第二十一章 一元二次方程期中復(fù)習(xí)試題 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊

第=PAGE5*2-19頁共=SECTIONPAGES5*210頁◎第=PAGE5*210頁共=SECTIONPAGES5*210頁第二十一章一元二次方程期中復(fù)習(xí)試題考試范圍：一元二次方程；考試時間：100分鐘；總分：120分學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2﹣7＝3y+1 B．5x2﹣6y﹣2＝0 C．73x-5=x22+x D．a(chǎn)x2+（b﹣32．已知一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的兩個根為x1，x2，下列結(jié)論正確的是（）A．x1，x2都是正數(shù) B．x1?x2＝1 C．x1，x2都是有理數(shù) D．x1+x2=3．已知a，b，c為常數(shù)，點P（a，c）在第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷4．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，則x1+x2﹣4x1x2的值為（）A．4 B．﹣3 C．0 D．75．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，則x2+y2的值為（）A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣16．若α、β為方程2x2+5x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則2α2+3αβ﹣5β的值為（）A．﹣13 B．12 C．14 D．157．若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0）的解是x1＝4，x2＝﹣6，且m滿足a(m+1A．2或﹣8 B．3或﹣5 C．2 D．﹣88．一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2的長方形，a的值不可能為（）A．20 B．40 C．100 D．1209．等腰三角形三邊長分別為a、b、4，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的兩根，則k的值為（）A．30 B．34或30 C．36或30 D．3410．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，那么我們稱這個方程為“美麗”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“美麗”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＝b＝c B．a(chǎn)＝b C．b＝c D．a(chǎn)＝c二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．已知等腰三角形三邊長分別為m，n，1，且m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+a﹣3＝0的兩個根，則a＝．12．已知方程x2﹣5x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則x12-4x1+x2+16＝13．如圖是一張長12cm，寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒，則剪去的正方形的邊長為cm，此盒子體積是cm3．14．關(guān)于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是．15．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5＝0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（12分）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的四種解法：因式分解法、直接開平方法、配方法和公式法．請選擇你認(rèn)為適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣3x+1＝0；（2）（x﹣1）2＝3；（3）（3x﹣4）2＝9x﹣12；（4）x2﹣2x＝4．17．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．（1）求證：對于任意實數(shù)m，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的一個根是1，求m的值及方程的另一個根．18．（8分）定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n＝m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根據(jù)以上知識解決問題：（1）x☆4＝20，求x；（2）若2☆a的值小于0，請判斷方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情況．19．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣2）＝0（k是常量），它有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）請你從k＝2或k＝﹣2或k＝﹣1三者中，選取一個符合（1）中條件的k的數(shù)值代入原方程，求解出這個一元二次方程的根．20．（9分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點C時，兩點停止運動．設(shè)運動時間為t秒．（1）填空：BQ＝，PB＝（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時，PQ的長度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．（4）是否存在t的值，使△BPQ的面積最大，若存在，請直接寫出此時t的值；若不存在，請說明理由．21．（9分）【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系通過學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式．除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他形式的關(guān)系．從因式分解的角度思考這個問題，若把一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根分別記為x1，x2，則有恒等式ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），即ax2+bx+c＝ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2．比較兩邊系數(shù)可得：x1+x2＝，x1x2＝．任務(wù)：（1）填空：x1+x2＝，x1x2＝．（2）小亮同學(xué)利用求根公式進行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系．下面是小亮同學(xué)的部分推理過程，請完成填空，并將推理和運算過程補充完整．解：對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)b2﹣4ac≥0時，有兩個實數(shù)根x1＝，x2＝．……（3）已知關(guān)于x的方程2x2+3mx+m2＝0的兩根之和與兩根之積的和等于2，直接寫出m的值．22．（10分）某超市購進一批水杯，其中A種水杯進價為每個15元，售價為每個25元；B種水杯進價為每個12元，售價為每個20元（1）該超市平均每天可售出60個A種水杯，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A種水杯單價每降低1元，則平均每天的銷量可增加10個．為了盡量讓顧客得到更多的優(yōu)惠，該超市將A種水杯售價調(diào)整為每個m元，結(jié)果當(dāng)天銷售A種水杯獲利630元，求m的值．（2）該超市準(zhǔn)備花費不超過1600元的資金購進A、B兩種水杯共120個，其中B種水杯的數(shù)量不多于A種水杯數(shù)量的兩倍．請設(shè)計獲利最大的進貨方案，并求出最大利潤．23．（11分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．

第二十一章一元二次方程期中復(fù)習(xí)試題參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．解：A、是二元二次方程，A選項不符合題意；B、是二元二次方程，B選項不符合題意；C、是一元二次方程，C選項符合題意；D、a＝0時，是一元一次方程，D選項不符合題意；選：C．2．解：∵一元二次方程2x2﹣5x+1＝0的兩個根為x1，x2，∴x1+x2=52，x1x2∴x1，x2都是正數(shù)．選：A．3．解：∵點P（a，c）在第二象限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．選：A．4．解：因為x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個實數(shù)根，所以x1所以x1+x2﹣4x1x2＝﹣1﹣4×（﹣2）＝7．選：D．5．解：原方程變形得，（x2+y2）2+4（x2+y2）﹣5＝0，（x2+y2+5）（x2+y2﹣1）＝0，又∵x2+y2的值是非負(fù)數(shù)，∴x2+y2的值為只能是1．選：B．6．解：∵α、β為方程2x2+5x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，∴2α2＝1﹣5α，α+β=-52，∴2α2+3αβ﹣5β＝1﹣5α+3αβ﹣5β＝1﹣5（α+β）+3αβ＝1﹣5×（-52）+3×（＝1+＝12．選：B．7．解：由題意m+1＝4或m+1＝﹣解得m＝9，∴m-1＝3﹣1＝2選：C．8．解：設(shè)圍成面積為acm2的長方形的長為xcm，則寬為（40÷2﹣x）cm，依題意，得x（40÷2﹣x）＝a，整理，得x2﹣20x+a＝0，∵△＝400﹣4a≥0，解得a≤100，選：D．9．解：∵等腰三角形三邊長分別為a、b、4，∴a＝b，或a、b中有一個數(shù)為4．當(dāng)a＝b時，有b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4（k+2）＝0，解得：k＝34；當(dāng)a、b中有一個數(shù)為4時，有42﹣12×4+k+2＝0，解得：k＝30，當(dāng)k＝30時，原方程為x2﹣12x+32＝0，解得：x1＝4，x2＝8，∵4+4＝8，∴k＝30不合適．選：D．10．解：由題意可得，a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，∴b2﹣4ac＝0，∴（a+c）2﹣4ac＝0，化簡，得：a＝c，又∵a≠0，b＝a+c，∴a＝c≠b，選：D．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．解：∵等腰三角形三邊長分別為m、n、1，∴m＝n或m＝1或n＝1；∵m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+a﹣3＝0的兩根，∴當(dāng)m＝n時，Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣3）＝0，解得a＝7．此時方程為x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)m＝1或n＝1時，1是方程x2﹣4x+a﹣3＝0的解，∴1﹣4+a﹣3＝0，解得a＝6，此時方程為x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x＝1或3，∴該三角形的三邊長為1，1，3，不符合三角形的三邊關(guān)系，∴a＝7．答案為：7．12．解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x∵x=x＝2+5+16＝23，答案為：23．13．解：設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，則制成有蓋的長方體鐵盒的底面長為（10﹣2x）cm，寬為12-2x2=（6﹣x依題意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得：x1＝2，x2＝9（不合題意，舍去）．∴該紙盒的體積為2×4×6＝48（cm3）；答案為2，48．14．解：根據(jù)題意列出方程組[-解得k≥-14且k≠15．解：由題意得，k-解得：k＜1答案為：k＜1三．解答題（共8小題，滿分75分）16．解：（1）x2﹣3x+1＝0，其中a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0，∴x=-解得：x1=3+52，x（2）（x﹣1）2＝3，直接開方得：x﹣1=3或x﹣1=解得：x1＝1+3，x2＝1-（3）（3x﹣4）2＝9x﹣12，（3x﹣4）2＝3（3x﹣4），（3x﹣4）2﹣3（3x﹣4）＝0，（3x﹣4）（3x﹣4﹣3）＝0，3x﹣4＝0或3x﹣7＝0，解得：x1=43，x2（4）x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，直接開方得：x﹣1=5或x﹣1=解得：x1＝1+5，x2＝1-17．（1）證明：∵（x﹣3）（x﹣2）＝|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）＝1+4|m|，而|m|≥0，∴Δ＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵方程的一個根是1，∴|m|＝2，解得：m＝±2，∴原方程為：x2﹣5x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝4．即m的值為±2，方程的另一個根是4．18．解：（1）∵x☆4＝20，∴4x2+4＝20，即4x2＝16，解得：x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵2☆a的值小于0，∴22a+a＝5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a＝0中，Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a＝0有兩個不相等的實數(shù)根．19．解：（1）由題意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0解得k＞-1（2）由（1）得k＝2，則原方程變形為x2+3x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3．20．解：（1）∵P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，∴AP＝tcm，∵AB＝5cm，∴PB＝（5﹣t）cm，∵點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，∴BQ＝2tcm；答案為：2tcm，（5﹣t）cm；（2）由題意得：4t2+（5﹣t）2＝25，解得t1＝0，t2＝2．∴t＝0或2時，PQ＝5；（3）存在t＝1秒，能夠使得五邊形APQCD的面積等于26cm2．理由如下：長方形ABCD的面積是：5×6＝30（cm2），使得五邊形APQCD的面積等于26cm2，則△PBQ的面積為30﹣26＝4（cm2），（5﹣t）×2t×12解得：t1＝4（不合題意舍去），t2＝1．即當(dāng)t＝1秒時，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2．（4）由題意得S=12×BQ?PB=1∵52＜∴當(dāng)t=52時，△21．解：（1）根據(jù)題意得：x1+x2=-ba，x1x