高二數(shù)學知識點總結(jié)歸納

高二數(shù)學知識點總結(jié)歸納

高二數(shù)學知識點總結(jié)(一)

【一】

一、集合概念

(1)集合中元素的特征:確定性，互異性，無序性。

(2)集合與元素的關(guān)系用符號二表示。

(3)常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集;正整數(shù)集;整數(shù)集;有理數(shù)集、實數(shù)集。

(4)集合的表示法:列舉法，描述法，韋恩圖。

(5)空集是指不含任何元素的集合。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

函數(shù)

一、映射與函數(shù)：

(1)映射的概念：(2)映射：(3)函數(shù)的概念：

二、函數(shù)的三要素：

相同函數(shù)的判斷方法:①對應(yīng)法則;②定義域(兩點必須同時具備)

(1)函數(shù)解析式的求法：

①定義法(拼湊)：②換元法:③待定系數(shù)法:④賦值法：

(2)函數(shù)定義域的求法：

①含參問題的定義域要分類討論；

②對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域

要根據(jù)實際意義來確定。

(3)函數(shù)值域的求法：

①配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值;常轉(zhuǎn)化為型如:的

形式；

②逆求法(反求法)：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等

式，得出的取值范圍;常用來解，型如：；

④換元法:通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三隹函數(shù)有界性來求值

域;

⑥基本不等式法:轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域.

⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

【二】

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性:定義:注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。

判定方法有:定義法（作差比較和作商比較）

導(dǎo)數(shù)法（適用于多項式函數(shù)）

復(fù)合函數(shù)法和圖像法。

應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性:定義:注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f（某）與f（-某）的關(guān)系。

f（某）-f（-某）=0f（某）=f（-某）f（某）為偶函數(shù)；

f（某）+f（-某）=0f（某）二-f（-某）f（某）為奇函數(shù)。

判別方法:定義法，圖像法，復(fù)合函數(shù)法

應(yīng)用：把函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化求解。

周期性:定義:若函數(shù)f（某）對定義域內(nèi)的任意某滿足:f（某+T）=f（某），則T

為函數(shù)f（某）的周期。

其他:若函數(shù)f（某）對定義域內(nèi)的任意某滿足:f（某+a）=f（某-a）,則2a為函

數(shù)f（某）的周期.

應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。

四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握

函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。

常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移

聯(lián)系起來思考）

平移變換y=f（某）-y=f（某+a）,y=f（某）+b

注意：（i）有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如:把函數(shù)y二f（2某）經(jīng)過平移得到函數(shù)

y=f（2某+4）的圖象。

（ii）會結(jié)合向量的平移，理解按照向量（m,n）平移的意義。

對稱變換尸f（某）一y二f（-某），關(guān)于y軸對稱

廠f（某）f尸-f（某），關(guān)于某軸對稱

廠f（某）一廠fl某I,把某軸上方的圖象保留，某軸下方的圖象關(guān)于某軸對稱

產(chǎn)f（某）一廠If（某）I把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y

軸對稱。（注意:它是一個偶函數(shù)）

伸縮變換:y=f（某）-y=f，；3某），

y=f（某）-*y=Af（3某+4））具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

一個重要結(jié)論:若f（a-某）=f（a+某），則函數(shù)y=f（某）的圖像關(guān)于直線某二a

對稱；

【三】

（1）定義：

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件：

（3）互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：

（4）求反函數(shù)的步驟:①將看成關(guān)于的方程，解出，若有兩解，要注意解的

選擇;②將互換，得;③寫出反函數(shù)的定義域（即的值域）。

（5）互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：

（6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

（7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù);原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不

存在反函數(shù)。

七、常用的初等函數(shù)：

（1）一元一次函數(shù)：

（2）一元一次函數(shù)：

一般式

兩點式

頂點式

二次函數(shù)求最值問題:首先要采用配方法，化為一般式，

有三個類型題型：

（1）頂點固定，區(qū)間也固定。如：

（2）頂點含參數(shù)（即頂點變動），區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區(qū)

間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。

(3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù).

等價命題在區(qū)間上有兩根在區(qū)間上有兩根在區(qū)間或上有一根

注意:若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實根分布

的情況，得出結(jié)果，在令和檢查端點的情況。

(3)反比例函數(shù)：

(4)指數(shù)函數(shù)：

指數(shù)函數(shù):y=(a>o,axl),圖象恒過點(0,1),單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解

題中，往往要對a分a>l和0

(5)對數(shù)函數(shù)：

對數(shù)函數(shù):y=(a>o,aWl)圖象恒過點(1,0),單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題

中，往往要對a分a>l和0

高二數(shù)學知識點總結(jié)(二)

【一】

(1)算法概念：在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來

解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且

能夠在有限步之內(nèi)完成.

(2)算法的特點：

①有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不

能是無限的.

②確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的

結(jié)果，而不應(yīng)當是模棱兩可.

③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個

步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步

才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

④不性：求解某一個問題的解法不一定是的，對于一個問題可以有不同的

算法.

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計

算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.

【二】

一、直線與圓：

1、直線的傾斜角的范圍是

在平面直角坐標系中，本于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆

時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，就叫做直線的傾斜角。當直

線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0;

2、斜率：已知直線的傾斜角為a,且a^90°,則斜率k=tana.

過兩點（某1,y1）,（某2,y2）的直線的斜率k=（y2-y1）/（某2-某1）,另外切

線的斜率用求導(dǎo)的方法。

3、直線方程：⑴點斜式：直線過點斜率為，則直線方程為，

⑵斜截式：直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為

4、直線與直線的位置關(guān)系：

（1）平行A1/A2=B1/B2注意檢驗⑵垂直A1A2+B1B2=O

5、點到直線的距離公式；

兩條平行線與的距離是

6、圓的標準方程：.⑵國的一般方程：

注意能將標準方程化為一般方程

7、過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條

就是與軸垂直的直線.

8、直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定

理,構(gòu)造直角三角形解決弦長問題.①相離②相切③相交

9、解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用（如半

徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形）直線與圓相交所得弦長

二、圓錐曲線方程：

1、橢圓：①方程（a>b>0）注意還有一個;②定

義：|PF1+|PF2|=2a>2c;③e=④長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為

2c;a2=b2+c2;

2、雙曲線:①方程（a,b〉0）注意還有一個;②定義：||PF1個|PF2||二2ag（某）

同解，當0

四、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數(shù)學歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法。

五、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發(fā)，角度皆為線線成。

垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環(huán)現(xiàn)。

方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。

立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關(guān)鍵。

異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。

六、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標，數(shù)形結(jié)合稱典范。

笛卡爾的觀點對，點和有序?qū)崝?shù)對，兩者一一來對應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑。

兩種思想相輝映，化歸思想打前陣;都說待定系數(shù)法，實為方程組思想。

三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。

四件工具是法寶，坐標思想?yún)?shù)好;平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。

解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學本是數(shù)形學

七、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。

兩個公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。

排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。

關(guān)于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。

八、《復(fù)數(shù)》

虛數(shù)單位i一出，數(shù)集擴大到復(fù)數(shù)。一個復(fù)數(shù)一對數(shù)，橫縱坐標實虛部。

對應(yīng)復(fù)平面上點，原點與它連成箭。箭桿與某軸正向，所成便是輻角度。

箭桿的長即是模，常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。

代數(shù)運算的實質(zhì)，有i多項式運算。i的正整數(shù)次慕，四個數(shù)值周期現(xiàn)。

一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。

利用方程思想解，注意整休代換術(shù)。幾何運算圖上看，加法平行四邊形,

減法三角法則判;乘法除法的運算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長短。

三角形式的運算，須將輻角利模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。

輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軌,

兩個不會為實數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。

平方關(guān)系：

sin-2a+cos*2a=1

l+tai/2a=sec2a

l+cot"2a二csc_2a

-積的關(guān)系：

sina=tana某cosa

cosa=cota某sina

tana=sina某seca

cota=cosa某esca

secQ=tana某esca

escQ=seca某cota

?倒數(shù)關(guān)系：

tana?cota=1

sina?esca=1

cosa?seca=1

商的關(guān)系：

sinQ/cosa=tana=seca/esca

cosa/sina=cota=csca/seca

直角三角形ABC中，

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊，

?[1]三角函數(shù)恒等變形公式

?兩角和與差的三角函數(shù):

cos(a+B)=cosa?cosB-sina?sinB

cos(a-p)=cosa?cosP+sina?sinS

sin(a±P)=sina?cosP±cosa?sinP

tan(a+p)=(tana+tanB)/(1-tanQ?tanB)

tan(a-g)=(tana-tanP)/(1+tana?tanP)

?三角和的三角函數(shù)：

sin(a+B+Y)=sina?cosB?cosy+cosa?sin6?cosY+cosa?cosB?s

iny-sina?sinS?siny

cos(a+p+y)=cosa?cosB?cosy-cosa?sinP?siny-

sina?cosP?siny-sina-sinP?cosy

tan(a+g+y)=(tana+tanP+tany-tana?tanP-tany)/(1-

tana?tanB-tanB?tany-tany?tana)

?輔助角公式：

Asina+Bcosa=(A2+B2)'(l/2)sin(a+t),其中

sint=B/(A2+B2)"(l/2)

cost=A/(A2+B2)71/2)

tant=B/A

Asina-Bcosa=(A2+B2)(1/2)cos(a-t),tant=A/B

?倍角公式：

sin(2a)=2sina?cosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-l=l-2sin2(a)

tan(2a)=2tana/[l-tan2(a)]

?三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sin3(a)=4sina?sin(60+a)sin(60-a)

cos(3a)=4cos3(a)-3cosa=4cosa?cos(60+a)cos(60-a)

tan(3a)=tana?tan(冗/3+a)?tan(兀/3-a)

?半角公式：

sin(a/2)二±V((1-cosa)/2)

cos(a/2)二±J((1+cosa)/2)

tan(a/2)二±V((1-cosa)/(l+cosa))二sina/(1+cosa)=(1-

cosQ)/sina

?降累公式

sin2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cos2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tan2(a