數(shù)學(xué)教材梳理互斥事件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、和（并）事件若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A或事件B至少有一個發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的和事件（或和并事件），記作A+B(或A∪B）知識拓展事件的和運(yùn)算滿足交換率,事件A與事件B的和事件等于事件B與A的和事件，即A+B=B+A.深化升華與集合的并集運(yùn)算定義類似，并集事件可用圖3—4—2中的陰影部分表示，即事件A+B所包含的結(jié)果所組成的集合等于事件A和B所包含的結(jié)果所組成的集合的并集.圖3-4—2二、互斥事件1.互斥事件的概念在一次試驗中，不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件。推廣:如果事件C1,C2,…，Cn中的任何兩個事件都互斥，就稱事件C1,C2，…，Cn彼此互斥。要點提示對于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行分析：第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系;第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的;第三，兩個事件互斥是從試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的。深化升華從集合角度來看，A、B兩個事件互斥，則表示A、B這兩個事件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集。2?；コ馐录母怕始臃ü饺绻录嗀、B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P(B）推廣：如果事件A1,A2,…，An兩兩互斥，那么事件“A1+A2+…+An”發(fā)生（是指事件A1，A2，…，An中至少有一個發(fā)生）的概率，等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和,即P（A1+A2+…+An)=P（A1）+P（A2)+…+P（An）.方法點撥利用互斥事件的概率加法公式來求概率，首先要確定事件是否彼此互斥.分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想.三、對立事件1。對立事件的概念兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件.集合A的對立事件記作A.要點提示第一，事件A與B對立是指事件A與事件B在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生.第二，對立事件是一種特殊的互斥事件，兩個事件對立，則兩個事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對立事件；第三，對立事件是針對兩個事件來說的，且A∪B（或A+B）為必然事件.深化升華事件A、B互為對立事件，從集合的角度看，由事件B所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集。即A∪=U，A∩=。圖3—4—3陰影部分為事件B的結(jié)果組成的集合。顯然有A=B.圖3—4-32。對立事件的概率公式對立事件概率公式P（)=1—P（A)。方法點撥這個公式為我們求出P（A）提供了一種方法，當(dāng)計算事件A的概率P（A）比較困難時，常可以轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率.四、互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件與對立事件都是研究兩個事件的關(guān)系,它們既有區(qū)別又有聯(lián)系。在一次試驗中,兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生,也可能有一個發(fā)生，也就是不可能同時發(fā)生；而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外,還要求二者之一必須有一個發(fā)生。因此，對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要而非充分條件。從集合的角度看，幾個事件彼此互斥,是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此互不相交，而事件A的對立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，不僅不相交，而且它們的并集必須是全集。典題·熱題知識點一判斷事件的類型例1某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)參加演講比賽.判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是,再判斷它們是不是對立事件。（1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2）至少1名男生與全是男生；（3）至少1名男生與全是女生；(4）至少1名男生與至少1名女生。思路分析：判別兩個事件是否互斥,就要考察它們是否不能同時發(fā)生，判別兩個互斥事件是否對立，就要考察它們是否必有一個發(fā)生。解:(1)因為“恰有1名男生"與“恰有2名男生"不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)“恰有2名女生”時，它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件.（2）因為“恰有2名男生”時，“至少1名男生”與“全是男生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件。(3）因為“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件;由于它們必有一個發(fā)生,所以它們對立。（4)由于選出的是一名男生一名女生時“至少1名男生”與“至少1名女生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件。拓展延伸兩個互斥事件是否對立要依據(jù)試驗條件.本題條件若改為“某小組有3名男生和1名女生，任取2人”,則“恰有1名男生"與“恰有2名男生"便是對立事件.知識點二互斥事件和對立事件的計算公式例2拋擲一均勻正方體玩具(各面分別標(biāo)有數(shù)1，2，3,4，5，6）,若事件A為“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“朝上一面的數(shù)不超過3”,求P(A+B）,下面的解法是否正確？若不正確,指明原因。解：P（A+B）=P(A）+P(B)而P（A）==，P（B）==，∴P(A+B)=+=1.思路分析：本題利用互斥事件的定義、互斥事件的概率公式.此解法是否正確,主要取決于事件A、B是否互斥。解：事件A包含“朝上一面是1,3，5”三種情況,事件B包含“朝上一面是1，2，3"三種情況，顯然兩個事件不互斥，故解法錯誤，事件A+B包含“朝上一面是1,2,3,5”四種情況，由等可能性事件角度考慮:P（A+B)=.誤區(qū)警示在選擇概率公式求解之前，必須分清題目所涉及事件的關(guān)系以及各概率公式的使用條件.例3某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0。21，0。23，0。25,0.28,計算這個射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或7環(huán)的概率；（2）不夠7環(huán)的概率.思路分析：由于射手在一次射擊中,射中10環(huán)與射中7環(huán)不可能同時發(fā)生，故這兩事件為互斥事件,且求的又是兩事件和的概率，故可考慮用公式P（A+B）=P（A）+P(B）。不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán).但由于這些概率都未知，故不能直接下手，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面是大于等于7環(huán),即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于這兩事件必有一個發(fā)生，另一個不發(fā)生，故是對立事件,可用對立事件的方法處理.解：(1)記“射中10環(huán)”為事件A，記“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是互斥事件.“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A+B，故P（A+B)=P(A）+P(B）=0.21+0。28=0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0。49.（2）記“不夠7環(huán)"為事件E,∴P（）=0.21+0。23+0.25+0.28=0。97,從而P（E）=1-P（）=1-0。97=0。03。∴射不夠7環(huán)的概率為0.03。方法歸納必須分析清楚事件A、B互斥的原因，且所求的事件必須是幾個互斥事件的和.滿足上述兩點才可用概率的和公式.當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無法求時,可先轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率.例4袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只,從中每次任取1只,有放回地抽取3次,求：(1）3只全是紅球的概率；（2)3只顏色全相同的概率；(3)3只顏色不全相同的概率;（4）3只顏色全不相同的概率.思路分析：(1)(4)用等可能性事件的概率觀點求解。(2）可分拆成三個互斥事件“三只紅球"“三只黃球”“三只白球”利用互斥事件的概率和公式求解.(3)的情況較多,但其對立面卻是（2）,故可用對立事件的概率公式求解.解：（1）記“3只全是紅球”為事件A。從袋中有放回地抽取3次,每次取1只,共會出現(xiàn)3×3×3=27種等可能的結(jié)果，其中3只全是紅球的結(jié)果只有一種，故事件A的概率為P(A)=。(2)“3只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3只全是紅球”（設(shè)為事件A)；“3只全是黃球”（設(shè)為事件B）;“3只全是白球”（設(shè)為事件C)，且它們之間是或者關(guān)系,故“3只顏色全相同"這個事件可記為A+B+C,由于事件紅、黃、白球個數(shù)一樣，故不難得到P(B）=P（C）=P(A）=.故P（A+B+C）=P（A）+P(B）+P(C)=.(3)3只顏色不全相同情況較多,如有兩只球同色而與另一只球不同色,可以兩只同紅色或同黃色或同白色等等;或三只球顏色全不相等.考慮起來比較麻煩，現(xiàn)在記“3只顏色不全相同”為事件D,則事件為“3只顏色全相同”，顯然事件D與是對立事件.∴P（D）=1—P()=1—=.（4)要使3只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到紅、黃、白各一只的可能結(jié)果有3×2×1=6種，故3只顏色全不相同的概率為.誤區(qū)警示(1）有放回抽取跟無放回抽取其基本事件數(shù)是不一樣的。（2）搞清“全相同”的對立面是“不全相同"，而不是“全不相同".問題·探究思想方法探究問題能否從頻率的角度說明互斥事件概率加法公式？探究過程：假定A、B是互斥事件，在n次試