第03講 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）-A4

第頁第03講三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.經(jīng)歷探索不可攀爬物體高度的過程，體會(huì)三角函數(shù)在解決生活中的應(yīng)用；2.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠進(jìn)行三角函數(shù)的計(jì)算；3.會(huì)將類似問題構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)解決問題；4.在解決問題中體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)知識(shí)點(diǎn)1解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.知識(shí)點(diǎn)2解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.知識(shí)點(diǎn)3解直角三角形應(yīng)用-仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

知識(shí)點(diǎn)4解直角三角形應(yīng)用-方位角問題（1）方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1．解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.

【題型1解直角三角形的應(yīng)用】【典例1】（2023?綠園區(qū)一模）如圖，沿AC方向修山路，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD＝145°，BD＝1000米，∠D＝55°，使A、C、E在一條直線上，那么開挖點(diǎn)E與D的距離是（）A．1000sin55°米 B．1000cos35°米 C．1000tan55°米 D．1000cos55°米【變式1-1】（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC是電桿AB的一根拉線，測(cè)得BC＝6米，∠ACB＝52°，則拉線AC的長(zhǎng)為（）A．米 B．米 C．米 D．6?cos52°米【變式1-2】（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，若要測(cè)量小河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在小河邊取AB的垂線BP上的一點(diǎn)C，測(cè)得BC＝50米，∠ACB＝46°，則小河寬AB為多少米（）A．50sin46° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°【變式1-3】（2023?長(zhǎng)春模擬）如圖，在天定山滑雪場(chǎng)滑雪，需從山腳下A處乘纜車上山頂B處，纜車索道與水平線所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，則纜車索道AB的長(zhǎng)為（）A．800sinα米 B．800cosα米 C．米 D．米【典例2】（2023?廬陽區(qū)校級(jí)模擬）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的公路進(jìn)行改建．如圖，A、B兩地之間有一座山．汽車原來從A地到B地需途經(jīng)C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【變式2-1】（2023?張店區(qū)校級(jí)二模）春天是放風(fēng)箏的好季節(jié)，如圖，小明在某公園B處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于A處，風(fēng)箏線AB長(zhǎng)為50m，從B處看風(fēng)箏的仰角為37°，小剛從C處看風(fēng)箏的仰角為60°（A，B，C三點(diǎn)位于同一豎直平面）．（1）風(fēng)箏離地面多少米？（2）小明和小剛的直線距離BC是多少米？（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，，）【變式2-2】（2023春?紅旗區(qū)校級(jí)期末）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學(xué)在幸福大道段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100m的P處．這時(shí)，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3s，并測(cè)得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，（1）求AP的長(zhǎng)？（2）試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？（≈1.732）【題型2解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角】【典例3】（2023春?中江縣期中）如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過程的安全性，工人師傅歐減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°，已知原傳送帶AB長(zhǎng)為．（1）新傳送帶AC＝m；（2）如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出5m的通道，試判斷與B點(diǎn)距離為的貨物MNOP是否需要挪走，并說明理由．【變式3-1】（2023?鳳凰縣三模）如圖是一防洪堤背水坡的橫截面，斜坡AB的長(zhǎng)為12m，它的坡角度數(shù)為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點(diǎn)B6m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)：，．）（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）在改造背水坡的施工過程中，此房屋是否需要拆除？并說明理由．【變式3-2】（2022秋?阜平縣期末）自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB＝200m，坡度為1：．將斜坡AB的高度AE降低AC＝20m后，斜坡改造為斜坡CD，其坡度為1：4，求斜坡CD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）【題型3解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題】【典例4】（2023?山西模擬）某校課外活動(dòng)小組來到太原古縣城進(jìn)行參觀研學(xué)，對(duì)位于古縣城“十字街”的旗亭高度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量．項(xiàng)目操作過程如下：如圖，測(cè)試小組利用測(cè)角儀從點(diǎn)D處觀測(cè)旗亭頂端A點(diǎn)的仰角為24°．在測(cè)角儀和旗亭之間水平光滑的地面放置一個(gè)平面鏡，小組成員在平面鏡上做好標(biāo)記后，將平面鏡在地面上來回移動(dòng)，當(dāng)平面鏡上的標(biāo)記位于點(diǎn)E處時(shí)，觀測(cè)的同學(xué)恰好能從點(diǎn)D處看到旗亭頂端A在鏡子中的像與平面鏡上的標(biāo)記重合，此時(shí)測(cè)得CE＝2米．已知測(cè)角儀的高度CD＝1米，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)B，E，C在同一條水平直線上，求旗亭AB的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：tan24°＝0.45，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91）【變式4-1】（2023?河西區(qū)模擬）如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為30m，從甲的頂部A處測(cè)得乙的頂部D處的俯角為35°，測(cè)得底部C處的俯角為43°，求甲、乙兩座建筑物的高度AB和DC．（結(jié)果取整數(shù)）tan35°≈0.70，tan43°≈0.93【變式4-2】（2023?襄州區(qū)模擬）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)——測(cè)量校園內(nèi)旗桿的高度．如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.5米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得旗桿頂部點(diǎn)M的仰角∠MBC＝33°，在與點(diǎn)A相距4.5米的點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MEC＝45°（點(diǎn)A，D，N在同一條水平線上，且點(diǎn)M，N，D，A，B，E，C都在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)B，E，C在同一直線上），求旗桿頂部離地面的高度MN．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【變式4-3】（2023?平城區(qū)模擬）如圖，為了測(cè)量某一建筑物MN的高度，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在點(diǎn)A處測(cè)得建筑物頂點(diǎn)M的仰角為63.4°，但是由于該建筑物底部有障礙物不能直接測(cè)量，因此到達(dá)平臺(tái)點(diǎn)D處測(cè)得建筑物頂點(diǎn)M的仰角為45°．斜坡AD的坡比是1：2.4，點(diǎn)D到地面的距離DC＝5米，測(cè)角儀AB，DE的高度為1米．求建筑物MN的高（參考數(shù)據(jù)sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）．【題型4解直角三角形應(yīng)用-方向角問題】【典例5】（2023?臨高縣模擬）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島20千米的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．（1）填空：∠ABE＝度，∠BAC＝度；（2）漁船航行多遠(yuǎn)時(shí)距離小島B最近？（結(jié)果保留根號(hào)）（3）漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行10千米到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少？（結(jié)果精確到1千米，參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73，≈2.45）【變式5-1】（2023春?巴南區(qū)期末）在海平面上有A，B，C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西54°方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里．（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；（2）若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時(shí)會(huì)發(fā)射一次信號(hào)，此時(shí)在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號(hào)？（信號(hào)傳播的時(shí)間忽略不計(jì)）．【變式5-2】（2023?江津區(qū)二模）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）1．（2023?眉山）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．2．（2023?西藏）如圖，輪船甲和輪船乙同時(shí)離開海港O，輪船甲沿北偏東60°的方向航行，輪船乙沿東南方向航行，2小時(shí)后，輪船甲到達(dá)A處，輪船乙到達(dá)B處，此時(shí)輪船甲正好在輪船乙的正北方向．已知輪船甲的速度為每小時(shí)25海里，求輪船乙的速度．（結(jié)果保留根號(hào)）3．（2023?廣安）為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個(gè)四邊形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向170米處，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)B、D都在點(diǎn)C的正北方向，BD長(zhǎng)為100米，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°方向，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東58°方向．（1）求步道DE的長(zhǎng)度；（2）點(diǎn)D處有一個(gè)小商店，某人從點(diǎn)A出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D，請(qǐng)通過計(jì)算說明他走哪條路較近．（結(jié)果精確到個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）4．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場(chǎng)捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測(cè)量，A在燈塔C的南偏西60°方向，B在燈塔C的南偏東45°方向，且在A的正東方向，AC＝3600米．（1）求B養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔C的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）5．（2022?重慶）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC＝200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD＝100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．（1）求步道DE的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；（2）點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請(qǐng)計(jì)算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）6．（2022?安徽）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．7．（2022?青島）如圖，AB為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活?綠色出行”健步走公益活動(dòng)，小宇在點(diǎn)A處時(shí)，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68°的點(diǎn)C處，觀光船到濱海大道的距離CB為200米．當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，觀光船沿北偏西40°的方向航行至點(diǎn)D處，此時(shí)，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）8．（2022?遼寧）如圖，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處．一艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，B港口在貨輪的北偏西70°方向．求此時(shí)貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）一．選擇題（共7小題）1．如圖，某農(nóng)林部門用鋼管為樹木加固，已知鋼管AB的長(zhǎng)為4米，鋼管與地面所成夾角∠1＝52°．則固定點(diǎn)A離地面的高度AC為（）A．米 B．米 C．4cos52°米 D．4sin52°米2．為測(cè)樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測(cè)得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米3．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測(cè)得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測(cè)得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB＝12m，則這棵樹CD的高度是（）A． B． C． D．4．如圖，某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯AB的坡度為i＝1：2.5，過點(diǎn)B作BC⊥AC，垂足為點(diǎn)C，若大廳水平距離AC的長(zhǎng)為7.5m，則兩層之間的高度BC為（）A．3m B．4m C．5m D．6m5．如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L距離6km，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為43°，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（）km．A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43°6．周末，劉老師讀到《行路難》中“閑來垂釣碧溪上，忽復(fù)乘舟夢(mèng)日邊．”邀約好友一起去江邊垂釣．如圖，釣魚竿AC的長(zhǎng)為4m，露在水面上的魚線BC的長(zhǎng)為，劉老師想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)15°到AC′的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B′C′的長(zhǎng)度是（）A．3m B．2m C．2m D．3m7．如圖，小明在M處用高1.5m（即CM＝1.5m）的測(cè)角儀測(cè)得旗桿AB頂端B的仰角為30°，將測(cè)角儀沿旗桿方向前進(jìn)20m到N處，測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，則旗桿AB的高度為（）A．11.5m B．20m C．m D．m二．填空題（共4小題）8．如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長(zhǎng)的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí)∠AOM＝45°，此時(shí)點(diǎn)B到水平地面EF的距離為米．（結(jié)果保留根號(hào)）9．如圖，飛機(jī)A恰好飛行到地面目標(biāo)B的正上方2000米處，此時(shí)飛行員測(cè)得另一地面目標(biāo)C的俯角為30°，則A、C之間的距離為米．10．如圖①是某市地鐵入口的雙閘門，如圖②，當(dāng)它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝55cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求當(dāng)雙翼收起時(shí)，兩機(jī)箱之間的最大寬度為cm．11．?dāng)r水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是，壩高BC＝8m，則坡面AB的長(zhǎng)度是m．三．解答題（共5小題）12．某臨街店鋪在窗