6.4.3探索三角形相似的條件兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似（練習(xí)）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（蘇科版）

第六章圖形的相似6.4.3探索三角形相似的條件——兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似基礎(chǔ)基礎(chǔ)篇一．單選題1．如圖，四邊形的對(duì)角線、相交于，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形，若，則下列結(jié)論中一定正確的是A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似【詳解】解：在與中，，，①與③相似，故選項(xiàng)正確，又由于①與②，①與④，②與④均不滿足相似的判定條件，故，，選項(xiàng)均不正確．故本題選：．2．如圖，在中，，，．將沿圖示中的虛線剪開(kāi)，有如下幾種剪法，其中滿足剪下的陰影三角形與相似的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【詳解】解：第一個(gè)圖形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但夾角不相等，故兩三角形不一定相似，故本選項(xiàng)不合題意；第二個(gè)圖形陰影三角形中，的兩邊分別為，，則兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)符合題意；第三個(gè)圖形陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)符合題意；第四個(gè)圖形陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)符合題意．故本題選：．3．如圖，下列條件中不能判定的是A． B． C． D．【詳解】解：若，不能判定與相似，當(dāng)，結(jié)合可判定與相似，故選項(xiàng)符合題意；若，結(jié)合可得，故選項(xiàng)不合題意；若，結(jié)合可得，故選項(xiàng)不合題意；若，即，結(jié)合，可得，故選項(xiàng)不合題意．故本題選：．4．已知：如圖，梯形中，，，，，．在線段上若存在點(diǎn)，使得與相似，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．4 B．3 C．2 D．1【詳解】解：，，，設(shè)，則，①當(dāng)，即時(shí)，，解得：，；②當(dāng)，即時(shí)，，解得：，，或，故點(diǎn)有三個(gè)點(diǎn)．故本題選：．5．如圖，點(diǎn)在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點(diǎn)，．對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的個(gè)數(shù)個(gè)．A．0 B．1 C．2 D．3【詳解】解：在的同側(cè)作等腰和等腰，，，，，，，所以①正確；，，，，，，所以②正確；由②得，，，，，，，，，所以③正確．故本題選：．二．填空題6．如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使與相似，這個(gè)條件可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【詳解】解：在和中，，添加或或，．故本題答案為：或或．7．如圖，在中，為上一點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)度為．【詳解】解：，，，，，．故本題答案為：．8．一塊三角形紙片按如圖所示方式折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕是，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與相似，已知，，則的長(zhǎng)是．【詳解】解：設(shè)，則，沿折疊，使點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，△，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，，即，解得：，綜上，的長(zhǎng)為或．故本題答案為：或．9．在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)、、，過(guò)點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，這樣的直線最多可以作條．【詳解】解：若，則，，則或，若，則，，則，或，，所以可以作出四條直線．故本題答案為：4．三．解答題10．如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△的位置，點(diǎn)恰好在上，與交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）求證：．【詳解】證明：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，△，；（2），，，，，．11．如圖，在中，，，在邊上截取，連接．（1）通過(guò)計(jì)算，判斷與的大小關(guān)系；（2）求證：．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，，，；（2）由（1）知，，，，又，．12．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，分別交線段、于點(diǎn)、，且．求證：（1）平分；（2）．【詳解】解：（1），，，，在和中，，，平分；（2）在和中，，，，在和中，，，，，．13．如圖，為線段上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，滿足．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，，，，是的切線；（2）解：，，，，，，，．14．如圖，在中，、，點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）則；（用含的代數(shù)式表示）；（2）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為多少時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？【詳解】解：（1）點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動(dòng)，，，點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動(dòng)，，，故本題答案為：，；（2）點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從出發(fā)，以的速度向運(yùn)動(dòng)，，，，，且以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，或，或，或，故本題答案為：或．提升篇提升篇15．如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，下列結(jié)論：①，②，③，④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】解：四邊形是正方形，，，是的中點(diǎn)，，在中，，，，所以①錯(cuò)誤；，，，，，，，，，，，所以③正確；，，，，，所以②正確，，，，，，所以④正確．故本題選：．16．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為A． B． C． D．4【詳解】解：如圖，作，使得，，連接，則，，，，，，，，，即定長(zhǎng)，點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，，，的最大值為．故本題選：．17．如圖，在矩形中，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，若上存在三個(gè)不同位置的點(diǎn)，使與相似，設(shè)，則的取值范圍是．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，，又，；②當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，若，，則，，，上存在三個(gè)不同位置的點(diǎn)，△，，，．故本題答案為：．18．如圖，已知，是內(nèi)部的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，厘米，厘米，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以1.5厘米秒的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以2厘米秒的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，與交于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)秒時(shí)，與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不論取何值時(shí)，總有．為什么？（3）連接，