2024-2025年北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中測(cè)試題（1-4單元）

2024-2025年北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中測(cè)試題（1-4單元）一、單選題（每題3分，共30分）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．（為常數(shù)）2．如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．3．如圖，矩形在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)在上．將沿直線翻折，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．6．已知方程的一個(gè)根是1，則的值為（

）A． B．5 C．6 D．77．一張圓桌旁有四個(gè)座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在四邊形中，、交于點(diǎn)，在上且，，則以下結(jié)論不一定成立的是（

）A．B．C．D．9．如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，，且，那么的值為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，與交于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，連接，分別交，于點(diǎn)，，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)二、填空題（每題3分，共30分）11．如圖，在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，菱形的面積為，則的長(zhǎng)為．12．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．13．已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)根，則三角形的周長(zhǎng)為．14．已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的值為．15．在一個(gè)不透明的盒子中裝有10個(gè)紅球、若干個(gè)黑球，它們除顏色不同外，其余均相同．在看不到的條件下，通過隨機(jī)摸球試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸出一個(gè)球是紅球的頻率為，則盒子中有個(gè)黑球．16．如圖，在矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，連接，將延翻折，得到，連接．若，，則．17．如圖，為測(cè)量旗桿高度，淇淇在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡子和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，此時(shí)淇淇的眼睛離地面的高度，淇淇與鏡子的水平距離，鏡子與旗桿的水平距離．旗桿高度為m．18．如圖，平行四邊形A中，點(diǎn)為線段與的交點(diǎn)，若，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)．若在線段上有且只有兩個(gè)點(diǎn)使得與相似，則m的值為．19．如圖，在一塊長(zhǎng)、寬的矩形空地上，修建同樣寬的兩條相互垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為，則修建的路寬應(yīng)為m．20．在平面坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作正方形，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2025個(gè)正方形的面積為.

三、解答題（共60分）21．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?1)；(2)；22．在等邊三角形中，，點(diǎn)M，N分別是，上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，的長(zhǎng)為．23．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊，AB上，BD，CE相交于點(diǎn)O，且，求證：(1)；(2)．24．如圖，中，，，是由繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接、相交于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的長(zhǎng)．25．如圖，在正方形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．26．3月14日是國(guó)際數(shù)學(xué)日，某校在“國(guó)際數(shù)學(xué)日”當(dāng)天舉行了豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，其中游戲類活動(dòng)有：A．?dāng)?shù)字猜謎；B．?dāng)?shù)獨(dú)；C．魔方；D．24點(diǎn)游戲；E．?dāng)?shù)字華容道．該校為了解學(xué)生對(duì)這五類數(shù)學(xué)游戲的喜愛情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)（每位學(xué)生必選且只能選一類），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．根據(jù)上述信息，解決下列問題．(1)本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為______，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（要求在條形圖上方注明人數(shù)）(2)若該校有3000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校參加魔方游戲的學(xué)生人數(shù)；(3)該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計(jì)劃從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加市青少年魔方比賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．27．綜合與運(yùn)用如圖，在矩形中，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，?(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積是面積的一半?(3)當(dāng)t為何值時(shí)，是以為斜邊的直角三角形?參考答案：題號(hào)12345678910答案CDBBCBABAB1．C【分析】本題考查了一元二次方程的定義，通過化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐項(xiàng)判斷即可得解．【詳解】解：A、不是整式方程，故不符合題意；B、中含有兩個(gè)未知數(shù)，故不符合題意；C、是一元二次方程，故符合題意；D、當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程，故不符合題意；故選：C．2．D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，由矩形的性質(zhì)得出，證明是等邊三角形，得出，再由勾股定理計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故選：D．3．B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，連接，由矩形的性質(zhì)得到，再由坐標(biāo)系中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離計(jì)算公式求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解；如圖所示，連接，∵四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，故選：B．4．B【分析】本題考查了矩形中的折疊問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，由折疊性質(zhì)得到，，利用勾股定理計(jì)算出，則，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，軸，軸，，四邊形是矩形，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，設(shè)，與關(guān)于直線對(duì)稱，，，在中，，．在中，，，即，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．5．C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與方程根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，掌握此關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到關(guān)于k的不等式，解不等式，同時(shí)，即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，，且．故選：C．6．B【分析】本題考查了一元二次方程的根，把方程已知的根代入方程中，即可求得m的值．【詳解】解：∵方程的一個(gè)根是1，∴，∴，故選B．7．A【分析】本題主要考查了概率的計(jì)算，根據(jù)題意畫出圖形，得出所有可能的情況數(shù)，然后找出符合題意的情況數(shù)，最后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)圖可知：以B，C，D隨機(jī)而坐的結(jié)果數(shù)共有6種，其中A與B不相鄰而坐的結(jié)果有2種，∴A與B不相鄰而坐的概率為：．故選：A．8．B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．證明，則，證明，則，即，可判斷C的正誤；由，，證明，則，，可判斷A的正誤；設(shè)到上的高為，到上的高為，由，可得，可判斷D的正誤；當(dāng)時(shí)，，由的大小關(guān)系不確定，可知，不一定成立，可判斷B的正誤．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，C成立，故不符合要求；∴，又∵，∴，∴，∴，A成立，故不符合要求；設(shè)到上的高為，到上的高為，∴，∴，D成立，故不符合要求；當(dāng)時(shí)，，∵的大小關(guān)系不確定，∴，不一定成立，故B符合要求；故選：B．9．A【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用．熟練利用平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．【詳解】∵，，∴，∴，∴．故選：A．10．B【分析】證明，可得，可判斷結(jié)論①；由，可判斷結(jié)論②；由正方形的性質(zhì)可得垂直平分，，可得，由角的數(shù)量關(guān)系可推出，可判斷結(jié)論③；證明，可判斷結(jié)論④；即可得解．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是正方形，，∴，，，∴，，，∴，∴，故結(jié)論①錯(cuò)誤；在中，，∴，∴，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴垂直平分，，∴，∴，∴，即，∴，∴平分，故結(jié)論③正確；∵，，∴，∴，∴，∵，即，∴，故結(jié)論④正確，∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握菱形的面積公式“菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形面積的計(jì)算公式求得，再根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分線，利用勾股定理求出，進(jìn)而利用菱形面積等于底×高，計(jì)算出菱形的高即可解答．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，∵菱形的面積為12，，∴，即∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴又∵，∴菱形的面積，∴．∴故答案為：4．12．【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線求出，由此得到，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出答案．【詳解】解：在矩形中，，∵平分，∴，∴，∵，，∴，故答案為．13．【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，先解一元二次方程得出，，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：，，當(dāng)?shù)谌厼闀r(shí)，，不滿足三角形三邊關(guān)系，不符合題意；當(dāng)?shù)谌厼闀r(shí)，，滿足三角形三邊關(guān)系，符合題意，此時(shí)周長(zhǎng)為．故答案為：14．【分析】本題考查配方法的應(yīng)用．先把原式轉(zhuǎn)化為，可得當(dāng)，時(shí)，等式成立，即可求得，，再代入求值即可．【詳解】解：，∴，∴，∵，，∴，，即，，∴，，∴，故答案為：．15．5【分析】本題考查了概率的求法，利用頻率估計(jì)概率，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)概率的求法得：，解方程即可求出黑球的個(gè)數(shù)．【詳解】解：設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，∴黑球的個(gè)數(shù)為5，故答案為：5．16．【分析】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由勾股定理得，則，可證明，則，因此，則，再由三角形的中位線定理即可求解．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵四邊形是矩形∴，∴在，由勾股定理得：，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，由折疊知，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，正確添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．17．8【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出，再利用垂直證；然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，作，

由圖可知，，，．根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，∴，∴，，，．，，，．．故答案為：8．18．4或5【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，得，當(dāng)與相似時(shí)，分或時(shí)，再結(jié)合一元二次方程根的情況即可求解．【詳解】解：，，當(dāng)或時(shí)，與相似，四邊形是平行四邊形，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，有且只有兩個(gè)點(diǎn)，有兩種情況，①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，又因?yàn)?，；②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且是它的一個(gè)根，代入得：，又因?yàn)?，，綜上可知：的值為4或5．故答案為：4或5．19．1【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的種植園地是一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列方程．【詳解】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為米，由題意有，整理，得，解得(不合題意，舍去)．答：道路的寬應(yīng)為米．故答案為：．20．【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到的正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而表示正方形的面積，然后觀察得到的正方形的面積即可得到規(guī)律，從而得到結(jié)論．【詳解】解：∵正方形的點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,2，，，，，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)，作正方形，，，，，，，，，，∴第2個(gè)正方形的面積為：，同理可得，，即第3個(gè)正方形的面積為：，…∴第2025個(gè)正方形的面積為：，故答案為：．21．(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：或解得，；（2）解：或解得，．22．(1)見解析(2)當(dāng)或時(shí)，的長(zhǎng)為【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，由三角形內(nèi)角和定理得出，求出，即可得解；（2）證明，得出，設(shè)，則，代入計(jì)算即可得解．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：，，故當(dāng)或時(shí)，的長(zhǎng)為．23．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：①相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等，②兩三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且這兩邊的夾角也相等的兩三角形相似．（1）根據(jù)兩三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且這兩邊的夾角也相等的兩三角形相似推出即可；（2）根據(jù)兩三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，即．24．(1)見解析(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，也考查了菱形的性質(zhì)．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，然后根據(jù)“”證明，于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，再利用平行線的性質(zhì)得，則可判斷為等腰直角三角形，所以，然后計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵是由繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，，，，∴，即，在和中，∴，；（2）解：四邊形為菱形，，，，∵，，∴為等腰直角三角形，，．25．(1)證明見解析；(2)，【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．（1）由正方形性質(zhì)可得，，再利用即可證明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可得，，再根據(jù)，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，