高中數(shù)學(xué)必修二《第十章 概率》同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修二《第十章概率》同步練習(xí)

<10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件》同步練習(xí)

[合格基礎(chǔ)練]

一、選擇題

1.下列現(xiàn)象中，不可能事件是（）

A.三角形的內(nèi)角和為180。

B.a_L〃，bl.a,a//b

C.銳角三角形中兩內(nèi)角和小于90°

D.三角形中任意兩邊之和大于第三邊

C[銳角三角形中兩內(nèi)角和大于90°.]

2.下列事件中的隨機(jī)事件為（）

A.若a,b,。都是實(shí)數(shù)，則a（6c）=（數(shù)）。

B.沒有水和空氣，人也可以生存下去

C.拋擲一枚硬幣，反面向上

D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達(dá)到60℃時(shí)水沸騰

C[A中的等式是實(shí)數(shù)乘法的結(jié)合律，對(duì)任意實(shí)數(shù)&b,。是恒成立的，故

A是必然事件.在沒有空氣和水的條件下，人是絕對(duì)不能生存下去的，故B是不

可能事件.拋擲一枚硬幣時(shí)，在沒得到結(jié)果之前，并不知道會(huì)是正面向上還是反

面向上，故C是隨機(jī)事件.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下，只有溫度達(dá)到100°C,水

才會(huì)沸騰，當(dāng)溫度是60C時(shí)，水是絕對(duì)不會(huì)沸騰的，故D是不可能事件.]

3.某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)興趣小組，某學(xué)生只

選報(bào)其中的2個(gè)，則試驗(yàn)的樣本點(diǎn)共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

C[該生選報(bào)的所有可能情況是：｛數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)｝,｛數(shù)學(xué)和航空模型｝,｛計(jì)

算機(jī)和航空模型｝,所以試驗(yàn)的樣本點(diǎn)共有3個(gè).]

4.下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（）

①三角形內(nèi)角和為180°；②三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；③三角形

中兩個(gè)內(nèi)角和小于90°；④三角形中任意兩邊的和大于第三邊

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

A[若兩內(nèi)角的和小于90°,則第三個(gè)內(nèi)角必大于90。，故不是銳角三角

形，，③是隨機(jī)事件，而①②④均為必然事件.]

5.從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，那么“這2個(gè)數(shù)的和大于4”

包含的樣本點(diǎn)數(shù)為()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

C[從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，則試驗(yàn)的樣本空間為。=

{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中“這2個(gè)數(shù)的和大于4”

包含的樣本點(diǎn)有：(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4個(gè).]

二、填空題

6.投擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為8所包含的樣本點(diǎn)有個(gè).

5[樣本點(diǎn)為(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5個(gè).]

7.下列試驗(yàn)中是隨機(jī)事件的有.

①某收費(fèi)站在一天內(nèi)通過的車輛數(shù)；②一個(gè)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等;

③某運(yùn)動(dòng)員在下屆奧運(yùn)會(huì)上獲得冠軍；④某同學(xué)在回家的路上撿到100元錢；⑤

沒有水和陽(yáng)光的條件下，小麥的種子發(fā)芽.

①③④[①③④都是隨機(jī)事件，②是必然事件，⑤是不可能事件.]

8.從1,2,3,…，10中任意選一個(gè)數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為,

滿足“它是偶數(shù)”樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

0={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}5[樣本空間為。=

(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),其中滿足“它是偶數(shù)”樣本點(diǎn)有：2,4,6,8,10,共有

5個(gè).]

三、解答題

9.己知集合材={-2,3},N={-4,5,6),從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為

點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；

(2)求這個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)；

(3)寫出“第一象限內(nèi)的點(diǎn)”所包含的樣本點(diǎn).

[解](1)。={(一2,-4),(-2,5),(-2,6),(3,-4),(3,5),(3,6),

(—4,—2),(5,—2),(6?—2),(—4,3),(5,3)?(6,3)}.

(2)試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)是12.

(3)“第一象限內(nèi)的點(diǎn)”所包含的樣本點(diǎn)為：(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).

10.現(xiàn)在甲、乙、丙三人玩剪刀、石頭、布的出拳游戲，觀察其出拳情況.

(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間；

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點(diǎn)有哪些?

［解］以(/S,⑸表示三人中甲出剪刀、乙出石頭、齒出布.

⑴。={(/J,J),(/J,S，(/S,力，(S,J,力，(/J,而，(/

B,力，(氏/力，(7,S,5),(S/S,(S,S,力,(/B,而，(8,J,

0,(B,B,J),(S,S,5),(5,S,0,(5,B,。，{B,S,5),(B,B,S,

(B,S,舟,(S,B,皮，(昆昆與，(/,￡而，(7，B,S，(S,J,0，(S,

B，J)，(昆J,S,(其5,J)}.

(2)“三人出拳相同”包含的樣本點(diǎn)有：(/J,力，(S,S,。，(B,B,機(jī)

［等級(jí)過關(guān)練］

1.“連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地溝勻的骰子，記錄朝上的點(diǎn)數(shù)”，該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)

共有()

A.6種B.12種

C.24種D.36種

D[試驗(yàn)的全部樣本點(diǎn)為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5;,(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),

(3,6),(4,1),(4,2),(4,3;,(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36

種.]

2.在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不是隨機(jī)事

件的是()

A.3件都是正品B.至少有1件次品

C.3件都是次品D.至少有1件正品

C［25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，則“3件都

是次品”不是隨機(jī)事件.］

3.一袋中裝有10個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，現(xiàn)在把球隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)

摸出來，為了保證在第k次或第k次之前能首次摸出紅球，則k的最小值

為.

16[至少需摸完黑球和白球共15個(gè).]

4.下列試驗(yàn)中，隨機(jī)事件有__,必然事件有_____.

①長(zhǎng)度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形；②打開電視機(jī)，正好

在播新聞；③從裝有3個(gè)黃球、5個(gè)紅球的袋子中任摸4個(gè)，全部都是黃球；④

下周六是晴天.

②④①[①是必然事件，③是不可能事件，②④是隨機(jī)事件.]

5.設(shè)有一列北上的火車，已知?？康恼居赡现帘狈謩e為S,S,…，S。共

10站.若甲在&站買票，乙在&站買票.設(shè)試驗(yàn)的樣本空間。表示火車所有可

能停靠的站，令力表示甲可能到達(dá)的站的集合，〃表示乙可能到達(dá)的站的集合.

(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間0

⑵寫出43包含的樣本點(diǎn)；

(3)鐵路局需為該列車準(zhǔn)備多少種北上的車票?

［解］(1){S,￡,S,W,S,S，W,So}.

(2)A=W，S,St,1，W，So}；B={57,S,W，So}.

(3)鐵路局需要準(zhǔn)備從S站發(fā)車的車票共計(jì)9種，

從S站發(fā)車的車票共計(jì)8種，……,從W站發(fā)車的車票1種，合計(jì)共9+8

+…+2+1=45(種).

《10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》同步練習(xí)

[合格基礎(chǔ)練]

一、選擇題

1.從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中任取3個(gè)小球，則下列選項(xiàng)中的兩

個(gè)事件是互斥事件的為()

A.“都是紅球”與“至少1個(gè)紅球”

B.“恰有2個(gè)紅球”與“至少1個(gè)白球”

C.“至少1個(gè)白球”與“至多1個(gè)紅球”

D.“2個(gè)紅球，1個(gè)白球”與“2個(gè)白球，1個(gè)紅球”

D[A,B,C中兩個(gè)事件是包含與被包含關(guān)系，只有D,兩個(gè)事件不可能同

時(shí)發(fā)生，是互斥事件.]

2.抽查10件產(chǎn)品，記事件4為“至少有2件次品”，則力的對(duì)立事件為（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結(jié)果，故它

的對(duì)立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品.]

3.給出以下三個(gè)命題：（1）將一枚硬幣拋擲兩次，記事件4”兩次都出現(xiàn)

正面”，事件層“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件力與事件笈是對(duì)立事件；（2）在

命題（1）中，事件1與事件4是互斥事件；（3）在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從

中任取3件，記事件力：”所取3件中最多有2件是次品”，事件艮“所取3

件中至少有2件是次品”，則事件力與事件3是互斥事件.其中命題正確的個(gè)數(shù)

是（）

A.0B.1

C.2D.3

B[（1）還有可能出現(xiàn)一次出現(xiàn)正面，一次出現(xiàn)反面這種情況，所以事件A

和8是互斥事件，但不是對(duì)立事件，所以⑴錯(cuò)誤；（2）正確；（3）中可能出現(xiàn)2

件次品，1件正品的情況，所以事件力與事件6不是互斥事件.故選B.]

4.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件4=｛兩彈

都擊中飛機(jī)｝,事件8=｛兩彈都沒擊中飛機(jī)｝,事件仁｛恰有一彈擊中飛機(jī)｝,事

件D=｛至少有一彈擊中飛機(jī)｝,下列關(guān)系不正確的是（）

A.AQDB.BC\D=0

C.AUC=DD.AUC=BUD

D[“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚

擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都

擊中，：.AUC^BUD,1

5.如果事件4B互斥,那么（）

A./UA是必然事件

B.，u/是必然事件

C.7與下一定互斥

D.力與8一定不互斥

B［用集合的表示法中的“Venn圖”解決比較直觀，如圖所示，AUB=I

是必然事件，故選B.

--------------I］

二、填空題

6.事件“某人從裝有5個(gè)黑球，5個(gè)白球的袋中任取5個(gè)小球，其中至少4

個(gè)是黑球”的對(duì)立事件是.

某人從裝有5個(gè)黑球，5個(gè)白球的袋中任取5個(gè)小球，其中至多3個(gè)是黑球

［事件“某人從裝有5個(gè)黑球，5個(gè)白球的袋中任取5個(gè)小球，其中至少4個(gè)是

黑球”的對(duì)立事件是“某人從裝有5個(gè)黑球，5個(gè)白球的袋中任取5個(gè)小球，其

中至多3個(gè)是黑球”.］

7.同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點(diǎn)且不是6點(diǎn)”的對(duì)立事件

為.

①一個(gè)是5點(diǎn)，另一個(gè)是6點(diǎn)；

②一個(gè)是5點(diǎn)，另一個(gè)是4點(diǎn)；

③至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)；

④至多有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn).

③［同時(shí)擲甲、乙兩枚段子，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有36個(gè)，”都不是5點(diǎn)且

不是6點(diǎn)”包含16個(gè)，其對(duì)立事件是“至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)”.］

8.向上拋擲一枚骰子，設(shè)事件力=｛點(diǎn)數(shù)為2或4｝,事件，=｛點(diǎn)數(shù)為2或

6）,事件C=｛點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)）,則事件。與4夕的運(yùn)算關(guān)系是.

C=AUB［由題意可知層］

三、解答題

9.某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件力為“只訂甲報(bào)”，事件

8為“至少訂一種報(bào)”，事件C為“至多訂一種報(bào)”，事件〃為“不訂甲報(bào)”，

事件￡為“一種報(bào)也不訂”.判斷下列事件是否是互斥事件，如果是，判斷它們

是否是對(duì)立事件.

⑴力與G⑵6與公（3）8與〃；⑷5與C；⑸。與￡

［解］(1)由于事件?！爸炼嘤喴环N報(bào)”中可能只訂甲報(bào)，即事件力與事件。

有可能同時(shí)發(fā)生，故力與。不是互斥事件.

(2)事件5"至少訂一種?艮”與事件￡“一種報(bào)也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生

的，故事件6與￡是互斥事件,由于事件8和事件后必有一個(gè)發(fā)生，板B與E

也是對(duì)立事件.

(3)事件夕“至少訂一種強(qiáng)”中有可能只訂乙報(bào)，即有可能不訂甲報(bào)，也就

是說事件6發(fā)生，事件〃也可能發(fā)生，故〃與〃不是互斥事件.

(4)事件6"至少訂一種報(bào)”中有3種可能：“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂

甲、乙兩種報(bào)”.事件。“至多訂一種報(bào)”中有3種可能：“一種報(bào)也不訂”“只

訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”.即事件3與事件?？赡芡瑫r(shí)發(fā)生，故3與。不是互斥事

件.

(5)由(4)的分析可知，事件￡“一種報(bào)也不訂”僅僅是事件。的一種可能，

事件C與事件后可能同時(shí)發(fā)生，故。與￡不是互斥事件.

10.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，用集

合的形式分別寫出下列事件，并判斷下列每對(duì)事件的關(guān)系：

(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.

［解］設(shè)3名男生用數(shù)字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x,

0a￡{1,2,3},yW{4,5})表示選出參加比賽的2名同學(xué)，則試驗(yàn)的樣本空間為

?={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

(4,5)),

(1)設(shè)力=“恰有1名男生”，B="恰有2名男生”，

則力={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},4{(1,2),(1,3),

(2,3)},

因?yàn)?08=。，所以事件力與事件夕互斥且不對(duì)立.

⑵設(shè)C="至少有1名男生”，。=“全是男生”，

則￡{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

>9={(1,2),(1,3),(2,3)),因?yàn)?n所以尾C即事件。與事件〃

不互斥

⑶設(shè)￡=“至少有1名男生”，F(xiàn)=“全是女生"，則￡={(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)),

4{(4,5)},因?yàn)椤闍Q。，所以右和/互為對(duì)立事件.

⑷設(shè)G="至少有1名男生”，H="至少有1名女生”，則

6^{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

"={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},

由于GDQ{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},所以G與〃

不互斥.

［等級(jí)過關(guān)練］

1.把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分

得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()

A.對(duì)立事件B.互斥但不對(duì)立事件

C.不可能事件D.以上說法都不對(duì)

B［因?yàn)橹挥?張紅牌，所以這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥

事件；但這兩個(gè)事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對(duì)立事件.］

2,下列各組事件中，不是互斥事件的是()

A.一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6

B.統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分不低于90分與平均分不高于90分

C.播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒

D.檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70喘

B［對(duì)于B,設(shè)事件4為平均分不低于90分,事件12為平均分不高于90

分,則4n4為平均分等于90分，4,4可能同時(shí)發(fā)生，故它們不是互斥事件.］

3.拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件力={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)},事件8={出

現(xiàn)2點(diǎn)},事件C={出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)},則下列不成立的是()

A.AQCB.10夕=0

C.力U3=CD.BCC=0

D［易知力UQC,BCC=B,所以選項(xiàng)D不正確.］

4.現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，記取到

語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)書分別為事件4B,C,D,E,則事件“取出的

是理科書”可記為_______.

BUDUE［由題意可知事件“取出的是理科書”可記為8U〃U￡］

5.從學(xué)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6名同學(xué)中選出一名同學(xué)擔(dān)任班長(zhǎng)，其中1,3,5

號(hào)同學(xué)為男生，2,4,6號(hào)同學(xué)為女生，記：G="選出1號(hào)同學(xué)”,C=“選出2

號(hào)同學(xué)”，G="選出3號(hào)同學(xué)“，&="選出4號(hào)同學(xué)”，Q="選出5號(hào)同

學(xué)”，G="選出6號(hào)同學(xué)”，〃=“選出的同學(xué)學(xué)號(hào)不大于1”,〃=“選出的

同學(xué)學(xué)號(hào)大于4"，4=“選出的同學(xué)學(xué)號(hào)小于6"，E="選出的同學(xué)學(xué)號(hào)小于

7”,F="選出的同學(xué)學(xué)號(hào)大于6"，G="選出的同學(xué)學(xué)號(hào)為為偶數(shù)”，〃="選

出的同學(xué)學(xué)號(hào)為奇數(shù)”，等等.據(jù)此回答下列問題：

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件C發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？

(3)如果事件〃發(fā)生，則H能是哪些事件發(fā)生？在集合中，事件〃與這些事

件之間有何關(guān)系？

(4)有沒有某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件8發(fā)生的情況？它們之間

的關(guān)系如何描述？

(5)兩個(gè)事件的交事件也可能為不可能事件，在上述事件中能找出這樣的例

子嗎？

［解］(1)必然事件有：艮

隨機(jī)事件有：C，C,G,凡G戛,仄，d,d,G,H；

不可能事件有：F.

(2)如果事件G發(fā)生，則事件〃一定發(fā)生.

(3)可能是G,GG發(fā)生，4GUCUG.

(4)〃和〃同時(shí)發(fā)生時(shí)，即為G發(fā)生了.

(5)有，如：G和C；&和a等等.

《10.1.3古典概型》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.一部三冊(cè)的小說，任意排放在書架的同一層上，則第一冊(cè)和第二冊(cè)相鄰

的概率為（）

1123

A.7B-C-D-

J乙J4

C［試驗(yàn)的樣本空間Q=｛（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,

（3,2,1）｝,共6個(gè)樣本點(diǎn)，事件“第一冊(cè)和第二冊(cè)相鄰”包含4個(gè)樣本點(diǎn)，故第

42

一冊(cè)和第二冊(cè)相鄰的概率為/^-=-］

63

2.從｛1,2,3,4,5）中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為4從｛1,2,3）中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,

則力a的概率是（）

4321

A.-B.-C.-D.-

5555

D［設(shè)所取的數(shù)中力a為事件4如果把選出的數(shù)小6寫成一數(shù)對(duì)（a,6）

的形式，則試驗(yàn)的樣本空間。=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1;,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）｝,共15

個(gè)，事件力包含的樣本點(diǎn)有（1,2）、（1,3）、（2,3）,共3個(gè)，因此所求的概率P（4）

=-3-=—1

155」

3.從甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都當(dāng)

選的概率為（）

A2n2八3、3

A-5B-10C-10D-5

C［從五個(gè)人中選取三人，則試驗(yàn)的樣本空間。=｛（甲，乙，丙），（甲,

乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，?。?，（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙,

丙，?。?，（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊）｝，而甲、乙都當(dāng)選的結(jié)

果有3種，故所求的概率為誣.］

4.同時(shí)拋擲三枚均勻的硬幣，出現(xiàn)一枚正面，二枚反畫的概率等于（）

131

---

48D.2

C［試驗(yàn)的樣本空間。=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）,

（反，正，正），（正，反，反），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）｝,

3

共8種，出現(xiàn)一枚正面，二枚反面的樣本點(diǎn)有3種，故概率為々事］

O

5.有五根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為1,3,5,7,9,從中任取三根，能搭成三角形

的概率是()

3213

A—R—r—n—

205510

D［設(shè)取出的三根木棒能搭成三角形為事件A,試驗(yàn)的樣本空間。=

{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),

(3,7,9),(5,7,9)},樣本空間的總數(shù)為10,由于三角形兩邊之和大于第三邊,

構(gòu)成三角形的樣本點(diǎn)只有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)三種情況，故所求概率為

產(chǎn)(力)=記］

二、填空題

6.從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的

2件中恰有1件是次品的概率為.

1［設(shè)3件正品為4B,C1件次品為〃，從中不放回地任取2件，

試驗(yàn)的樣本空間。={孫AC,AD,BC,即，切，共6個(gè).其中恰有1件

Q1

是次品的樣本點(diǎn)有：AD,BD,CD,共3個(gè)，故

oz

7.在國(guó)慶閱兵中，某兵種力，B,C三個(gè)方陣按一定次序通過主席臺(tái)，若先

后次序是隨機(jī)排定的，則8先于4C通過的概率為.

1［用(4B,6)表示兒B,。通過主席臺(tái)的次序，則試驗(yàn)的樣本空間。=

{(AB,0,(A,C,助,(86),(B,C,J),(G4曲,(C,6,4)}，共

6個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件8先于小。通過的有(8C,0和(84。，共2個(gè)樣

91

本點(diǎn)，故所求概率P=-^=~］

63

8.從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是.

1［從5個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，樣本點(diǎn)的總數(shù)為10,若取出的兩

□

數(shù)之和等于5,則有(1,4),(2,3),共有2種樣本點(diǎn)，所以取出的兩數(shù)之和等于

21

5的概率為行=三］

1U0

三、解答題

9.甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩游

戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不

放回，各抽一張.

(1)設(shè)(九分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，貝IJ乙勝.你

認(rèn)為此游戲是否公平？說明你的理由.

［解］(1)方片4用4,表示，試驗(yàn)的樣本空間為{(2,3),(2,4),

(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4‘，2),(4‘，

3),(41，4)},則樣本點(diǎn)的總數(shù)為12.

(2)不公平.甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2),(4,2),(4,3),(4‘，2),

(4‘，3)5種，甲勝的概率為尸尸含6，乙勝的概率為己=何7，因?yàn)榧?<?7?，所以

此游戲不公平.

10.某學(xué)校有初級(jí)教師21人，中級(jí)教師14人，高級(jí)教師7人，現(xiàn)采用分層

隨機(jī)抽樣的方法從這些教師中抽取6人對(duì)績(jī)效工資情況進(jìn)行調(diào)查.

(1)求應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)教師中分別抽取的人數(shù)；

(2)若從分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中隨機(jī)抽取2名教師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分

析，求抽取的2名教師均為初級(jí)教師的概率.

［解］(1)由分層隨機(jī)抽詳知識(shí)得應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)教師中抽

取的人數(shù)分別為3,2,1.

(2)在分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中，3名初級(jí)教師分別記為4,4,4,2

名中級(jí)教師分別記為4,4,高級(jí)教師記為4,則從中抽取2名教師的樣本空間

為0={(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),為,4),(4,4),

(4,4),(4，4)>(4,4),(4,4),(4,4),(4,4),(4,4)>(4,4)},

即樣本點(diǎn)的總數(shù)為15.抽取的2名教師均為初級(jí)教師(記為事件&的樣本點(diǎn)為(4,

⑷，(4,4)，(4,4),共3種.

31

所以P(皮=—=-

155

［等級(jí)過關(guān)練］

1.（2019?全國(guó)卷III）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同

學(xué)相鄰的概率是（）

1111

兒C--

B.3D.2

--

4

D［設(shè)兩位男同學(xué)分別為4B,兩位女同學(xué)分別為a6,則用“樹形圖”

表示四位同學(xué)排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示.

8<^_yd-bJ

baA<b-Q\Z

A<-a<B-bB—VA—b

b—B/b-A，

b<B-aA-a

a——BJb<a—A7

-B—a

ACa~B

A-a

a—A

aVA—B^

B-AJ

由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學(xué)相鄰的結(jié)果（畫“J”的

121

情況）共有12種，故所求概率為五=5.故選D.］

2.（2019?全國(guó)卷U）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指

標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為（）

2n3c21

A.-B.-C.-D.-

uDDD

B［設(shè)5只兔子中測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a”國(guó),國(guó)，未測(cè)量過這項(xiàng)指標(biāo)

的2只為力，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為（向，也,公，

（國(guó)，氏,仇），（句，氏,b）,（句，@3,"），（句，也，b），（t?i,b\fb）,（a，融，

A）,（&,a,&）,（a,b］,灰），（＜33,b\,㈤，共10種可能.其中恰有2只測(cè)

量過該指標(biāo)的情況為（科，心，b\）,（句，&）,（國(guó)，&,b\）,（團(tuán)，&，左），（及,

當(dāng),力），（的選,勿），共6種可能.

故恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為義=（故選B.］

1U0

3.在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則構(gòu)成的四邊形是梯形的

概率為

2

7［如圖，在正六邊形四的的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，試驗(yàn)空間

□

共有15個(gè)樣本點(diǎn)，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,

ADEF,共6個(gè)樣本點(diǎn)，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率

155

4.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3

個(gè)黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為.

2

7［設(shè)袋中紅球用a表示，2個(gè)白球分別用6,&表示，3個(gè)黑球分別用

□

⑶6表示，則試驗(yàn)的樣本空間。={(&6)，(a,th),(a,。)，(a,G),(a,

Q)，(b、,bz)f(bi，C\),(AfQ)f("，a)>(力,Q),(b,G),(8,cj，(Q,

Q)，(G，G)，(Q，G)}，則樣本空間的總數(shù)有15個(gè).兩球顏色為一白一黑的

樣本空間有(b,Ci),(A,c2),(6,。3),(力，G),(&,a),(&,6),共6

個(gè).，其概率為*=率］

100

5.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，

標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球〃個(gè).已知從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,

取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是)

(1)求〃的值；

(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a,

第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為6.記事件/表示“a+6=2”，求事件力的概率.

［解］(1)由題意可知：7,解得〃=2.

1ILIII乙

(2)不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球的樣本空間0={(0,1),(0,2.),(0,2)，

(1,0),(1,20,(1,22),(2..0),(2J),⑵2?),⑵。,(2“),。21)},共

12個(gè)，事件力包含的樣本點(diǎn)為：(0,2),((W，⑵,0),(22.0),共4個(gè).???尸(冷

_±_i

=12=3，

《10.1.4概率的基本性質(zhì)》同步練習(xí)

［合格基礎(chǔ)練］

一、選擇題

1.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出

紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7

C「??摸出黑球是摸出紅球或摸出白球的對(duì)立事件，，摸出黑球的概率是1

-0.42-0.28=0.3,故選C.］

2.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%,甲不輸?shù)母怕适?0%,則甲、乙

兩人下和棋的概率是（）

A.60%B.30%C.10%D,50%

D［“甲獲勝”與“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不輸”即“甲獲勝

或甲、乙下成和棋”，故P（甲不輸）=/（甲勝）+尸（甲、乙和棋），，/（甲、乙和

棋）=P（甲不輸）一夕（甲勝）=90%-40%=50%.］

3.從分別寫有4B,C,D,￡的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字

母按字母順序恰好是相鄰的概率為（）

A1c2c3n7

A，5B，5C,TOD，TO

B［試驗(yàn)的樣本空間AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,D琰,

共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件“這2張卡片上的字母按字母J順序恰好是相鄰的”

42

包含4個(gè)樣本點(diǎn)，故所求的概率為正=《］

105

4.某射手的一次射擊中，射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.20,0.30,0.10.

則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（）

A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90

A［不夠8環(huán)的概率為1-0.20-0.30-0.10=0.40.］

5.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性，金克

木，木克土，土克水，水克火，火克金.”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩

種，則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為（）

32J3

A，WB,5C，2D,5

C［試驗(yàn)的樣本空間金木，金水,金火，金土，木水，木火，木土,

水火，水土，火土},共10個(gè)樣本點(diǎn)，事件“抽取的兩種物質(zhì)不相克”包含5

51

個(gè)樣本點(diǎn)，故其概率為高=江］

1乙

二、填空題

6.甲、乙兩人打乒乓球，兩人打平的概率是乙獲勝的概率是:，則乙

不輸?shù)母怕适?

T［乙不輸表示為和棋或獲勝,故其概率為-鼻+5=*］

6326

7.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè).若

從中隨機(jī)取出2個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率為.

3

7［設(shè)3個(gè)紅色球?yàn)?,4,4,2個(gè)黃色球?yàn)?,打，從5個(gè)球中，隨機(jī)取

o

出2個(gè)球的事件有：44,44,45,4民，44,4%4B,4B，BA,共

10種.其中2個(gè)球的顏色不同的有力山，A瓜,4兒4%4B，4合共6種，所

以所求概率為義=*］

1U□

8.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)

1,2,3,4,5,6）,骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為%人則1寒2力=1的概率為.

5［易知試驗(yàn)樣本點(diǎn)的總數(shù)為36,由log2xy=1,得2x=yt其中x,

x=L

ye{1,2,3,4,5,6},所以彳°或或共3個(gè)樣本點(diǎn),

5=2［尸45=6

31

所以占去=石?］

三、解答題

9.一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠

球.從中隨機(jī)取出1球，求:

(1)取出1球是紅球或黑球的概率；

(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.

［解］法一：(1)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取

法，得紅球或黑球共有5+4=9種不同取法，任取1球有12種取法.

Q3

工任取1球得紅球或黑球的概率為

［乙A

(2)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有

R-1-4+21I

2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為

J二L乙=!J?L乙?

法二：(利用互斥事件求概率)記事件4=｛任取1球?yàn)榧t球｝,4=｛任取1

球?yàn)楹谇颍?4=｛任取1球?yàn)榘浊颍?4=｛任取1球?yàn)榫G球｝,

貝|J戶(4)=得，尸(42)=得，尸(4)=得，尸(4)=春.

根據(jù)題意知，事件4,A,4,4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

543

(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為uA)+?U2)=-^+-^=2

(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為

54211

戶(4U4UA)=尸(4)+尸區(qū))+尸(4)=7？+7^+7?=再.

法三：(利用對(duì)立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，

即4U4的對(duì)立事件為4U4,所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為

9193

P(4u4)=1一尸(4U4)=1一0(4)一戶(4)=1一行一石=高=7

，乙11乙，乙A

(2)4u4U4的對(duì)立事件為4,所以尸(4u4U4)=1一2⑷=1--=^-.

10.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.

(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；

(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為制將球放回袋中，然后再?gòu)拇?/p>

中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為力，求+2的概率.

［解］(D從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：1和

2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個(gè).從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和

21

不大于4的事件有：1和2,1和3,共2個(gè)，因此所求事件的概率為可.

0J

(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為勿，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)

球，記下編號(hào)為〃，試驗(yàn)的樣本空間。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4)},共16個(gè)樣本點(diǎn).

又滿足條件〃2勿+2的樣本點(diǎn)有：(1,3),(1,4),(2,4),共3個(gè).

3

所以，滿足條件〃2/什2的事件的概率為尸產(chǎn)左，

16

故滿足條件〃V/〃+2的事件的概率為1一尸產(chǎn)1一竟=卷

［等級(jí)過關(guān)練］

1.擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件力表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件夕表示

“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件4+后發(fā)生的概率為()

1125

A,3B,2C，3D，6

2149

C［擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果，依題意尸(力)=7=^P⑦=S=.，

0O00

—21——

所以KB)=1—=\--=-因?yàn)锽表示”出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件,

oJf

———112

因此事件力與B互斥，從而尸(4+B)=P(A)+P(B)=-+-=-1

JJJ

2.袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地取3

O

次，則d是下列哪個(gè)事件的概率()

y

A.顏色全同B.顏色不全同

C.顏色全不同D.無紅球

B［試驗(yàn)的樣本空間0={黃黃黃，紅紅紅，白白白，紇黃黃，黃紅黃，黃

黃紅，白黃黃，黃白黃，黃黃白，黃紅紅，紅黃紅，紅紅黃，白紅紅，紅白紅,

紅紅白，黃白白，白黃白，白白黃，紅白白，白紅白，白白紅，黃紅白，黃白紅，

紅黃白，紅白黃，白紅黃，白黃紅}，其中包含27個(gè)樣本點(diǎn)，事件“顏色全相同”

01OO

包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則其概率為赤=3=1—G，所以w是事件“顏色不全同”的概

率.]

3.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選3人中至少有1

、.4

名女生的概率為‘那么所選3人中都是男生的概率為

：[設(shè)力={3人中至少有1名女生},6={3人都為男生}，則力，8為對(duì)立

0

事件，

.,?尸(而=1一月(月)=[.]

4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方

體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率為.

7[將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1),

b

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…，(6,6),共36種情

況.設(shè)事件4="出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10”，其對(duì)立事件不="出現(xiàn)向上的

點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”,了包含的可能結(jié)果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),

(6,5),(6,6),共6種情況.所以由古典概型的概率公式,得尸⑺44

15

所以心)=1飛=/

5.(2019?天津高考)2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉

及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六

項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽

樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.

(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?

(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為力,

B,C,D,E,￡享受情況如表，其中表示享受，“X”表示不享受.現(xiàn)從

這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.

ABD

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

贍養(yǎng)老人OOXXXO

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

②設(shè)"為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件

朗發(fā)生的概率.

［解］（D由己知，老、中、青員工人數(shù)之比為6：9：10,由于采用分層抽

樣從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別