2024-2025學(xué)年湖北省荊州市部分學(xué)校高二（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖北省荊州市部分學(xué)校高二（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知(1+i)z=1+3i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.1 B.?1 C.i D.22.一組數(shù)據(jù)23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位數(shù)是(

)A.14 B.15 C.23 D.253.我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深CD=4?22，鋸道AB=42，則圖中弧ACB與弦AB圍成的弓形的面積為A.4π B.8 C.4π?8 D.8π?84.已知cos(θ+π4)=?A.4+3310 B.3+43105.平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，且∠A1AD=∠A1A.3

B.10

C.11

6.如圖，一個正八面體，八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，記事件A=“得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，記事件B=“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件C=“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是(

)A.事件B與C互斥 B.P(A∪B)=58

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.A，B，7.若某圓臺有內(nèi)切球(與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球)，且母線與底面所成角的正弦值為32此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為(

)A.43 B.2 C.136 8.在△ABC中，BC=2，∠BAC=π3，O是△ABC的外心，則OA?BCA.2 B.103 C.113 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.“a=?1”是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件

B.“a=?2”是“直線ax+2y+a2=0與直線x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要條件

C.直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[0,π4]∪[3π4,π)

D.若點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，直線10.已知函數(shù)f(x)=cosx，g(x)=|sinx|，下列說法正確的是(

)A.函數(shù)m(x)=f(x)?g(x)在(π2,π)上單調(diào)遞減

B.函數(shù)m(x)=f(x)?g(x)的最小正周期為2π

C.函數(shù)n(x)=f(x)+g(x)的值域?yàn)?1.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為棱AD、ABA.三棱錐E?FGH的外接球的表面積為π

B.過點(diǎn)E，F(xiàn)，H作正方體的截面，則截面面積為334

C.若P為線段B1D1上一動點(diǎn)(包括端點(diǎn))，則直線PA1與平面A1BD所成角的正弦值的范圍為[33,63]

D.若Q為線段CD上一動點(diǎn)(包括端點(diǎn))三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A(2,1)，B(4,3)兩點(diǎn)到直線x?ay+1=0的距離相等，則a=______．13.在空間直角坐標(biāo)系中已知A(1,2,1)，B(1,0,2)，C(?1,1,4)，CD為三角形ABC邊AB上的高，則CD=______．14.對任意兩個非零的平面向量a和b，定義：a⊕b=a?b|a且a⊕b和a⊙b都在集合{n4|n∈Z,0<n≤4}中，則a⊕四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ab=33sinC+cosC．

(1)求角B；

(2)若D是△ABC邊AC16.(本小題15分)

已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，邊AC上的高BH所在直線的方程為x?y+8=0，邊AB上的中線CM所在直線的方程為5x?3y?10=0．

(1)求直線AC的方程；

(2)求△ABC的面積．17.(本小題15分)

某中學(xué)舉行了一次“數(shù)學(xué)文化知識競賽”，高二年級學(xué)生參加了這次競賽.為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績x作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計.將成績進(jìn)行整理后，分為五組(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積.請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題：

(1)若根據(jù)這次成績，年級準(zhǔn)備淘汰60%的同學(xué)，僅留40%的同學(xué)進(jìn)入下一輪競賽，請問晉級分?jǐn)?shù)線劃為多少合理？

(2)從樣本數(shù)據(jù)在80≤x<90，90≤x<100兩個小組內(nèi)的同學(xué)中，用分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)，再從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人，求選出的兩人恰好來自于不同小組的概率．

(3)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：x1，x2，x3，…，x10，已知這10個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x?=90，標(biāo)準(zhǔn)差s=5，若剔除其中的9618.(本小題17分)

在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，滿足DE//BC，且DE經(jīng)過△ABC的重心.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，存在動點(diǎn)M使A1M=λA1D(λ>0)如圖所示．

(1)求證：A1C⊥平面BCDE；

(2)當(dāng)λ=1219.(本小題17分)

對于一組向量a1,a2,a3,…,an(n∈N?,n≥3)，令Sn=a1+a2+a3+…+an，如果存在ap(p∈{1,2,3…,n})，使得|ap|≥|Sn?ap|，那么稱ap是該向量組的“H向量”．

(1)設(shè)an=(n,x+n)(n∈N?)，若a參考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.C

6.C

7.C

8.A

9.BCD

10.BC

11.BCD

12.1或2

13.3

14.14

3215.解：(1)因?yàn)閍b=33sinC+cosC，可得a=33bsinC+bcosC，

由正弦定理可得sinA=33sinBsinC+sinBcosC，

所以sinA=sin[π?(B+C)]=sin(B+C)=33sinBsinC+sinBcosC，

所以sinBcosC+cosBsinC=33sinBsinC+sinBcosC，

可得cosBsinC=33sinBsinC，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0，

則cosB=33sinB，tanB=3，

又因?yàn)?<B<π，

所以B=π3；

(2)因?yàn)锽A?BD|BA|=BD?BC|16.解：(1)由題意可得AC⊥BH，

因?yàn)锽H所在直線的方程為x?y+8=0，設(shè)直線AC的方程為：x+y+m=0，

將點(diǎn)A(1,1)代入直線AC的方程：1+1+m=0，可得m=?2，

所以直線AC的方程為x+y?2=0；

(2)設(shè)B(a,b)，則AB的中點(diǎn)M(a+12,b+12)，

聯(lián)立5?a+12?3?b+12?10=0a?b+8=0，解得a=21，b=29，

即B(?3,5)，

聯(lián)立x+y?2=05x?3y?10=0，解得x=2，y=0，

即C(2,0)，

所以17.解：(1)由第1組的頻數(shù)的平方為第2組和第4組頻數(shù)的積可知，0.162=0.8a，解得a=0.032，

又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，解得b=0.004，

所以a=0.032，b=0.004，

成績落在[50,70)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32=0.48，落在[50,80)內(nèi)的頻率為：0.16+0.32+0.40=0.88，

設(shè)第60百分位數(shù)為m，則(m?70)0.04=0.6?0.48，解得m=73，

所以晉級分?jǐn)?shù)線劃為73分合理；

(2)由圖可知，按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取4人和2人，分別記為a，b，c，d和A，B，

則所有的抽樣有：Ω={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd}，共15個樣本點(diǎn)，

A=“抽到的兩位同學(xué)來自不同小組”，

則A={Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd}，共8個樣本點(diǎn)，

所以P(A)=815．

(3)因?yàn)閤?=90，所以x1+x2+...+x10=10×90=900，

所以s2=110(x12+x22+?+x102)?902=52，

所以x18.(1)證明：翻折前，由∠C=90°，DE/?/BC，知DE⊥CD，DE⊥AD，

翻折后，DE⊥CD，DE⊥A1D，

因?yàn)镃D∩A1D=D，CD、A1D?平面A1CD，

所以DE⊥平面A1CD，

又A1C?平面A1CD，所以DE⊥A1C，

因?yàn)锳1C⊥CD，CD∩DE=D，CD、DE?平面BCDE，

所以A1C⊥平面BCDE．

(2)解：因?yàn)镈E經(jīng)過△ABC的重心，且BC=3，AC=6，

所以DE=2，CD=2，AD=4，

由(1)知A1C⊥平面BCDE，

所以A1C⊥CD，A1C⊥BC，

所以A1C=A1D2?CD2=AD2?CD2=23，

以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)，B(0,3,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，A1(0,0,23)，

當(dāng)λ=12時，點(diǎn)M是A1D的中點(diǎn)，所以M(1,0,3)，

所以CB=(0,3,0)，BM=(1,?3,3)，BE=(2,?1,0)，

設(shè)平面BCM的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則n1?BM=x1?3y1+3z1=0n1?CB=3y1=0，

令z19.解：(1)由題意可得：|a3|≥|S3?a3|=|a1+a2|，

因?yàn)閍n=(x+n,n)，則a1+a2=(x+1,x)+(x+2,2)=(2x+3,3)，a3=(x+3,3)，

則|a3|2≥|a1+a2|2，即(x+3)2+9≥(2x+3)2+9，

整理得x(3x+6)≤0