江蘇省宿遷市泗洪縣育才實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)期中4

第1頁（共1頁）2024-2025泗洪育才學(xué)校期中模擬測(cè)試卷4一．選擇題（共8小題）1．“二十四節(jié)氣”是根據(jù)太陽在黃道（即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道）上的位置來劃分的，是在我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，下列四幅“二十四節(jié)氣”標(biāo)識(shí)圖中，文字上方所設(shè)計(jì)的圖案是軸對(duì)稱圖案的是（）A． B． C． D．2．下列美術(shù)字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，從等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向外分別引垂直于對(duì)邊的射線，在射線上分別截取AD＝BE＝CF＝，若＝，則等邊△ABC的邊長為（）A．2 B．3 C．3 D．64．以下四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．12，13，4 C．8，15，17 D．4，5，65．如圖，已知∠1＝∠2，則下列條件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB6．下列選項(xiàng)不能判斷△ABC≌△ADC的是（）A．AB＝AD，BC＝DC B．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC C．AB＝AD，∠B＝∠D D．∠BCA＝∠DCA，∠B＝∠D7．如圖，BE和AD是△ABC的高，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則圖中的三角形一定是等腰三角形的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．以下由四位同學(xué)描述三角形的四種不同的說法，正確的是（）A．由三個(gè)角組成的圖形叫三角形 B．由三條線段組成的圖形叫三角形 C．由三條直線組成的圖形叫三角形 D．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫三角形二．填空題（共10小題）9．如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按以下要求畫圖：以點(diǎn)A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第一條線段AA1；再以A1為圓心、1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第二條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第三條線段A2A3……這樣一直畫下去，最多能畫條線段．10．如圖，在△ABC和△DEB中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F．若AB＝DE，∠ABC＝∠E，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使△ABC≌△DEB．（寫出一個(gè)即可）11．如圖，已知△OAD≌△OBC，點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)D和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．下列結(jié)論中：①AD＝OC，②∠DBE+∠OAD＝180°，③BD＝AC，正確的是．（填序號(hào)）12．如果等腰三角形的兩邊長分別是2cm和6cm，則該等腰三角形周長是cm．13．如圖2是由圖1這樣八個(gè)形狀、大小完全相同的直角三角形拼接而成，記正方形ABCD的面積為S1，記正方形EFGH的面積為S2，記正方形MNPQ的面積為S3，若S1+S2+S3＝15，則S2的值是．14．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則BD的長是．15．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M、N分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN＝CM，，當(dāng)AM+BN的值最小時(shí)，CM的長為．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BC＝AD，DE⊥AC于E，連接BE，若CE＝1，則BE的長為．17．如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別是8厘米和4厘米，則陰影部分的面積是平方厘米．18．工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M、N重合．過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線．在這個(gè)過程中先可以得到△CMO≌△CNO，其依據(jù)的基本事實(shí)是．三．解答題（共10小題）19．如圖①，在銳角△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上一點(diǎn)，DE＝DB，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，連接FE并延長交邊AC于點(diǎn)G，M為BC邊的中點(diǎn)，連接ME．（1）若DM＝1，求AE的長；（2）如圖②，若ME⊥FG，（?。┣笞C：EM＝2FE；（ⅱ）求證：E為FG的中點(diǎn)．20．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1．（1）求△ABC的周長；（2）求證：AB⊥CB．21．如圖，小明作業(yè)本上畫的三角形被墨跡污染了，他想畫出一個(gè)與原來完全一樣的三角形，請(qǐng)幫助小明想辦法用尺規(guī)作圖畫一個(gè)和原三角形全等的三角形．22．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，AB＝AC，試說明：（1）∠BAD＝∠CAD；（2）AD⊥BC．23．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，連接AC．（1）求證：AB＝CD；（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E（不寫作法，保留作圖痕跡），若四邊形ABCD的面積是20，AB＝5，求CE的長．24．如圖，△ABC是直角三角形，∠A＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作斜邊BC上的中線AD（保留痕跡，不用證明）；（2）如果AB＝4，AC＝8，求AD的長．25．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝4，，求AB的長．26．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．（1）如圖1，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠ADE＝∠B．若BD＝AC，求證：△DBE≌△ACD；（2）若△ADC是直角三角形，求AD的長．27．如圖，△ABC是邊長為9的等邊三角形，P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（與A，C不重合），Q是CB延長線上的動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P以相同的速度同時(shí)由點(diǎn)B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PQ交AB于D．（1）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中線段DE的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段DE的長；如果發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．28．“費(fèi)馬點(diǎn)”：到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小值的點(diǎn)，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”（FermatPiont）費(fèi)馬：法國數(shù)學(xué)家P．Fermat1601﹣1665，（1）在△ABC中，尺規(guī)作出“費(fèi)馬點(diǎn)”，保留作圖痕跡，并描述P點(diǎn)的所在；（2）論證（或證明）你所作之點(diǎn)的正確性．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．“二十四節(jié)氣”是根據(jù)太陽在黃道（即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道）上的位置來劃分的，是在我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，下列四幅“二十四節(jié)氣”標(biāo)識(shí)圖中，文字上方所設(shè)計(jì)的圖案是軸對(duì)稱圖案的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義判定即可．【解答】解：A．選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A不符合題意；B．選項(xiàng)中的圖案是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B符合題意；C．選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)C不符合題意；D．選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸兩旁的部分能完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形．2．下列美術(shù)字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．【分析】利用軸對(duì)稱圖形定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：A、“艱”不可以看作軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B、“苦”可以看作軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C、“奮”不可以看作軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、“斗”不可以看作軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．3．如圖，從等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向外分別引垂直于對(duì)邊的射線，在射線上分別截取AD＝BE＝CF＝，若＝，則等邊△ABC的邊長為（）A．2 B．3 C．3 D．6【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】設(shè)DA、EB、FC的延長線交于點(diǎn)G，由等邊三角形的對(duì)稱性可得：∠AGB＝∠BGC＝∠AGC＝120°，再判定△GDE≌△GFE≌△GDF（SAS），從而△DEF為等邊三角形；然后證明△GAB∽△GDE，利用相似三角形的性質(zhì)求得GB，再解直角三角形GBH，求得BH的長，則乘以2即可得等邊△ABC的邊長．【解答】解：設(shè)DA、EB、FC的延長線交于點(diǎn)G如圖所示，則點(diǎn)G為等邊三角形ABC的中心，由等邊三角形的對(duì)稱性可得：∠AGB＝∠BGC＝∠AGC＝120°，∵AD＝BE＝CF＝，∴GA＝GB＝GC，∵從等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向外分別引垂直于對(duì)邊的射線，∴∠GAB＝∠GBA＝∠GBC＝∠GCB＝∠GCA＝∠GAC＝30°，∴GA+AD＝GB+BE＝GC+CF，即GD＝GE＝GF，∴△GDE≌△GFE≌△GDF（SAS）∴△DEF為等邊三角形，∴∠GED＝∠GEF＝30°∴∠GBA＝∠GED，∴AB∥DE，∴△GAB∽△GDE，∵S△ABC＝3S△GAB，S△DEF＝3S△GDE，＝，∴＝，∴＝，∵AD＝BE＝CF＝，∴GB＝，∵FC⊥AB，∴設(shè)FC的延長線垂直AB于點(diǎn)H，∴＝cos30°，∴BH＝×＝，∴AB＝2BH＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．4．以下四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．12，13，4 C．8，15，17 D．4，5，6【考點(diǎn)】勾股數(shù)．【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、12+22≠32，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、42+122≠132，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、82+152＝172，是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D、42+52≠62，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股數(shù)，理解勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)．5．如圖，已知∠1＝∠2，則下列條件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)條件和圖形可得∠1＝∠2，BC＝BC，再結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)所給條件利用三角形判定定理逐一進(jìn)行判斷即可．【解答】解：根據(jù)條件和圖形可得∠1＝∠2，BC＝BC，A、添加AB＝CD不能判定△ABC≌△DBC，故此選項(xiàng)符合題意；B、添加AC＝BD可利用SAS定理判定△ABC≌△DBC，故此選項(xiàng)不合題意；C、添加∠A＝∠D可利用AAS定理判定△ABC≌△DBC，故此選項(xiàng)不合題意；D、添加∠ABC＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DBC，故此選項(xiàng)不合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定定理，熟練掌握三角形全等的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．6．下列選項(xiàng)不能判斷△ABC≌△ADC的是（）A．AB＝AD，BC＝DC B．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC C．AB＝AD，∠B＝∠D D．∠BCA＝∠DCA，∠B＝∠D【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【解答】解：A、由AB＝AD、BC＝DC，結(jié)合AC＝AC可判定△ABC≌△ADC（SSS）；B、由AB＝AD、∠BAC＝∠DAC，結(jié)合AC＝AC可判定△ABC≌△ADC（SAS）；C、由AB＝AD、∠B＝∠D不能判定△ABC≌△ADC；D、由∠BCA＝∠DCA、∠B＝∠D，結(jié)合AC＝AC可判定△ABC≌△ADC（AAS）；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，BE和AD是△ABC的高，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則圖中的三角形一定是等腰三角形的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．【分析】由BE和AD是△ABC的高得到△ADB和△AEB都是直角三角形，而F是AB的中點(diǎn)，則FD、FE分別為直角△ADB和直角△AEB斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到FD＝FA＝FB，F(xiàn)E＝FA＝FB，即FA＝FE＝FD＝FB，根據(jù)等腰三角形的判定得到△FAE、△FAD、△FED、△FEB、△FDB都是等腰三角形．【解答】解：∵BE和AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴△ADB和△AEB都是直角三角形，∵F是AB的中點(diǎn)，∴FD＝FA＝FB，F(xiàn)E＝FA＝FB，即FA＝FE＝FD＝FB，∴△FAE、△FAD、△FED、△FEB、△FDB都是等腰三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定：有兩條邊相等的三角形為等腰三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．8．以下由四位同學(xué)描述三角形的四種不同的說法，正確的是（）A．由三個(gè)角組成的圖形叫三角形 B．由三條線段組成的圖形叫三角形 C．由三條直線組成的圖形叫三角形 D．由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫三角形【考點(diǎn)】三角形．【分析】根據(jù)三角形的定義即可進(jìn)行判斷．【解答】解：三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的概念，解題關(guān)鍵是掌握三角形的概念．二．填空題（共10小題）9．如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按以下要求畫圖：以點(diǎn)A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第一條線段AA1；再以A1為圓心、1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第二條線段A1A2；再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第三條線段A2A3……這樣一直畫下去，最多能畫9條線段．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度數(shù)．然后分析，依此得到規(guī)律，再根據(jù)三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度數(shù)，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°．∴n＜10．∵n為整數(shù)，∴n＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．10．如圖，在△ABC和△DEB中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F．若AB＝DE，∠ABC＝∠E，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：BC＝EB（答案不唯一），使△ABC≌△DEB．（寫出一個(gè)即可）【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)題意可知：AB＝DE，∠ABC＝∠E，然后寫出一個(gè)使得△ABC≌△DEB的條件即可，注意本題答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DE，∠ABC＝∠E，∴添加條件BC＝EB，可以得到△ABC≌△DEB（SAS），添加條件∠A＝∠D，可以得到△ABC≌△DEB（ASA），添加條件∠ACB＝∠DBE時(shí)，可以得到△ABC≌△DEB（AAS），故答案為：BC＝EB（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意全等三角形的判定方法．11．如圖，已知△OAD≌△OBC，點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)D和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．下列結(jié)論中：①AD＝OC，②∠DBE+∠OAD＝180°，③BD＝AC，正確的是②③．（填序號(hào)）【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BC，OA＝OB，OD＝OC，∠OAD＝∠OBC，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；接著證明AC＝BD，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于∠DBE+∠OBC＝180°，所以∠DBE+∠OAD＝180°，從而可對(duì)②進(jìn)行判斷．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴AD＝BC，OA＝OB，OD＝OC，∠OAD＝∠OBC，所以①錯(cuò)誤；∴OC﹣OA＝OD﹣OB，即AC＝BD，所以③正確；∵∠DBE+∠OBC＝180°，∴∠DBE+∠OAD＝180°，所以②正確．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．12．如果等腰三角形的兩邊長分別是2cm和6cm，則該等腰三角形周長是14cm．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【分析】題中沒有指明哪個(gè)是底哪個(gè)腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析．【解答】解：當(dāng)腰長為2cm時(shí)，則三邊分別為2cm，2cm，6cm，因?yàn)?+2＜6，所以不能構(gòu)成直角三角形；當(dāng)腰長為6cm時(shí)，三邊長分別為2cm，6cm，6cm，符合三角形三邊關(guān)系，此時(shí)其周長＝2+6+6＝14cm．故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的概念，要注意三角形“兩邊之和大于第三邊”這一定理．掌握分類思想是解題的關(guān)鍵．13．如圖2是由圖1這樣八個(gè)形狀、大小完全相同的直角三角形拼接而成，記正方形ABCD的面積為S1，記正方形EFGH的面積為S2，記正方形MNPQ的面積為S3，若S1+S2+S3＝15，則S2的值是5．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】由圖形結(jié)合題意分別表示出S1與S2以及S3與S2的關(guān)系式，再根據(jù)s1+s2+s3＝15，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵圖2是由圖1這樣八個(gè)形狀、大小完全相同的直角三角形拼接而成，∴由圖形2可知，S1＝S2+4S△AEH，S3＝S2﹣4S△AEH，又s1+s2+s3＝15，∴S2+4S△AEH+S2﹣4S△AEH+S2＝15，∴S2＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)D形面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，則BD的長是．【考點(diǎn)】勾股定理；角平分線的性質(zhì)．【分析】由勾股定理得BC＝3，過D作DE⊥AB于E，再由角平分線的性質(zhì)得CD＝DE，然后證Rt△BCD≌Rt△BED（HL），得BE＝BC＝3，進(jìn)而由勾股定理求出DE的長，即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，∴BC＝＝＝3，過D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴CD＝ED，在Rt△BCD與Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝3，∴AE＝AB﹣BE＝2，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即DE2+22＝（4﹣DE）2，解得：DE＝，∴BD＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M、N分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN＝CM，，當(dāng)AM+BN的值最小時(shí)，CM的長為．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；三角形三邊關(guān)系．【分析】過點(diǎn)A作AD∥BC，且AD＝AC，證明△AND≌△CMA，可得AM＝DN，當(dāng)B，N，D三點(diǎn)共線時(shí)，BN+AM取得最小值，證明AB＝BM，即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD∥BC，且AD＝AC，連接DN，∴∠DAN＝∠ACM，又AN＝CM，∴△AND≌△CMA（SAS），∴AM＝DN，∴BN+AM＝BN+DN≥BD，當(dāng)B，N，D三點(diǎn)共線時(shí)，BN+AM取得最小值，此時(shí)如圖所示，∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，，∴，∵△AND≌△CMA，∴∠ADN＝∠CAM，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADN＝∠ABN，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠MBN，∴∠ABN＝∠MBN，設(shè)∠MAC＝α，∴∠BAM＝∠BAC﹣α＝90°﹣α，∴∠ABM＝∠ABN+∠NBM＝2α＝45°，∴α＝22.5°，∴∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠ABM＝180°﹣90°+α﹣45°＝67.5°，∠BAM＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AMB＝∠BAM，∴，∴，即BN+AM取得最小值時(shí)，CM的長為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BC＝AD，DE⊥AC于E，連接BE，若CE＝1，則BE的長為．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD⊥BC，利用三角函數(shù)求得DE＝2CE＝2，然后利用勾股定理求得CD、EF，進(jìn)一步求得BC、FC，然后利用勾股定理即可求得BE．【解答】解：作EF⊥BC于F，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠ADC＝90°，∵BC＝AD，∴AD＝2CD，∴tan∠C＝＝＝2，∴DE＝2CE＝2，∴CD＝＝＝，∴BC＝2，∵S△DEC＝＝＝1，∴S△BCE＝2S△DEC＝2，∴＝2，即?EF＝2，∴EF＝，∴CF＝＝＝，∴BF＝2﹣＝，∴BE＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角函數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)．17．如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別是8厘米和4厘米，則陰影部分的面積是64平方厘米．【考點(diǎn)】三角形的面積．【分析】延長HF，BC交于點(diǎn)T，先證四邊形EFTC，四邊形ABTH均為矩形，進(jìn)而可求出FT＝CE＝CD﹣DE＝4cm，CT＝EF＝4cm，BT＝BC+CT＝12cm，然后分別求出S△BFT＝24平方厘米，S△HDF＝8平方厘米，S矩形ABTH＝96平方厘米，最后再根據(jù)S陰影＝S矩形ABTH﹣S△BFT﹣S△HDF可得出陰影部分的面積．【解答】解：延長HF，BC交于點(diǎn)T，如圖所示：∵正方形ABCD的邊長為8厘米，正方形DEFH的邊長為4厘米，∴BC＝CD＝8厘米，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，EF＝DE＝HF＝4厘米，∠H＝∠DEF＝∠EFH＝90°，∴∠DCT＝90°，∠CEF＝∠EFT＝90°，∴四邊形EFTC為矩形，又∵∠A＝∠ABC＝90°，∠H＝90°，∴四邊形ABTH為矩形，∴FT＝CE＝CD﹣DE＝8﹣4＝4（cm），CT＝EF＝4cm，∴BT＝BC+CT＝8+4＝12（cm），∴S△BFT＝BT?FT＝×12×4＝24（平方厘米），∵DH＝HF＝4cm，∴S△HDF＝DH?HF＝×4×4＝8（平方厘米），∵BT＝12cm，AB＝8cm，∴S矩形ABTH＝AB?BT＝8×12＝96（平方厘米），∴S陰影＝S矩形ABTH﹣S△BFT﹣S△HDF＝96﹣24﹣8＝64（平方厘米）．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形和矩形的面積，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握三角形的面積公式和矩形的面積公式，正確的作出輔助線構(gòu)造矩形是解決問題的關(guān)鍵．18．工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M、N重合．過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線．在這個(gè)過程中先可以得到△CMO≌△CNO，其依據(jù)的基本事實(shí)是SSS．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】由三邊相等得△COM≌△CON，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出∠AOC＝∠BOC．【解答】解：由圖可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC為公共邊，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分線．故答案為：SSS．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)．要熟練掌握確定三角形的判定方法，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是一種重要的能力，要注意培養(yǎng)．三．解答題（共10小題）19．如圖①，在銳角△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AD上一點(diǎn)，DE＝DB，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，連接FE并延長交邊AC于點(diǎn)G，M為BC邊的中點(diǎn)，連接ME．（1）若DM＝1，求AE的長；（2）如圖②，若ME⊥FG，（?。┣笞C：EM＝2FE；（ⅱ）求證：E為FG的中點(diǎn)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）設(shè)DB＝a，則DE＝DB＝a，CM＝BM＝BD+DM＝a+1，進(jìn)而得AD＝CD＝CM+DM＝a+2，然后根據(jù)AE＝AD﹣DE可得出答案；（1）（?。┻B接CE，先證明△CDE和△ADB全等得CE＝AB，∠DCE＝∠BAD，根據(jù)點(diǎn)F為AB邊的中點(diǎn)得＝2，再證明△CME∽△AEF得＝2，據(jù)此即可得出結(jié)論；（ⅱ）連接FM交AD于N，設(shè)DM＝k，則AE＝2k，根據(jù)△CME∽△AEF得CM＝2AE＝4k，進(jìn)而得BM＝CM＝4k，則AD＝CM+DM＝5k，DE＝BD＝BM﹣DM＝3k，證明FM是△ABC的中位線得FM∥AC，則△DMN為等腰直角三角形，從而得DN＝DM＝k，則NE＝ED﹣DN＝2k，由此得AE＝NE，據(jù)此可證明△EFN和△EGA全等，從而得EF＝EG，據(jù)此即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：設(shè)DB＝a，∴DE＝DB＝a，∵DM＝1，∴BM＝BD+DM＝a+1，∵M(jìn)為BC邊的中點(diǎn)，∴CM＝BM＝a+1，∴CD＝CM+DM＝a+1+1＝a+2，∵∠ACB＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴△ACD為等腰直角三角形，∴AD＝CD＝a+2，∴AE＝AD﹣DE＝a+2﹣a＝2；（1）（?。┳C明：連接CE，如圖1所示：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠CDE＝∠ADC＝90°，由（1）可知：△ACD為等腰直角三角形，∴CD＝AD，在△CDE和△ADB中，，∴△CDE≌△ADB（SAS），∴CE＝AB，∠DCE＝∠BAD，∵點(diǎn)F為AB邊的中點(diǎn)，∴AB＝2AF，即＝2，∵AD⊥BC，ME⊥FG，∴∠DEM+∠EMD＝90°，∠FED+∠DEM＝90°，∴∠EMD＝∠FED，∵∠EMD+∠CEM＝180°，∠FED+∠AEF＝180°，∴∠CEM＝∠AEF，又∵∠DCE＝∠BAD，∴△CME∽△AEF，∴＝2，∴EM＝2FE；（ⅱ）證明：連接FM交AD于N，如圖2所示：設(shè)DM＝k，則DM＝CM＝DB+k，∴CD＝AD＝DB+2k，∵DE＝DB，∴AE＝AD﹣DE＝DB+2k﹣DB＝2k，∵△CME∽△AEF，∴＝2，∴CM＝2AE＝4k，∴BM＝CM＝4k，∴AD＝CM+DM＝4k+k＝5k，DE＝BD＝BM﹣DM＝4k﹣k＝3k，又∵點(diǎn)F為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，∴FM是△ABC的中位線，∴FM∥AC，∴∠FMB＝∠ACB＝45°，∴△DMN為等腰直角三角形，∴DN＝DM＝k，∴NE＝ED﹣DN＝3k﹣k＝2k，∴AE＝NE，∵FM∥AC，∴∠EFN＝∠EGA，∠ENF＝∠EAG，在△EFN和△EGA中，，∴△EFN≌△EGA（AAS），∴EF＝EG，∴E為FG的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都為1．（1）求△ABC的周長；（2）求證：AB⊥CB．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）運(yùn)用勾股定理求得AB，BC及AC的長，即可求出△ABC的周長；（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出AB⊥CB．【解答】（1）解：AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝5，故△ABC的周長＝2++5＝3+5；（2）證明：∵AC2＝25，BC2＝5，AB2＝20，∴5+20＝25，即AB2+CB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥CB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟記勾股定理及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．21．如圖，小明作業(yè)本上畫的三角形被墨跡污染了，他想畫出一個(gè)與原來完全一樣的三角形，請(qǐng)幫助小明想辦法用尺規(guī)作圖畫一個(gè)和原三角形全等的三角形．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定．【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出．【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握判定定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，AB＝AC，試說明：（1）∠BAD＝∠CAD；（2）AD⊥BC．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)AD是BC邊上的中線，可知BD＝CD，根據(jù)SSS可證△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知∠ADB＝∠ADC，根據(jù)∠ADB+∠ADC＝180°，進(jìn)一步即可得證．【解答】證明：（1）∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，連接AC．（1）求證：AB＝CD；（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E（不寫作法，保留作圖痕跡），若四邊形ABCD的面積是20，AB＝5，求CE的長．【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖；平行線的性質(zhì)；三角形的面積．【分析】（1）由AB∥CD得∠ACD＝∠CAB，結(jié)合∠B＝∠D，AC＝CA，即可根據(jù)AAS證明△ABC≌△CDA，即可得到結(jié)論；（2）以C為圓心，CB為半徑作弧，交線段AB延長線于F，分別以B、F為圓心，大于BF的線段長為半徑作弧，兩弧交于G、H，連接GH，交AF于E，作直線CE，則CE即為AB的垂線．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴AB＝CD；（2）解：過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，如圖：∵△ABC≌△CDA，∴S△ABC＝S四邊形ABCD，∵四邊形ABCD的面積為20，∴S△ABC＝10，∴AB?CE＝10，∵AB＝5，∴CE＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及尺規(guī)作圖、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握過一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法：即是作線段BF的垂直平分線．24．如圖，△ABC是直角三角形，∠A＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作斜邊BC上的中線AD（保留痕跡，不用證明）；（2）如果AB＝4，AC＝8，求AD的長．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【分析】（1）分別以B，C為圓心，大于BC長為半徑畫弧，過四弧的交點(diǎn)作直線交BC于D，連接AD，則AD即為所求；（2）由勾股定理求得BC，根據(jù)直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解答】解：（1）如圖，AD即為所求；（2）∵AB＝4，AC＝8，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝4，∵AD斜邊BC上的中線，∴AD＝BC＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，勾股定理，熟知線段的垂直平分線性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．25．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝4，，求AB的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】作BF⊥CD于點(diǎn)F，BE⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)E，可證明△ABE≌△CBF，得BE＝BF，AE＝CF，再證明四邊形BEDF是正方形，則DE＝DF，所以4+AE＝2﹣CF＝2﹣AE，求得AE＝﹣2，BE＝DE＝+2，則AB＝＝5，也可以用另一種作輔助線的方法，即連接AC，求得AC＝10，則2AB2＝102，求得AB＝5．【解答】解：如圖，作BF⊥CD于點(diǎn)F，BE⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)E，則∠E＝∠BFC＝90°，∵∠E＝∠D＝∠BFD＝90°，∴四邊形BEDF是矩形，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠BAD＝360°﹣2×90°＝180°，∴∠BAE+∠BAD＝180°，∴∠BAE＝∠C，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，AE＝CF，∴四邊形BEDF是正方形，∴DE＝DF，∵AD＝4，DC＝2，∴4+AE＝2﹣CF＝2﹣AE，∴AE＝﹣2，∴BE＝DE＝﹣2+4＝+2，∴AB＝＝＝5，∴AB的長為5．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查同角的補(bǔ)角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．此外，此題還有另一種解法：連接AC，求得AC＝10，則2AB2＝102，求得AB＝5．26．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．（1）如圖1，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠ADE＝∠B．若BD＝AC，求證：△DBE≌△ACD；（2）若△ADC是直角三角形，求AD的長．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)得∠BDE＝∠CAD，再利用ASA證明△DBE≌△ACD；（2）分兩種情況，①若∠ADC＝90°，②若∠CAD＝90°，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠B＝∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠ADE+∠BDE＝∠C+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，在△DBE和△ACD中，∴△DBE≌△ACD（ASA）；（2）解：①若∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝10，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝CD＝8，∴AD＝＝＝6；②若∠CAD＝90°，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，由①可知CE＝8，設(shè)DE＝x，∵DE2+AE2＝AD2，CD2﹣AC2＝AD2，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴DE＝，∴AD＝＝．綜上所述，AD的長為6或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．27．如圖，△ABC