2024-2025學年高二上學期期中模擬考試數(shù)學試題人教B版2019選擇性必修第一冊第1-2章：空間向量與立體幾何 平面解析幾何（全解全析）

2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教B版（2019）選擇性必修第一冊第一章~第二章（空間向量與立體幾何+平面解析幾何）。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．經(jīng)過兩點A2,m,B-m,4的直線l的傾斜角為135°，則A．-2 B．1 C．3 D．4【答案】B【解析】經(jīng)過兩點A2,m,B-m,4的直線l又直線l的傾斜角為135°，所以m-42+m=故選：B.2．已知向量，若共面，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因為共面，所以，即，所以，解得.故選D.3．材料一:已知三角形三邊長分別為，，，則三角形的面積為，其中，這個公式被稱為海倫-秦九韶公式；材料二:阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中提出橢圓定義:我們把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓.根據(jù)材料一或材料二解答:已知中，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用材料一：根據(jù)海倫-秦九韶公式，，其中，由題意，可知，，，且，故；當且僅當，即時取等號.用材料二：以BC的中點為原點，由橢圓的定義易知，橢圓方程為，（為A到BC的距離），，當且僅當時取等號.故選C.4．在正四面體中，棱長為1，且D為棱的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，因為D為棱的中點，所以，，因為幾何體為正四面體，故PA與夾角為60°，同理PB與夾角為60°，，故，故選D.5．若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設雙曲線、橢圓的焦距分別為、，離心率分別為、，則，可得，所以，橢圓的焦點在軸上，則.故選C.6．在矩形中，，，E、F分別為邊、上的點，且，現(xiàn)將沿直線折成，使得點在平面上的射影在四邊形內(nèi)（不含邊界），設二面角的大小為，直線與平面所成的角為，直線與直線所成角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】過A作的垂線，分別交，，于M，G，N，如圖，顯然.因為，所以直線與所成角即為.當在平面上的射影為G時，平面，此時.于是當在平面上的射影在線段上時，，所以.由于，，進而得，.因為是在平面上的射影，所以由線面角最小性知，即.再由二面角的最大性知.故選D.7．過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選B.

8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線上一點，且（為坐標原點），若內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即為，即為，可得．所以．根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設點P在第一象限，如圖所示，由題意設的內(nèi)切圓切三邊分別于G，D，E三點，則，，．又，所以．設，則，所以，所以切點D為雙曲線的右頂點，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因為，所以C的離心率為，故選C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知空間四點，則下列說法正確的是（

）A．B．C．點O到直線的距離為D．O，A，B，C四點共面【答案】AC【解析】由題意，，，A正確；，B錯誤；，，所以，，所以點O到直線的距離為，C正確；，假設若O，A，B，C四點共面，則共面，設，則，此方程組無解，所以O，A，B，C四點不共面，D錯．故選AC．10．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過原點的直線與雙曲線交于A、B兩點.若四邊形為矩形，且，則下列正確的是（

）A． B．雙曲線的離心率為C．矩形的面積為 D．雙曲線的漸近線方程為【答案】AB【解析】如下圖所示：設AF2=m由雙曲線的定義可知，因為四邊形為矩形，所以，因此，所以選項A正確；由，所以選項B正確；矩形的面積為，所以選項C不正確；因為，所以雙曲線的漸近線方程為，因此選項D不正確，故選AB.

11．已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于 B．點到直線的距離大于C．當最小時， D．當最大時，【答案】ACD【解析】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為_________．【答案】5【解析】因為圓心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．13．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【解析】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.

14．已知橢圓＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，則三角形F2AB的內(nèi)切圓半徑的取值范圍為.【答案】【解析】如圖，由橢圓，得，，∴，，當直線無限接近軸時，無限趨近于，則的內(nèi)切圓的半徑無限趨近于0；設，聯(lián)立，得..設內(nèi)切圓半徑為，則即，∴，令，得，當且僅當時等號成立，∴三角形的內(nèi)切圓半徑的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖所示，在平行六面體中，，，，設，，.(1)用，，表示并求出；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【解析】（1）由題意得，故，------------------------------------------------------------------2分，-----------------------------------------------------------------------5分故；-------------------------------------------------------------------------------------------6分（2），故，-------------------------------------------------------------------------------8分，故，---------------------------------------------------------------------------------------10分設異面直線與所成角的大小為，則，-----------------------------------------------------------12分故異面直線與所成角的余弦值為.------------------------------------------------13分16．（15分）過點有一條直線，它夾在兩條直線與之間的線段恰被點平分，求直線的方程．【解析】設直線夾在直線之間的線段是，（在上，在上）設，因為被點平分，所以，于是

----------------------------------4分

由于在上，在上，所以，解得，

--------------------------------------------------10分

即A的坐標是，而，，利用點斜式得：，即.

----------------------------14分

所以直線的方程是：

-------------------------------------------------------------15分

17．（15分）如圖所示，在三棱錐中，，，．

(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：因為，所以，

-----------------------2分

同理可得，故，

-------------------------------------------------------4分

因為，平面，所以平面

-------------------------------5分

因為平面，故平面平面．

-----------------------------------------------6分

（2）以C為坐標原點，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

-----------------------7分

因為

則，，，，，

----------8分

所以，，．-------------------9分

設為平面的法向量，則即令，得．

----------------------------12分

設直線與平面所成的角為，則，

-----------------------------------------14分

所以直線與平面所成角的正弦值為．

-----------------------------------------15分

18．（17分）已知圓C：關(guān)于直線對稱，且圓心在x軸上．(1)求圓C的標準方程；(2)若動點M在直線上，過點M引圓C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．①記四邊形MACB的面積為S，求S的最小值；②求證：直線AB恒過定點．【解析】（1）圓C的方程的圓心坐標為，半徑，

-------2分

由圓心在x軸上，圓關(guān)于直線對稱得到，，，，，所求圓C的標準方程為．

--------------------------6分

（2）如下圖所示，過點M引圓C的兩條切線MA、MB，切點分別為A、B，，，，

-----------------------------------------7分

，

--------------------------------------9分

當最小時，四邊形的面積最小，當點M在x軸上時，此時S的最小值為．

-------------------------------------------------------11分

設點，四點MBCA共圓，即點A、B在以CM為直徑的圓上，該圓的圓心為，半徑為，，即，

---------------------------------13分

是圓C與以MC為直徑的圓的公共弦，直線AB的方程為兩圓公共弦方程，兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到，

-----------------------------------------------------------------------------15分

時，，無論m取何值直線恒過點．

-------------------------------------------17分

19．（17分）中國結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對應著數(shù)學曲線中的伯努利雙紐線.在平面上，我們把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個焦點.數(shù)學家雅各布?伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究.已知曲線是一條伯努利雙紐線.(1)求曲線C的焦點，的坐標；(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A，B（異于坐標原點O），使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.如果存在，求出A，B坐標；如果不存在，請說明理由.【解析】（1）方法一：設焦點，，曲線與x軸正半軸交于點，由題意知，于是，，

--------------------4分

因此，；

----------------------------------------------------------------6分

方法二：設焦點，，由題意知，即，

--------------------------------------------2分

整理得，于是，.

-----------------------------------4分

因此，，；

-----------------------------------------------------------6分

（2）假設曲線C上存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O，即，由題意知直線OA，