū)校級一模）如圖，在菱形ABCD中，AD∥x軸，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（4，0）．CD邊所在直線y1＝mx+n與x軸交于點C，與雙曲線y2=kx（x＜0）交于點（1）求直線CD對應(yīng)的函數(shù)解析式及k的值．（2）當x＜0時，使y1﹣y2≤0的自變量x的取值范圍為﹣5≤x＜0．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)勾股定理求得AB的長，進而求得D、C的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線CD的函數(shù)表達式及k的值；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象即可求得使y1≤y2的自變量x的取值范圍，即可得到結(jié)論．解：（1）∵點A（0，3），點B（4，0），∴AO＝3，BO＝4．在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=3∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝BC＝AB＝5，∴OC＝5﹣4＝1，∴點C的坐標為（﹣1，0），點D的坐標為（﹣5，3）．∴對于直線y1＝mx+n，有?m+n=0?5m+n=3解得m=?3∴y=?34∵雙曲線y2=kx（x＜0）交于點∴k＝﹣5×3＝﹣15；（2）由圖象可知，當﹣5≤x＜0時，y1≤y2，所以，當x＜0時，使y1﹣y2≤0的自變量x的取值范圍為﹣5≤x＜0，故答案為﹣5≤x＜0．總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求解析式等；求得D、C的坐標是解題的關(guān)鍵．18．（2022?林州市一模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊BC在x軸上，點A坐標為（2，4），點M是AB的中點，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點M，交CD于點（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）若反比例函數(shù)圖象上的一個動點P（m，n）在正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界），求△POC面積的最小值．思路引領(lǐng)：（1）先確定點M的坐標，再把點M點的坐標代入y=kx中求出（2）利用正方形的性質(zhì)確定點C的坐標為（6，0），再利用反比例函數(shù)解析式確定點N的坐標為（6，23），利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到當m＝6時，n有最小值23，然后計算出△解：（1）∵點A坐標為（2，4），∴OB＝2，AB＝4，∵M是AB的中點，∴點M的坐標是（2，2），把點M（2，2）代入y=kx得∴反比例函數(shù)解析式為y=4（2）∵四邊形ABCD是正方形，點A的坐標是（2，4），∴點C的坐標是（6，0），當x＝6時，y=4∴點N的坐標是（6，23∵反比例函數(shù)y=4x圖象上的動點P（m，n）在正方形∴n隨m的增大而減少，且2≤m≤6，∴當m＝6時，n有最小值23∴△POC面積的最小值為12×6總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，k≠0），然后把一個已知點的坐標代入求出19．（2022?槐蔭區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系第一象限中，已知點A坐標為（1，0），點D坐標為（1，3），點G坐標為（1，1），動點E從點G出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度勻速向點D方向運動，與此同時，x軸上動點B從點A出發(fā)，以相同的速度向右運動，兩動點運動時間為t（0＜t＜2），以AD、AB分別為邊作矩形ABCD，過點E作雙曲線交線段BC于點F，作CD中點M，連接BE、EF、EM、FM．（1）當t＝1時，求點F的坐標．（2）若BE平分∠AEF，則t的值為多少？（3）若∠EMF為直角，則t的值為多少？思路引領(lǐng)：（1）由題意可得點E（1，2），可得雙曲線解析式：y=2x，即可求點（2）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得EF＝BF＝1，即可求t的值；（3）延長EM，BC交于點N，由“AAS”可證△DEM≌△CNM，可得EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，由“SAS”可證△EMF≌△NMF，可得EF＝NF，即可求t的值．解：（1）當t＝1時，EG＝1×1＝1＝AB∴點E（1，2）設(shè)雙曲線解析式：y=∴k＝1×2＝2∴雙曲線解析式：y=∵OB＝OA+AB＝2，∴當x＝2時，y＝1，∴點F（2，1）（2）∵EG＝AB＝t，∴點E（1，1+t），點B（1+t，0）設(shè)雙曲線解析式：y=∴m＝1+t∴雙曲線解析式：y=當x＝1+t時，y＝1∴點F（1+t，1）∵BE平分∠AEF∴∠AEB＝∠BEF，∵AD∥BC∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF∴EF＝BF＝1∴(t+1?1)2+(1+t?1)∴t=（3）延長EM，BC交于點N，∵EG＝AB＝t，∴點E（1，1+t），點B（1+t，0）∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t，設(shè)雙曲線解析式：y=∴n＝1+t∴雙曲線解析式：y=當x＝1+t時，y＝1∴點F（1+t，1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM，∴△DEM≌△CNM（AAS）∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，∵CF＝BC﹣BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t，∵∠EMF為直角，∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF，∴△EMF≌△NMF（SAS），∴EF＝NF，∴2t＝4﹣t∴t＝42?總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，利用方程的思想解決問題是本題的關(guān)鍵．20．（2022?禮縣校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標軸上，且OA＝2，OC＝4，連接OB．反比例函數(shù)y=k1x（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點B、F．一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象經(jīng)過E（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式．（2）點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，求點P的坐標．思路引領(lǐng)：（1）由矩形的性質(zhì)及中點坐標公式可得D（2，1），從而可得反比例函數(shù)表達式；再求出點E、F坐標可用待定系數(shù)法解得一次函數(shù)的解析式；（2）作點E關(guān)于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，則此時PE+PF最小．求出直線E'F的解析式后令y＝0，即可得到點P坐標．解：（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，∴B（4，2）．由中點坐標公式可得點D坐標為（2，1），∵反比例函數(shù)y=k1x（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB∴k1＝xy＝2×1＝2，故反比例函數(shù)表達式為y=2令y＝2，則x＝1；令x＝4，則y=1故點E坐標為（1，2），F(xiàn)（4，12設(shè)直線EF的解析式為y＝k2x+b，代入E、F坐標得：2=k解得：k2故一次函數(shù)的解析式為y=?1（2）作點E關(guān)于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，則此時PE+PF最?。鐖D．由E坐標可得對稱點E'（1，﹣2），設(shè)直線E'F的解析式為y＝mx+n，代入點E'、F坐標，得：?2=m+n1解得：m=5則直線E'F的解析式為y=5令y＝0，則x=17∴點P坐標為（175故答案為：（175總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點，中點坐標公式，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，最短路徑問題（將軍飲馬）．解題關(guān)鍵在于牢固掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、將軍飲馬解題模型．21．（2022?湘潭縣校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過AO的中點C，交AB于點D，且AD＝3．若點D的坐標為（4，（1）求反比例函數(shù)y=k（2）設(shè)點E是x軸上一動點，若△CEB的面積等于6，求點E的坐標．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)線段中點的概念求出點C的坐標，解方程組求出k，得出反比例函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點E的坐標為（x，0），根據(jù)△CEB的面積等于6求出x的值即可．解：（1）∵點D的坐標為（4，n），AD＝3，∴點A的坐標為（4，n+3），∵點C是AO的中點，∴點C的坐標為（2，n+32把點C、D的坐標代入y=k得4n=k2×解得：n=1k=4則反比例函數(shù)的解析式為：y=4（2）設(shè)點E的坐標為（x，0），由（1）知，C（2，2），∵S△CBE=12∴BE＝6，當點E在點B左側(cè)時，E（﹣2，0）；當點E在點B右側(cè)時，E（12，0）．綜上所述，點E的坐標為（﹣2，0）或（12，0）．總結(jié)提升：本題考查的是待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟知待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟是解題的關(guān)鍵．22．（2022?臺山市校級一模）如圖，矩形OABC的邊AB、BC分別與反比例函數(shù)y=4x的圖象相交于點D、E，OB與DE相交于點（1）若點B的坐標為（4，2），求點D、E、F的坐標；（2）求證：點F是ED的中點．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，D點橫坐標為4，E點縱坐標為2，再結(jié)合D、E點在函數(shù)y=4x上，即可求D、E點坐標，由待定系數(shù)法求出直線ED、直線OB的解析式，直線ED與OB的交點即為（2）利用中點坐標公式求出ED的中點，剛好和F點重合．（1）解：∵點B的坐標為（4，2），∴D點橫坐標為4，E點縱坐標為2，∴D（4，1），E（2，2），設(shè)直線ED的解析式為y＝kx+b，∴4k+b=12k+b=2解得k=?1∴直線ED的解析式為y=?12∵直線OB的解析式為y=12聯(lián)立方程組y=?1解得x=3y=∴F（3，32（2）證明：設(shè)點B（a，b），∴點E（4b，b），點D（a，4∴則DE的中點坐標為（ab+42b，ab+4∵點B（a，b），點O（0，0），∴直線OB的解析式為：y=ba當x=ab+42b時，y∴DE的中點在直線OB上，即點F是ED的中點．總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，中點坐標公式，直線交點的求法是解題的關(guān)鍵．23．（2022?太康縣校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象與矩形OABC的邊AB、BC分別交于點M、N，且M為AB的中點，點（1）求反比例函數(shù)的解析式．（2）求△MON的面積．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥y軸，AB＝3，OA＝BC＝4，求出點M的坐標，再求出k即可；（2）求出點N的坐標，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠BCO＝∠BAO＝∠B＝90°，BN＝4﹣2＝2，BM＝1.5，OC＝BA＝3，根據(jù)圖象得出△MON的面積S＝S矩形OCBA﹣S△OCN﹣S△BMN﹣S△OAM，再求出答案即可．解：（1）∵四邊形OCBA是矩形，B（4，3），∴AB∥y軸，AB＝3，OA＝BC＝4，∵M為AB的中點，∴M的坐標是（4，1.5），把M點的坐標代入y=kx，得所以反比例函數(shù)的解析式是y=6（2）把y＝3代入y=6x，得即點N的坐標是（2，3），∵四邊形OCBA是矩形，B（4，3），M（4，1.5），∴∠BCO＝∠BAO＝∠B＝90°，BN＝4﹣2＝2，BM＝1.5，OC＝BA＝3，∴△MON的面積S＝S矩形OCBA﹣S△OCN﹣S△BMN﹣S△OAM＝4×3?12×3×2?＝12﹣3﹣1.5﹣3＝4.5．總結(jié)提升：本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識點，能求出點M和N的坐標是解此題的關(guān)鍵．24．（2022?湘潭縣校級模擬）如圖，在平面直角坐標系Oxy中，函數(shù)y=kx（其中x＜0）的圖象經(jīng)過平行四邊形ABOC的頂點A，函數(shù)y=8x（其中x＞0）的圖象經(jīng)過頂點C，點B在x軸上，若點（1）求k的值；（2）求直線AB的解析式．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)點C的橫坐標是2求出C點坐標，再由平行四邊形得出AC∥x軸，根據(jù)三角形的面積公式求出AC的長，故可得出A點坐標，進而可得出k的值；（2）根據(jù)四邊形ABOC是平行四邊形可知BO＝AC＝3，故可得出B（﹣3，0），再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可．解：（1）∵點C的橫坐標是2，∴2y＝8，y＝4∴C（2，4），∵四邊形ABOC是平行四邊形，∴AC∥x軸，∵S△AOC＝6，即12×4∴AC＝3，∴AD＝3﹣2＝1，∴點A的坐標為（﹣1，4）∴k＝﹣1×4＝﹣4；（2）∵四邊形ABOC是平行四邊形，∴BO＝AC＝3∴B（﹣3，0）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），則?3k+b=0?k+b=0∴k=2b=6∴直線AB的解析式為y＝2x+6．總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，三角形面積的計算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．25．（2022?香洲區(qū)校級三模）如圖，已知反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，2），過A作AC⊥y軸于點C．點B為反比例函數(shù)圖象上一動點，過點B作BD⊥x軸于點D，連接AD．直線BC與x軸的負半軸交于點（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）若BD＝3OC，求直線BC的解析式；（3）是否存在點B，使得四邊形ACED為平行四邊形？若存在，請求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）求出直線BC的解析式，可得E點坐標，求出DE，BD即可解決問題．（3）設(shè)B（a，8a），由平行四邊形的性質(zhì)可得△BCF∽△BED，利用相似三角形的性質(zhì)可求得a的值，則可求得B解：（1）∵反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象經(jīng)過點∴m＝8，∴反比例函數(shù)y=8x（（2）∵AC⊥y軸，A（4，2），∴OC＝2，∵BD＝3OC，∴BD＝6，∵BD⊥x軸，∴B（43∵C（0，2），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則有b=24解得k=3b=2∴直線BC的解析式為y＝3x+2；（3）存在．如圖，設(shè)BD交AC于F．設(shè)B（a，8a∵A（4，2）∴AC＝4，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴DE＝AC＝4，且CF∥DE，∴△BCF∽△BED，∴CFDE=BFBD，即∴B（2，4）．總結(jié)提升：本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想等知識．在（1）中用待定系數(shù)法，在（3）中由平行四邊形的性質(zhì)得到相似三角形，從而得到關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．26．（2022?金鳳區(qū)校級一模）如圖，點A的坐標為（0，4），BA＝OA，BA⊥y軸，反比例函數(shù)（x＜0）的圖象經(jīng)過點B，點C在線段AB上運動（不與點A，B重合），過點C作DE⊥x軸于點E，交反比例函數(shù)圖象于點D，將線段DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FE，連接OC，F(xiàn)C，BD，且點C為線段AB的中點．（1）求k的值；（2）求證：OC＝BD．（3）求直線CF的解析式．思路引領(lǐng)：（1）可求得點B的坐標，進而求得k的值；（2）先求得點D的坐標，進而得出BC，CD的值，進而證明△BCD≌△OEC，進而得出結(jié)果；（3）先求得點F的坐標，設(shè)直線CF的解析式為：y＝mx+n，將點F和點C坐標，進一步得出結(jié)果．（1）解：∵A（0，4），AB＝OA，∴點B（﹣4，4），∴y=k∴k＝xy＝4×（﹣4）＝﹣16；（2）證明：∵點時AB的中點，∴CA=12∴xD＝xC＝﹣2，∴yD=?16∴CD＝DE﹣CE＝4，∴CD＝CE，∵OE＝AE＝BC＝2，∠BCD＝∠CEO＝90°，∴△BCD≌△OEC（SAS），∴OC＝BD；（3）解：∵EF＝DE＝8，∴OF＝OE+EF＝2+8＝10，∴點F（﹣10，0）設(shè)直線CF的解析式為：y＝mx+n，∴?2m+n=4?10m+n=0∴m=1∴y=12總結(jié)提升：本題考查了求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．27．（2022?靖江市校級模擬）如圖，在直角坐標系中，Rt△ABC的直角邊AC在x軸上，∠ACB＝90°，AC＝1，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過BC邊的中點（1）直接寫出這個反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=3x（2）若△ABC與△EFG關(guān)于點M成中心對稱，且△EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點E在這個函數(shù)的圖象上．①直接寫出OF的長1、對稱中心點M的坐標（32，32②連接AF，BE，證明四邊形ABEF是正方形．思路引領(lǐng)：（1）由D點坐標可求得k的值，可求得反比例函數(shù)的表達式；（2）①由中心對稱的性質(zhì)可知△ABC≌△EFG，由D點坐標可求得B點坐標，從而可求得BC和AC的長，由全等三角形的性質(zhì)可求得GE和GF，則可求得E點坐標，從而可求得OF的長，再由B，F(xiàn)兩點的坐標求出對稱中心點M的坐標即可；②由條件可證得△AOF≌△FGE，則可證得AF＝EF＝AB，且∠EFA＝∠FAB＝90°，則可證得四邊形ABEF為正方形．解：（1）∵反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過點∴k＝3×1＝3，∴反比例函數(shù)表達式為y=3故答案為：y=3（2）①∵D為BC的中點，∴BC＝2，B（3，2）∵△ABC與△EFG成中心對稱，∴△ABC≌△EFG（中心對稱的性質(zhì)），∴GF＝BC＝2，GE＝AC＝1，∵點E在反比例函數(shù)的圖象上，∴E（1，3），即OG＝3，∴OF＝OG﹣GF＝1；∴F（0，1），∵△ABC與△EFG成中心對稱，∴對稱中心M是線段BF的中點，∴M（32，2+12），即M（32故答案為：1，（32，3②如圖，連接AF、BE，∵AC＝1，OC＝3，∴OA＝GF＝2，在△AOF和△FGE中AO=FG∠AOF=∠FGE∴△AOF≌△FGE（SAS），∴AF＝EF，∴∠GFE＝∠FAO＝∠ABC，∴∠GFE+∠AFO＝∠FAO+∠BAC＝90°，∴EF∥AB，且EF＝AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形，又AF＝EF，∴四邊形ABEF為菱形，∵AF⊥EF，∴四邊形ABEF為正方形．總結(jié)提升：本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、中心對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中求得E點坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）②中證得△AOF≌△FGE是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．28．（2022?婺城區(qū)校級模擬）如圖，點A是反比例函數(shù)y=kx（k＜0）位于第二象限的圖象上的一個動點，過點A作AC⊥x軸于點C．M為是線段AC的中點，過點M作AC的垂線，與反比例函數(shù)的圖象及y軸分別交于B、D兩點．順次連接A、B、C、D．設(shè)點A的橫坐標為（1）求點B的坐標（用含有k、t的代數(shù)式表示）．（2）求證：四邊形ABCD是菱形．（3）若△ABM的面積為8，當四邊形ABCD是正方形時，求直線AB的函數(shù)表達式．思路引領(lǐng)：（1）由點A在雙曲線上，確定出A坐標，進而得出點B的縱坐標，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得到的點B，D，M的坐標判斷出MB＝MD，AM＝MC，得出四邊形ABCD是平行四邊形，再用BD⊥AC即可；（3）由（2）結(jié)合AC＝BD建立方程求出點B，A坐標即可．（1）解：當x＝t時，y=k∴A（t，kt由題意知，BD是AC的中垂線，∴點B的縱坐標為k2t∴把y=k2t代入y=kx得∴B（2t，k2t（2）證明：∵BD⊥AC，AC⊥x軸，∴BD⊥y軸，由（1）知，B（2t，k2t），A（t，k∴D（0，k2t），M（t，k∴BM＝MD＝﹣t，∵AC⊥x軸，∴C（t，0），∴AM＝CM，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵BD⊥AC，∴平行四邊形ABCD是菱形．（3）解：當四邊形ABCD是正方形時，△ABM為等腰直角三角形．∴AM＝BM，∵△ABM的面積為8∴S△ABM=12AM∴AM＝BM＝4．∵M為線段AC的中點，∴AC＝2AM＝8，BD＝2BM＝8，∴2t＝﹣8，kt∴A（﹣4，8），B（﹣8，4）．設(shè)直線AB的解析式為y＝k′x+b，∴?4k′+b=8?8k′+b=4∴k=1b=12直線AB的函數(shù)表達式為y＝x+12．總結(jié)提升：此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是用t，k表示出點A，B，D，M的坐標．29．（2022?中陽縣模擬）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象與矩形OABC交于點E、D，已知點E的坐標是（45，52），點（1）求函數(shù)y=k（2）求矩形OABC的面積．思路引領(lǐng)：（1）直接把點E（45，52）代入反比例函數(shù)的解析式求出（2）由點D是AB的中點可知D點縱坐標為54，代入（1）中反比例函數(shù)的解析式求出x解：（1）∵點E（45，52）在反比例函數(shù)y∴k=4∴函數(shù)解析式為：y=2（2）∵點D是AB的中點，∴D點縱坐標為54∴設(shè)D（x，54∵點D也在反比例函數(shù)的圖象上，∴54=2x∴OA=85，OC∴矩形OABC的面積＝OA?OC=8總結(jié)提升：本題考查的是用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式及矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出D點坐標是解題的關(guān)鍵．30．（2022?濟南一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（4，2），OA，OC分別落在x軸和y軸上，OB是矩形的對角線，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在y軸上，得到△ODE，OD與CB相交于點F，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點F，交AB于點（1）求tan∠COF的值及反比例函數(shù)表達式．（2）在x軸上是否存在一點M，使|MF﹣MG|的值最大？若存在，求出點M；若不存在，說明理由．（3）在線段OA上存在這樣的點P，使得△PFG是等腰三角形，請直接寫出OP的長．思路引領(lǐng)：（1）△ODE是△OAB旋轉(zhuǎn)得到的，可得tan∠COF＝tan∠AOB=12，求得點（2）通過分析可知存在這樣的點，當直線FD與x軸交于M時，滿足條件|MF﹣MG|的值最大；（3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三種情況，分別求解即可．解：（1）∵△ODE是△OAB旋轉(zhuǎn)得到的，即：△ODE≌△OAB，∴∠COF＝∠AOB，∴tan∠COF＝tan∠AOB=1∴CF2∴CF＝1，∴點F的坐標為（1，2），∵y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點∴2=k1，得解析式為：y=2（2）∵y=2x，當x＝4，得y∴點G的坐標為（4，12由題意可知延長FD與x軸交于M點時|MF﹣MG|的值最大，設(shè)直線FD的解析式為：y＝kx+b，將F，G點坐標代入可得：2=k+b1解得：k=?1∴y=?12x+52∴M點的坐標為：（5，0）；（3）設(shè)點P（m，0），而點F（1，2），點G（4，12則FG2＝9+94=454，PF2PG2＝（m﹣4）2+1當GF＝PF時，454=（m﹣1）解得，m=2+292當PF＝PG時，同理可得：m=15當GF＝PG時，同理可得：m＝4?11或4+綜上，OP的長為2+292或158總結(jié)提升：本題考查的是反函數(shù)綜合運用，掌握三角形相似、等腰三角形的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．31．（2022?岳麓區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x﹣6與x軸交于點B，與y軸交于點A，與雙曲線y=ax（x＞0）交于點C（4，b），點P是雙曲線上的動點，橫坐標為m（0＜m＜4），作PQ∥y軸交直線AB于點Q，連接PO、（1）求a、b的值；（2）求△OPQ的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；（3）當四邊形AOPQ為平行四邊形時，連接PC，并將直線PC向上平移n個單位后與反比例函數(shù)y=mx（x＞0）的圖象交于M、N兩點，與直線AB交于點T，設(shè)M、N、T三點的橫坐標分別為xM、xN、xT，是否存在正實數(shù)n使得等式1x思路引領(lǐng)：（1）將C（4，b）代入y＝2x﹣6，求出b的值，將C（4，2）代入y=ax，求（2）由題意可得P（m，8m），Q（m，2m﹣6），可求S=12×PQ×m＝﹣m2+3m+4，則當m=3（3）由四邊形AOPQ為平行四邊形，求出m＝2，再由待定系數(shù)法求直線PC的解析式，則平移后的直線解析式為y＝﹣x+6+n，聯(lián)立方程組y=?x+6+ny=2x，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得xM+xN＝6+n，xM?xN＝2，則1xM+1xN=6+n2，再聯(lián)立方程組y=2x?6y=?x+6+n解：（1）∵C（4，b）在直線y＝2x﹣6上，∴b＝2，∴C（4，2），將C點代入y=a∴a＝8；（2）∵P點橫坐標為m，∴P（m，8m∵PQ∥y軸，∴Q（m，2m﹣6），∴PQ=8m?∴S=12×（8m?2m+6）×m＝﹣m2+3m+4＝﹣（m∴當m=32時，S有最大值（3）不存在正實數(shù)n使得等式1x∵四邊形AOPQ為平行四邊形，∴OA＝PQ，令y＝0，則x＝﹣6，∴A（0，﹣6），∴OA＝6，∴8m?2解得m＝2或m＝﹣2，∵0＜m＜4，∴m＝2，∴P（2，4），設(shè)直線PC的解析式為y＝kx+b，∴2k+b=44k+b=2解得k=?1b=6∴y＝﹣x+6，∴平移后的直線解析式為y＝﹣x+6+n，聯(lián)立方程組y=?x+6+ny=整理得，x2﹣（6+n）x+2＝0，∴xM+xN＝6+n，xM?xN＝2，∴1x聯(lián)立方程組y=2x?6y=?x+6+n解得x＝4+13∴xT＝4+13∴9xT=∵1x∴6+n2解得n＝﹣9+37或n＝﹣9﹣37，∵n是正實數(shù)，∴不存在．總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．32．（2022?興慶區(qū)校級三模）如圖，Rt△ABC的邊BC在x軸上，點O為BC的中點，點A的坐標為（3，23），反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，將△ABC沿x軸x向右平移得到△A′B′C′，A′C′與反比例函數(shù)的圖象交于點D，連接