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文檔簡(jiǎn)介
書(shū)目
編寫(xiě)說(shuō)明................................................................0
第一章解三角形.........................................................0
1.1正弦定理和余弦定理.............................................0
1.2應(yīng)用舉例........................................................9
第二章數(shù)列............................................................11
2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)潔表示方法........................................11
2.2等差數(shù)列........................................................15
2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.............................................17
2.4等比數(shù)列.......................................................21
2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.............................................24
第三章不等式..........................................................27
3.1系
3.2一元二次不等式和其解法....................................30
3.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)潔的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.................33
3.4根本不等式................................................37
編寫(xiě)說(shuō)明
本書(shū)是高中數(shù)學(xué)必修課程5個(gè)模塊中的一個(gè),包括解三角形、數(shù)列及不等式三章
內(nèi)容。
“解三角形”的主要內(nèi)容是介紹三角形的正、余弦定理,和其簡(jiǎn)潔應(yīng)用,旨在通
過(guò)對(duì)隨意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探究,駕馭正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)
潔的三角形度量問(wèn)題以和可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問(wèn)和方法解決一些及測(cè)量
和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。
“數(shù)列”的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念及表示,等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前
n項(xiàng)和。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),是反映自然規(guī)律的根本數(shù)學(xué)模型。要求學(xué)生在探
究中駕馭及等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的一些根本數(shù)量關(guān)系,感受這兩種數(shù)列模型的廣
泛應(yīng)用,并利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題。
“不等式”一章通過(guò)大量現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的詳細(xì)實(shí)例引入不等關(guān)系,扶植
學(xué)生理解不等式(組)對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合一些實(shí)際
問(wèn)題探究求解一元二次不等式的根本方法,用二元一次不等式組表示平面區(qū)域,以和
解決一些簡(jiǎn)潔的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的方法,最終引導(dǎo)學(xué)生探討了根本不等式和其簡(jiǎn)潔
應(yīng)用。
第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
正弦定理:
在A(yíng)ABC中,a、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊,R為AABC的外接圓的半徑,則
abc__
W-——=--=-——=2R.
sinAsinBsinC
正弦定理的變形公式:
①。=2RsinA,b=27?sinB,c=2RsinC;
b._c
②sinA=-^-,sinB=,sinC-;
2R2R2R
③a:/?:c=sinA:sinB:sinC;
④a+b+c_a_b_c
sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC
正弦定理的應(yīng)用范圍:
①已知兩角和任一邊,求其它兩邊和一角;
②已知兩邊和其中一邊對(duì)角,求另一邊的對(duì)角。
【典型例題】
1、在△月3。中,角力、B\。的對(duì)邊分別為a、b>c,A=—fa=A/3,ZJ=1,求Co
2、在△Z。。中,是"sin/=sin。'的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.即不充分又不必要條件
【練習(xí)】
1、AABC中,c=n,4=45°,。=26,求8、C、b.
2、在A(yíng)A3C中,已知a=6,。=后,B=45°.求A、C和c.
3、已知AABC中,sinA:sinB:sinC=1:2:3,求
4、在A(yíng)A3C中,已知下列條件解三角形;
(1)a=&,>=2,A=30°;(2)a=2油=0,A=45°;
(3)A=60\5=45°,tz=10(4)。=3/=4,4=30"
(5)a=2,b=5,A=120°(6)a=3,Z?=6,A=30°
5、在A(yíng)A3C中,a=y/39h=4298=45°.求角A,C和邊c.
6、已知在A(yíng)ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,。和8。
7、在A(yíng)ABC中,A=60°,〃=46,。=4應(yīng),求角8。
8、在A(yíng)A3C中,已知AB=1O0,A=45°,BC=yV3,求角C。
9、在A(yíng)A8C中,若號(hào)=上,求角B。
sinAcosB
10、在A(yíng)43C中,若tanA=Lc=150°,BC=l,求AB。
11>在A(yíng)A8C中,若b=5,=土,tanA=2,求sinA和。。
4
12、在△月3。中,若石a=28sin力,求角B。
13^在A(yíng)A8C中,已知內(nèi)角A=(,邊8c=26。設(shè)內(nèi)角8=x,周長(zhǎng)為y.
(1)求函數(shù)),=/(])的解析式和定義域;(2)求〉的最大值。
余弦定理
在A(yíng)ABC中,有/=/+-2Z?ccosA,b2=a2+c2-2accosB,
余弦定理的變形公式:
余弦定理的應(yīng)用范圍:
①已知三角形的隨意兩邊和它們的夾角就可以求出第三邊;
②已知三角形的二條邊就可以求出其它角。
【典型例題】
1、在△ABC中,已知〃=2百,c=x/6+V2,8=60。,求b和A。
2、如圖,在A(yíng)A8C中,AC=2,BC=\,cosC=-.
4AK
(1)求A5的值;
(2)求sin(24+C)的值.
【練習(xí)】B\------
1、在A(yíng)ABC中,若/=62+02+秘,則角A=o
2、AABC中,a=3,b=近,c=2,則角B=。
3、在A(yíng)ABC中,若。=7,b=8,cosC=g,則最大角的余弦值為。
4、已知在A(yíng)A8C中,b=3,c=3瓜B=30°,則角A=、角C=、a=
5、已知在A(yíng)ABC中,b=3,c=2g,A=30°,則角8=、角。=、邊
6、a=4,力=3,NC=60°,則c=.
7、a=2,b=4,c=3,貝ljNB=L
8、在A(yíng)ABC中,已知/=。2+歷+02,則幺=
9、在MBC中,A=60。,邊長(zhǎng)瓦c是方程3x2-27x+32=0的兩實(shí)根,則邊BC=.
10、在A(yíng)ABC中,^:Z?:c=2:V6:(V3+l),貝IJA=,B=,C=。
11、已知在A(yíng)48C中,AB=31BC=y/13fAC=49則AC邊上的高為
12、已知〃、b、c是AA8C的三邊,5=60。,那么。?一比+/一從的值________
A.大于0B.小于0C,等于0D,不確定
13、在A(yíng)A8C中,若。為鈍角,下列結(jié)論成立的是
A.a2+b2>c2B.a2+Z?2<c2C.a2+b2=c2D.一cosC<0
222
14、在A(yíng)A8C中,a+b<c9且sinC=曰,則。=
15、在A(yíng)A8C中,已知8=60°力2;4,則角A=
16、在中,角AB,C的對(duì)邊分別為"c,若從=m,且c=勿,則cosB.
17、在A(yíng)ABC中,b=4,c=3,BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)當(dāng)一,則44=,。=.
18、在MBC中,A8=3,BC=舊,AC=4,則AC邊上的高為.
19、在MBC中,角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,若川=皿,且c=2a,則cosB=
20、在A(yíng)A3C中,若〃=7,b=8,cosC=^,則最大角的余弦值是________
21、已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是刁5內(nèi)且加>。,這個(gè)三角形的
最大角為o
22、在A(yíng)A8C中,A=60。,且最大邊長(zhǎng)和最小邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根,第
三邊的長(zhǎng)—o
44./?
23、在A(yíng)A8C中,已知tanW^=sinC,給出以下四個(gè)論斷:
其中正確的是___________
24、在A(yíng)A5C中,角A8,C的對(duì)邊分別為%b、c0若(4+。2T2)tanB=6〃c,則角B
的值為—
25、4ABe的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為久b.Co若以b、c成等差數(shù)列,且c=2a。則
cos5=
26、在A(yíng)A8C中,若sinA:sin3:sinC=3:2:4,貝iJcosC的值為
27、在A(yíng)A8c中,已知sinA=《,sinA+cosAv0,a=36,b=5,求c。
解三角形的進(jìn)一步探討
利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)
式,然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系,從而確定三角形的形態(tài)。特殊是有些條件既可用
正弦定理也可用余弦定理甚至可以?xún)烧呋煊谩?/p>
(1)在已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),有兩解或一解或無(wú)解等
情形;
(2)三角形各種類(lèi)型的斷定方法;(3)三角形面積定理的應(yīng)用。
已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形時(shí),留意解的狀況.如已知a,b9A,貝ij
4為鈍角或
4為銳角
直角
c限值
圖形2"A
AB
關(guān)系bsinA<aa>
a<dsinAa=/jsinAa>bb
式<bb
解的
無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解
個(gè)數(shù)
三角形面積公式:S=—ahs\nC;S=-acsinB;S=-Z?csinA
222
【典型例題】
1、在A(yíng)ABC中,已知探討三角形解的狀況。
分析:先由sin8=生2可進(jìn)一步求出B;則。=180。-(4+8),從而
a
1.當(dāng)A為鈍角或直角時(shí),必需才能有且只有一解;否則無(wú)解。
2.當(dāng)A為銳角時(shí),
假如那么只有一解;
假如"6,那么可以分下面三種狀況來(lái)探討:
(1)若a>Z?sin力,則有兩解;(2)若a=Z?sinH,則只有一解;(3)若avbsin力,
則無(wú)解。
評(píng)述:留意在已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí),只有當(dāng)A為銳角
且Asin八86時(shí),有兩解;其它狀況時(shí)則只有一解或無(wú)解。
2、依據(jù)所給條件,推斷A43C的形態(tài).
1)在A(yíng)ABC中,已知a=7,b=5,c=3o2)acosA=Z?cosB;3)——=—-—=—-—
cosAcosBcosC
3、在A(yíng)A5C中,若NA=120,AB=5,BC=7,求AABC的面積。
4、在A(yíng)ABC中,證明:竺?一誓£=勺一金.
ahab
5、設(shè)AA8C的內(nèi)角C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且cos8=1,b=2o
(1)當(dāng)A=30。時(shí),求。的值;⑵當(dāng)AABC的面積為3時(shí),求a+c?的值.
6、在A(yíng)A8C中,已知A8=g,8C=2。
(I)若COSB=—£~,求sin。的值;(U)求角。的取值范圍.
6
【練習(xí)】
1、在A(yíng)ABC中,已知"80,6=100,4=45。,試推斷此三角形的解的狀況。
2、在△ABC中,若"1,c=|,NC=40。,則符合題意的b的值有個(gè)。
3、在A(yíng)ABC中,a=xcm,b=Am,Z.B=45°,假如利用正弦定理解三角形有兩解,求
X的取值范圍。
4、在z\ABC中,已知sin4:sin6:sinC=l:2:3,推斷△ABC的類(lèi)型。
5、在△ABC中,4=60。,a=l,b+c=2,推斷^ABC的形態(tài)。
6、M8C中,切一"=2bccosA,推斷該三角形的形態(tài)。
7、M8C中,lg(sin4+sinC)=21gsinB-lg(sinC-sinA),推斷該三角形的形態(tài)。
8、在A(yíng)ABC中,sinAsinB<cosAcosB,推斷AABC的形態(tài)。
9、在A(yíng)A8C中,若3=60。,26=〃+。,推斷的形態(tài)。
10、在A(yíng)ABC中,已知石缶推斷該三角形的形態(tài)。
11>在A(yíng)ABC中,已知(a+h+c)(a+0—c)=3而,且2cosAsinB=sinC,試確定AA8C的
形態(tài)。
12、AA8C中,假如lg"Igc=lgsin8=-lg正,并且8為銳角,試推斷此三角形的形
態(tài)。
13、AA8C中,COS2《="£(a、尻c分別為角A,B,C所對(duì)的邊),推斷此三角形的形
22c
心、o
14、依據(jù)所給條件,推斷△ABC的形態(tài).
15、在A(yíng)ABC中,〃、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且
2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
(I)求A的大??;(II)若sinB+sinC=l,試推斷AA8C的形態(tài).
16、在aABC中,AB=V3,AC=1,ZA=3O°,求△ABC面積。
面積為4,a+8+c
17、在△ABC中,力=60°,b=l,求的值
sin力+sin8+sinC
18、在A(yíng)ABC中,若"55,8=16,且此三角形的面積5=22。6,2求角C
在A(yíng)ABC中,其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積s=豈±K
19、,求角C
20、已知在A(yíng)ABC中,zB=30,b=6,c=6V3a和AABC的面積
21、在A(yíng)OAB中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(l,cose),8(sinai)/e(0,g,則當(dāng)AO45的面積達(dá)最
大值時(shí),0=
A.-B.-C.-D.-
6432
A
22、已知A8,C為AA8C的三個(gè)內(nèi)角,其所對(duì)的邊分別為久枚c,且2cos?1+cosA=0。
⑴求角4的值;
(2)若a=2V§,Z?+c=4,求AA8C的面積.
23、AA8C內(nèi)接于半徑為R的圓,且2R(sin2A-sin2c)=(。-0sin8,求AA3c的面積
的最大值。
24、三角形的某兩邊長(zhǎng)分別為3的,5所,其夾角的余弦值是方程5爐-7工-6=0的根,求
此三角形的面積。
sin2A+sin*B
在A(yíng)ABC中,求證:(1)巴干
sin2C
(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).
25、已知在A(yíng)A3C中,AB=3,BC=V13,AC=4,貝I」AC邊上的高為()
A.-V2B.-45C.-D.3G
222
26、在A(yíng)A8C中,已知。比人長(zhǎng)2,。比c長(zhǎng)2,且最大角的正弦值為乎,則AA8C的
面積等于()
A.—43B.—C.—>/3D.—>/3
4444
27>在A(yíng)A8C中,已知A=30°,且3〃=屜=12,貝Ijc的值為()
A.4B.8C.4或8D.無(wú)解
a
28、在A(yíng)A8C中,4=60。,48=2,且AABC的面積Sj8c啜,則BC邊的長(zhǎng)為()
A.6B.3C.不D.7
29、在A(yíng)A3C中,若6〃=2以抽4,則/8=()
A30〃B60"C60〃或120〃D30"或150"
30>AA8C中,則A等于()
A.135°B.120°C.45°D.60°
31、在A(yíng)A8C中,角AB,C所對(duì)的邊分別為a、3c。若(忌—c)cosA=acosC,則cosA=
32、已知在A(yíng)48C中,sinA:sin8=VLl,c2=〃+J%c,則三個(gè)內(nèi)角AS。的度數(shù)依
次是______
33、在A(yíng)A8C中,已知S+c):(c+a):(a+0)=4:5:6,給出下列結(jié)論:
①由已知條件,這個(gè)三角形被唯一確定;②A(yíng)ABC肯定是鈍角三角形;
③sinA:sinB:sinC=7:5:3;④若"c=8,則AABC的面積是曳叵。
2
其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________
34、AABC中,已知從-be-2c2=0,且=V6,cosA=—,則AABC的面積等于
8
AC
35、在銳角AABC中,BC=1,B=2A,則一、的值等于____,AC的取值范圍是_
cosA
36、如圖,在中,已知3=45°,。是BC邊上的一點(diǎn),
AD=5,AC=7,DC=3,則A8=/\\
37、在M8C中,內(nèi)角4優(yōu)。所對(duì)邊的邊分別為。、b.co已知
(1)若AA8。的面積等于百,求〃,b;(2)若sin8=2sinAA3C小面
38、在A(yíng)A8C中,內(nèi)角4區(qū)C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是小b、c,已知c=2,C=5.Dc
⑴若AABC的面積等于百,求出b;
(2)若sinC+sin(8-A)=2sin2A,求AABC的面積.
39、AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、3c.己知asinA+csinC-Jit7sinC=bsinB,
(I)求3;(II)若A=75°,b=2,求a,c.
40、在A(yíng)ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別是a,瓦c,已知3acosA=ccos3+Z?cosC,求cosA的
值。
41、在A(yíng)A3C中,?,Lc為角A,5,C所對(duì)的三邊,已知M-(…尸=加,求角A.
42、在A(yíng)ABC中,a、b、c分別是角4B、C的對(duì)邊,且段叱二-——.
cosC2a+c
(1)求角8的大??;
⑵若6=而,a+c=4,求&4BC的面積.
43、在A(yíng)A3C中,內(nèi)角A,仇。的對(duì)邊分別是凡仇c,設(shè)S為AA8C的面積,滿(mǎn)意
222
S=^l(a+b-c)
(1)求角c的大?。?2)求sin4+sinB的最大值。
44、/n=(2cosx+25/3sinn=(cosx,-y),滿(mǎn)意團(tuán)〃=0。(1)將y表示為x的函數(shù)
f(x),并求/(x)的最小正周期。(2)已知AA8C內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別是〃也c,
若/任)=3,且。=2,求He的取值范圍
1.2應(yīng)用舉例
解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分仔細(xì)理解題意,正確做出圖形,把實(shí)際問(wèn)題
里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角,通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解。
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型
測(cè)量間隔問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等.
2.實(shí)際問(wèn)題中的常用角
⑴仰角和俯角
在視線(xiàn)和程度線(xiàn)所成的角中,視線(xiàn)在程度線(xiàn)上方的角叫仰角,在程度線(xiàn)上方的角叫俯
角(如圖⑴).
(2)方位角
指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目的方向線(xiàn)的程度角,如6點(diǎn)的方位角為n(如圖(2)).
⑶方向角:相對(duì)于某正方向的程度角,如南偏東30°,北偏西45。,西偏東60。
等.
⑷坡度:坡面及程度面所成的二面角的度數(shù).
間隔測(cè)量問(wèn)題
【典型例題】
1、如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的間隔,測(cè)量者在A(yíng)的同側(cè),
在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的間隔是55m,NBAC=51。,ZACB=75%
求A、B兩點(diǎn)的間隔(準(zhǔn)確到0.1m)
【練習(xí)】
1、兩燈塔A、B及海洋視察站C的間隔都等于akm,燈塔A在視察站C的北偏東
30°,燈塔B在視察站C南偏東60°,則A、B之間的間隔為多少?
2、如圖所示,為了測(cè)量河對(duì)岸48兩點(diǎn)間的間隔,在這岸定一基線(xiàn)C。,現(xiàn)已測(cè)出
CD-a和ZACD-6O0,Z^CD-30°,
ZBDC=105°,ZADC=60°,試求A8的長(zhǎng).
3、如圖,A8,C,。都在同一個(gè)及程度面垂直的平面
內(nèi)B,Q為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測(cè)量船于水
面A處測(cè)得B點(diǎn)和。點(diǎn)的仰角分別為75,30°,
圖1.2-2
于水面。處測(cè)得3點(diǎn)和。點(diǎn)的仰角均為60。,AC=0.1&m.摸索究圖中8、。間間隔
及另外哪兩點(diǎn)間間隔相等,然后求8,。的間隔.
高度測(cè)量問(wèn)題
【典型例題】
1、AB是底部B不行到達(dá)的一個(gè)建筑物,A為建筑物的最高點(diǎn),設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物
高度AB的方法。
分析:求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在4ACE中,如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A
的間隔CA,再測(cè)出由C點(diǎn)視察A的仰角,就可以計(jì)
算出AE的長(zhǎng)。
【練習(xí)】
1、如圖,在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯
角a=54°4(X,在塔底C處測(cè)得A處的俯角4=50,
已知鐵塔BC局部的高為27.3m,求出山高CD(準(zhǔn)確
到1m)
2、如圖,一輛汽車(chē)在一條程度的馬路上向正東行駛,到
A處時(shí)測(cè)得馬路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南
15。的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此
山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,,求此
山的高度CD.
3、如圖,山腳下有一小塔43,在塔底3測(cè)
得山頂。的仰角為6(r,在山頂。測(cè)得塔
頂A的俯角為45,已知塔高A8=20m,
求山高CD.
4、如圖所示,測(cè)量河對(duì)岸的塔高.4〃時(shí),可以選及塔底e在同一程度面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C
及。,現(xiàn)測(cè)得/BCD=b,4BDC=B,CD=sy并在點(diǎn)。測(cè)得塔頂4的仰角為6,
求塔高AI3.
角度測(cè)量問(wèn)題
【典型例題】
如圖,一艘海輪從A動(dòng)身,沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B燃
后從B動(dòng)身,沿北偏東320的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.假如下次航行干脆
從A動(dòng)身到達(dá)C,此船應(yīng)當(dāng)沿怎樣的方向航行,須要航行多少間隔?(角度準(zhǔn)確到0.1°,
間隔準(zhǔn)確到O.Olnmile)
【練習(xí)】
1、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為外沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C
處測(cè)得頂端A的仰角為2。,再接著前進(jìn)lOV5m至D點(diǎn),測(cè)得頂端A的仰角為4。,
求。的大小和建筑物AE的高。
2、某巡邏艇在A(yíng)處發(fā)覺(jué)北偏東45,相距9海里的C處有一艘走私船,正沿南偏東
75。的方向以1。海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛,巡邏艇馬上以14海里/小時(shí)的速
度沿著直線(xiàn)方向追去,問(wèn)巡邏艇應(yīng)當(dāng)沿什么方向去追?須要多少時(shí)間才追逐上該走私
船?
3、在某海岸A處,發(fā)覺(jué)北偏東30方向,間隔A處(石+Dnmile的3處有一艘走私船
在A(yíng)處北偏西15的方向,間隔A處Knmile的C處的緝私船奉命以5VJnmile/h
的速度追截走私船.此時(shí),走私船正以5nmile/h的速度從8處依據(jù)北偏東30、方
向逃跑,問(wèn)緝私船至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間可以追上走私船,并指出緝私船航行方向.
注:在求解三角形中,我們可以依據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩
個(gè)解,但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題,必需檢驗(yàn)上述所求的解是
否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解。
第二章數(shù)列
2.1數(shù)列的概念及簡(jiǎn)潔表示方法
數(shù)列的概念及簡(jiǎn)潔表示方法
定義:按肯定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列,其中數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都是函數(shù)值,將數(shù)列
中的每個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng),和它在數(shù)列中的次序?qū)?yīng)起來(lái),稱(chēng)為第1項(xiàng),第2
項(xiàng),…,第n項(xiàng),…。
數(shù)列的一般形式:…當(dāng),…,簡(jiǎn)記為{%}
數(shù)列的分類(lèi):
(1)按項(xiàng)數(shù)來(lái)分:
有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列;
無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫。
(2)按項(xiàng)的大小來(lái)分:
遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
常數(shù)列:各項(xiàng)相等的數(shù)列
搖擺數(shù)列:從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的
數(shù)列
數(shù)列{冊(cè)}的第n項(xiàng)及序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這
個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。
【典型例題】
1、已知數(shù)列{凡}滿(mǎn)意―=勺+3,則這個(gè)數(shù)列是。
A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C搖擺數(shù)列D不確定
2、數(shù)列一號(hào)-爭(zhēng)號(hào),…的一個(gè)通項(xiàng)公式是。
n2+n+3)(_l)n5+1)
A4=(7"B%=(一1)"CD
2n+l2n+12〃一1
"2/2+1
3、數(shù)列?、,2啦,而,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是______________
【練習(xí)】
1、下列數(shù)列是遞增、遞減、搖擺還是常數(shù)列?
(1)J,…(2)1,2,2?,…2";(3)1-1,…(4)6,6,6,…
23n
2、已知數(shù)列{凡}滿(mǎn)意:4〉0,也二,則數(shù)列a}是0
凡2
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.搖擺數(shù)列D.不確
定
3、已知數(shù)列a}滿(mǎn)意:%=4+3,則數(shù)列a}是()
A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.搖擺數(shù)列D.不確
定
4、數(shù)列;…中,第10項(xiàng)是_________
345n
5、已知數(shù)列0段,|彳,…,其中0.9是它的第一項(xiàng)。
6、1,1,2,3,5...,這個(gè)數(shù)列的第八項(xiàng)是_______________
7、視察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù),則第7個(gè)圖中有個(gè)小正方形。
8、上述關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()
()
2/??-1
A.an=n-n+\3,4=%
a」(〃+l)/?(/?+2)
VC?an~2
9、設(shè)數(shù)列正,石,2夜,而,-,則2石是這個(gè)數(shù)列的()
A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)
10、數(shù)列7,77,777,7777,77777,……的通項(xiàng)公式為
11、已知數(shù)列{/+小,那么()
A.0是數(shù)列中的一項(xiàng)B.21是數(shù)列中的一項(xiàng)
C.702是數(shù)列中的一項(xiàng)D.以上答案都不對(duì)
12、若則〃〃及J的大小關(guān)系是()
?不能確定
Aan>an+lB.an<an+iC.an=a,^D.
13、依據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式
(2)1,-3,5,?7,9,…;
(3)5,353,5,3,…;
(4)9,99,999,9999,…;
14、寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:
(1)
(2)-1,2,-3,4,…;
(3)1,3,5,7,…;
(4)7,77,777,7777,…;
15、一給定函數(shù)y=/(x)的圖象在下列圖中,并且對(duì)隨意囚£(0,1),由關(guān)系式
%=/(〃“)得到的數(shù)列{〃“}滿(mǎn)意%〉明(〃£“),則該函數(shù)的圖象可能是()
ABCD
23
1D11cl1nl11
AA■---------B?—+------------C.-----------F---------D?—H-----------------1--------------
3nI23n3nI13nI13nI23n3nI13nI2
20、已知數(shù)列{冊(cè)}滿(mǎn)意。/〃T=4T+(-1)”(〃N2),且《=1,則”的值是_______
。3
21、數(shù)列{〃”}中,且---1——=—5wN,nN2),則4二_________.
3勺+1見(jiàn)
22、已知數(shù)列5}的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由勺=%+%-2(〃〉2)給出,
(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng);(2)利用上面的數(shù)列{%},通過(guò)公式a=4包構(gòu)造一個(gè)
a..
新的數(shù)列版}的前5項(xiàng)。
2.2等差數(shù)列
等差數(shù)列:一般地,假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)及它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常
數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常
用字母“d”表示).
等差中項(xiàng):假如a,A,b這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,那么人=空.我們把人=孚叫
22
做a和b的等差中項(xiàng).
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:4=%+(/t-l)d[變式:an=am+(n-m)d]
性質(zhì):若{4}是等差數(shù)列,且m+〃=p+4(次、八p、qwN,),貝=〃p+〃q
【典型例題】
1、已知數(shù)列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.
(1)指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)指出1+4+…+(3n-5)是該數(shù)列的前幾項(xiàng)
之和.
2、將一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式輸入計(jì)算器數(shù)列〃.中,設(shè)數(shù)列的第s項(xiàng)和第t項(xiàng)分別
為心和吃,計(jì)算”二乜的值,你能發(fā)覺(jué)什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論.
s-t
【練習(xí)】
1、(1)求等差數(shù)列3,7,11,……的第4項(xiàng)及第1。項(xiàng).
(2)求等差數(shù)列10,8,6,……的第20項(xiàng).
(3)100是不是等差數(shù)列2,9,16,……的項(xiàng)?假如是,是第幾項(xiàng)?假如不是,
說(shuō)明理由.
(4)-20是不是等差數(shù)列0,—3:,-7,……的項(xiàng)?假如是,是第幾項(xiàng)?假如
不是,說(shuō)明理由.
2、在等差數(shù)列{%}中,(1)已知。4=10,%=19,求生及4
(2)已知。3=9,。9=3,求生「
3、在等差數(shù)列{4}中,已知牝=10,陽(yáng)=31,求%
4、梯子最高一級(jí)寬33cm,最低一級(jí)寬為110cm,中間還有10級(jí),各級(jí)的寬度成
等差數(shù)列,計(jì)算中間各級(jí)的寬度.
5、已知數(shù)列{明}的通項(xiàng)公式%=p〃+g,其中〃、4是常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列是否肯定
是等差數(shù)列?若是,首項(xiàng)及公差分別是什么?
6、已知{%)為等差數(shù)列,以1+以3+?5=105,劭+4+%=99,則以20等于
A.-1B.1C.3D.7
7、已知{q}為等差數(shù)列,且%—2出=-1,%=。,則公差<1=
A.-2B.-lC.-D.2
22
8、等差數(shù)列{%}中,4+生+…+%=81且生+4+…+《o=171,則公差d=
9、各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列&}中,2%-存+2%=0,則%的值為()
A.0B,4C.0或4D.2
10、已知等差數(shù)列{%}中,%+/=16必=L貝必12的值是()
A.15B.30C.31D.64
11、等差數(shù)列{%}中,4+4=30,%=7,則4的值為
A.15B.23C.25D.37
、設(shè){凡}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若貝
124+4+43=15,a1a2a3=80,lJ%+42+43=
0
A120B105C90D75
13、若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34,后3項(xiàng)和為146,且全部項(xiàng)的和為390,求這個(gè)數(shù)
列項(xiàng)數(shù).
14、在等差數(shù)列{aj中4=〃z,則%的值為0
Arn-\-nB—(,〃+〃)Q—{rn—ri)D0
15、已知在等差數(shù)列"}中,Ss=a5,a4^0,求出:4=
16、在等差數(shù)列{氏}中,若。3,?!笔欠匠?+10x+16=0的兩根,則的=
17、若〃。力,兩個(gè)等差數(shù)列兄再,電力及。,%,、2,/3,力的公差分別為八“2,則
A-
18、等差數(shù)列?}的前10項(xiàng)的和品=100,前100項(xiàng)的和S3=10,求前110項(xiàng)的和S.
19、《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一,請(qǐng)解答書(shū)中的一道題目,把
100個(gè)面包分給5個(gè)人,使每個(gè)人所得成等差數(shù)列,且是較多的三分之和的g是較少
的兩份之和,求最少一份的量。
20、已知數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和為S”,點(diǎn)不氏,_」-)(〃£%*)在曲線(xiàn)/Q)=4+二,且
4+1V廠(chǎng)
4=lq〉0,求證:數(shù)列;是等差數(shù)列,并求知。
lAJ
21、假如外,4,…,%為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列,公差貝匹)
Aa{>a4a5B^]<a4a5Ca}+a^>a4+asDa^=a4as
22、已知?、鞘且淮魏瘮?shù),其圖象過(guò)點(diǎn)(3,5),又〃2)J(5),15成等差數(shù)列,求
/(1)+/(2)+.?.+/(〃)的值.
23、已知數(shù)列1—1^]成等差數(shù)列,且。3=-?嗎=-;,求心的值。
an+2\67
2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式:①去二、,;②
等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì):
s
①若項(xiàng)數(shù)為2小eN"),則S?”=〃(%+%),且S偶-S奇二小管=\
)偶an+\
②若項(xiàng)數(shù)為2〃一1(〃wN*),則Sa,”=(2〃一1”〃,且S奇-S偶=勺,》=-^―(其中S奇=,
S偶=(〃T)/)。
【典型例題】
1、已知等差數(shù)列{凡}的前n項(xiàng)之和記為Sn,S10=10,S30=70,則S40等于
2、已知一個(gè)等差數(shù)列"}的通項(xiàng)公式為=25—511,求數(shù)列{|。.|}的前n項(xiàng)和;
【練習(xí)】
1、等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前一項(xiàng)的和是54?
2、(1)求正整數(shù)列前n個(gè)偶數(shù)的和;(2)求正整數(shù)列前n個(gè)奇數(shù)的和。
3、假如等差數(shù)列{(}的前4項(xiàng)的和是2,前9項(xiàng)的和是-6,求其前n項(xiàng)和的公式。
4、依據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列{〃“}的有關(guān)未知數(shù):
(1)=5,求n和勺;(2)d=2/=15,4=70,求q及S”
66
5、等差數(shù)列L}、h}的前n項(xiàng)和為Sn、Tn.若興=普)55),求魯;
6、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,求前n項(xiàng)和。
7、設(shè)S”是等差數(shù)列{《,}的前n項(xiàng)和,已知出=3,4=11,則邑等于()
A.13B.35C.49D.63
8、等差數(shù)列{%}的前n項(xiàng)和為S.,且S3=6,a=4,則公差d等于。
A.1B-C.-2D3
3
9、等差數(shù)列{4}的前n項(xiàng)和為已知/7+--用=。,S2M=38,則〃?=()
A.38B.20C.10D.9
10、若等差數(shù)列{可}的前5項(xiàng)和$5=25,且生=3,則%=()
A.12B.13C.14D.15
11、已知以)是等差數(shù)列,4+4=4,生+%=28,則該數(shù)列前10項(xiàng)和£。等于()
A.64B.100C.110D.120
12、記等差數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S”,若4=754=20,則56=()
A.16B.24C.36D.48
13、等差數(shù)列{4}的前n項(xiàng)和為5,若〃2=1.=3,則5產(chǎn)()
A.12B.10C.8D.6
14、設(shè)等差數(shù)列僅“}的前〃項(xiàng)和為S〃,若§3=9,S6=36,則%+/+。9=()
A.63B.45C.36D.27
15、已知兩個(gè)等差數(shù)列{q}和的』的前〃項(xiàng)和分別為4和4,且今=2千,則使得
⑶為整數(shù)的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是()
A.2B.3C.4D.5
16、等差數(shù)列{3}中,^=1,53+55=14,其前A項(xiàng)和S『100,則n=()
A.9B.10C.11D.12
17、設(shè)等差數(shù)列{為}的前〃項(xiàng)和為s.,若spioavis,則為的最大值為
18、設(shè)&=是等差數(shù)列{&}的前白項(xiàng)和,團(tuán)2=-8£=-9,則Sv.
19、已知等差數(shù)列{q}的前〃項(xiàng)和為S.,若$=21,貝1」3+%+/+%=.
20、若數(shù)列飽}的前〃項(xiàng)和S”=/-10〃(〃=L2,3,...),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為
;數(shù)列{?〃}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng).
21、各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列⑸}中,若4-%—-=05wN\〃N2),則S200g等于
()
A.0B.2C.2009D.4018
22、已知等差數(shù)列4}的前n項(xiàng)和為Sn,若S7=14,則%+a的值為()
A.2B.4C.7D.8
23、在等差數(shù)列{(}中,/+6=4,則其前9項(xiàng)的和Sg等于()
A.18B27C36D9
24、在等差數(shù)列&}中,q+4+%=39,生+4+%=27,則數(shù)列{為}的前9項(xiàng)之和
S。等于()
A.66B.99C-144D.?297
25、設(shè)等差數(shù)列{/}的前n項(xiàng)和為S”,若$4=8應(yīng)=20,則a”+a{2+a13+a14=
()
A.18B.17C.16D.15
26、已知等差數(shù)列a}共有10。項(xiàng),前三項(xiàng)的和為7,最終三項(xiàng)和為3,那么前100
項(xiàng)和為
27、等差數(shù)列{4}前
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