2023-2024學(xué)年廣東省惠州中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省惠州中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={?2,?1,0,1,2}，B={x|lnx>0}，則A∩B=(

)A.{1} B.{2} C.{?2,2} D.{?1,0,1}2.已知α，β是平行四邊形的兩個(gè)內(nèi)角，則“α=β”是“sinα=sinβ”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m//α，n⊥β，則(

)A.m//l B.m//n C.n⊥l D.m⊥n4.如圖，在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的一點(diǎn)，若AP=(m+13)A.19 B.29 C.235.若函數(shù)f(x)=x2?2ax+1,x>1ax,x≤1在其定義域內(nèi)是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)aA.(0,1] B.(0,23] C.[0,1]6.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐的體積為(

)A.6π B.63π C.97.心理學(xué)家有時(shí)用函數(shù)L(t)=A(1?e?kt)測(cè)定在時(shí)間t(單位：min)內(nèi)能夠記憶的量L，其中A表示需要記憶的量，k表示記憶率．假設(shè)一個(gè)學(xué)生需要記憶的量為200個(gè)單詞，此時(shí)L表示在時(shí)間t內(nèi)該生能夠記憶的單詞個(gè)數(shù)．已知該生在5min內(nèi)能夠記憶20個(gè)單詞，則k的值約為A.0.021 B.0.221 C.0.461 D.0.6618.如圖，O是銳角三角形ABC的外心，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A=π3，若cosBsinCAB+cosCA.12B.22

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=21+i(i是虛數(shù)單位)，則下列命題中正確的是A.|z|=2 B.z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限

C.z?=1+i 10.已知函數(shù)f(x)=cos(2x+π6A.f(x)的最小正周期為π B.f(x)的圖象關(guān)于(?π12,0)對(duì)稱

C.f(x)的圖象關(guān)于x=5π12對(duì)稱 11.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，C1A.直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為43

B.直三棱柱ABC?A1B1C1外接球的表面積為16π

C.若E，F(xiàn)分別是棱B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知sin(π3?α)=1213.已知|b|=3，a在b上的投影向量為12b，則14.如圖，為測(cè)塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)C，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由C向塔前進(jìn)30米后到點(diǎn)D，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再由D向塔前進(jìn)103米后到點(diǎn)E后，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則塔高為_(kāi)_____米．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,2),b=(?3,1)．

(1)求a+3b；

(2)設(shè)a,b的夾角為θ，求cosθ的值；

(3)若向量16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=2，M為PD的中點(diǎn)．

(1)證明：PB//平面ACM；

(2)證明：AD⊥平面PAC．17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，(a+b)(sinA?sinB)=(a?c)sinC．

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圓的直徑為23，求△ABC18.(本小題17分)

已知向量a=(2cosx,1),b=(?cos(x+π3),12),x∈[0,π2]．

(1)若19.(本小題17分)

設(shè)A是有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成的非空集，B是實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，按照某種確定的關(guān)系f，在B中都有唯一確定的數(shù)z和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)二元函數(shù)，記作z=f(x,y)，(x,y)∈A，其中A稱為二元函數(shù)f的定義域.因?yàn)槠矫嫦蛄颗c有序?qū)崝?shù)對(duì)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，設(shè)a=(x,y)，則二元函數(shù)也可以記為f(a)．

(1)已知f(x,y)=x2+y2,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，若f(a)=1,f(b)=2,x1x2+y1y2=1，求f(a+b)；

(2)非零向量u=(x0,y0)，若對(duì)任意的(x,y)∈D，D?A，?>0，記a=(x,y)，都有f(a)<f(a參考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.C

7.A

8.C

9.ACD

10.AC

11.ACD

12.1213.9214.15

15.解：(1)因?yàn)閍=(1,2),b=(?3,1)，

所以a+3b=(1,2)+(?9,3)=(?8,5)；

(2)a,b的夾角為θ，

則cosθ=a?b|a|?|b|=1×(?3)+2×11+4×9+1=?216.證明：(1)連接BD和OM，

∵底面ABCD為平行四邊形且O為AC的中點(diǎn)，

∴BD經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，

在△PBD中，O為BD的中點(diǎn)，M為PD的中點(diǎn)，

所以O(shè)M為△PBD的中位線，

故OM//PB，

∵OM//PB，OM?平面ACM，PB?平面ACM，

∴由直線和平面平行的判定定理知PB//平面ACM．

(2)∵PO⊥平面ABCD，且AD?平面ABCD，

∴PO⊥AD，

∵∠ADC=45°且AD=AC=1，

∴∠ACD=45°，

∴∠DAC=90°，

∴AD⊥AC，

∵AC?平面PAC，PO?平面PAC，且AC∩PO=O，

∴由直線和平面垂直的判定定理知AD⊥平面PAC．

17.解：(1)因?yàn)閍，b，c，(a+b)(sinA?sinB)=(a?c)sinC，

由正弦定理可得(a+b)(a?b)=(a?c)c，即ac=a2+c2?b2，

又由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=12，

又因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π3；

(2)方法一：因?yàn)椤鰽BC外接圓的直徑為23，

由正弦定理得bsinB=23，則b=23×32=3，

由余弦定理得9=a2+c2?2accosB=a2+c2?ac，

因?yàn)?ac=(a+c)2?9≤3×(a+c)2418.解：(1)已知向量a=(2cosx,1),b=(?cos(x+π3),12),x∈[0,π2]，

因?yàn)閤=π3，

所以a=(1,1),b=(12,12)，

所以a?b=12+12=1．

(2)f(x)=a?b=?2cosxcos(x+π3)+12=?2cosx(12cosx?32sinx)+12

19.解：(1)由已知有f(a)=|a|=1,f(b)=|b|=2,