2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第08講：第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)章節(jié)總結(jié)(精講)(學(xué)生版+解析)

第08講：第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)章節(jié)總結(jié)第一部分：典型例題講解題型一：集合的表示1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知集合，且是中的一個元素，則（

）A． B．或3 C． D．或2．（多選）（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則.4．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┘嫌昧信e法表示為.5．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則的子集個數(shù)為．題型二：集合的基本關(guān)系1．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；(2)若非空集合，且，求實數(shù)的取值范圍.題型三：集合的基本運算1．（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為B，則（

）A． B． C． D．2．（2024下·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)集合，，若的真子集的個數(shù)是，則正實數(shù)的取值范圍為．3．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┮阎希?1)求；(2)若，且，求的取值范圍．4．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）在①；②“”是“”的必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答．間題：已知集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若___________，求實數(shù)的取值范圍．5．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.6．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，函數(shù)定義域為集合B．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍．(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．題型四：充分條件與必要條件1．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)，集合．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022上·北京·高一?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則“”的一個充分而不必要條件是（

）A． B．C． D．5．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．4．（2024上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）“不等式在上恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．5．（多選）（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）“，”為真命題的充分條件可以是（

）A． B． C． D．題型六：全稱量詞與存在量詞1．（2024下·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，；，．若為假命題，為真命題，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知命題，則為（

）A． B．C． D．3．（2024上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2023上·云南昆明·高一官渡五中?？计谥校┟}：R，是假命題，則實數(shù)的值可能是（

）A． B．C． D．5．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？计谀┟}“”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．題型七：一元二次不等式1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式的解集是（

）A． B．C． D．或2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為．3．（2015下·福建·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式的解集為或(1)求的值(2)解不等式．4．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）解關(guān)于x的不等式：(1)；(2)．5．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校校考期末）函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）命題，若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是．3．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)，對任意都有，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)當(dāng)時，求該函數(shù)的值域；(2)若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．C． D．的最小值為45．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎?，且，則的最小值為．6．（2022上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知中，點D在線段（不含端點）上，且滿足，則的最小值為.7．（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．8．（2024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，其中，，若，則的最小值為．題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用1．（2024下·陜西安康·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，為實數(shù)，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．4．（2024下·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，且是純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．25．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．6．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且滿足，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．第二部分：新定義題1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)?？计谀┮阎鲜怯赡承┱麛?shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（

）A．①對②對 B．①對②錯 C．①錯②對 D．①錯②錯2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎螾，Q中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意，都有；③對于任意，都有；則下列說法正確的是（

）A．若P有2個元素，則Q有3個元素B．若P有2個元素，則有4個元素C．若P有2個元素，則有1個元素D．存在滿足條件且有3個元素的集合P3．（2015上·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校?？计谥校┤鬤是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①，；②對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時，有；③對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時，有，則稱M是集合X的一個“M-集合類”.例如：是集合得一個“M—集合類”.若，則所有含的“M—集合類”的個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．124．（2023上·上海浦東新·高一?？计谥校┮阎邢藜?，如果A中的元素滿足，就稱A為“完美集”.①集合是“完美集”；②若、是兩個不同的正數(shù)，且是“完美集”，則、至少有一個大于2；③二元“完美集”有無窮多個；④若，則“完美集”A有且只有一個，且.其中正確的結(jié)論是（填上你認為正確的所有結(jié)論的序號）5．（2012·四川·統(tǒng)考一模）已知集合，對任意、、，規(guī)定運算“”滿足如下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；給出下列命題：①；②若，則；③若，且，則；④若、、，且，，則．其中所有正確命題的序號是．6．（2023上·北京·高三北京四中?？奸_學(xué)考試）正實數(shù)構(gòu)成的集合，定義.當(dāng)集合中恰有個元素時，稱集合A具有性質(zhì).(1)判斷集合，是否具有性質(zhì)；(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個數(shù)的最大值：(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中學(xué)?？计谥校τ诤瘮?shù)，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩(wěn)定點”．函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和，即，．(1)設(shè)函數(shù)，求集合和；(2)求證：；(3)設(shè)函數(shù)，且，求證：．第08講：第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)章節(jié)總結(jié)第一部分：典型例題講解題型一：集合的表示1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知集合，且是中的一個元素，則（

）A． B．或3 C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的等式，利用集合元素滿足互異性可得出實數(shù)的值.【詳解】集合，且.①當(dāng)時，，此時，，集合中的元素不滿足互異性，故不符合題意，舍去；②當(dāng)時，（舍）或.若，則，此時集合，符合題意，綜上所述，.故選：A.2．（多選）（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)條件得到，從而得到選項A正確，再由元素與集合，集合與集合間的關(guān)系，對B，C和D逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】易知方程無解，所以，所以選項A正確，因為，所以選項B錯誤，因為集合是以為元素的集合，由元素與集合間的關(guān)系，知選項C正確，又空集是任何集合的子集，所以選項D正確，故選：ACD.3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得的值，結(jié)合集合元素的互異性，即可求解.【詳解】因為，所以或，解得或，當(dāng)時，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；當(dāng)時，經(jīng)檢驗，符合題意，所以．故答案為：．4．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┘嫌昧信e法表示為.【答案】【分析】依題意逐個驗證即可.【詳解】時，時，時，時，時，時，不合題意，故滿足題意的有，故答案為：.5．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則的子集個數(shù)為．【答案】4【分析】利用描述法及子集的概念計算即可.【詳解】易知，有2個元素，所以的子集個數(shù)為．故答案為：4題型二：集合的基本關(guān)系1．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合相等的條件即可求解．【詳解】由題意得，，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則，若，且，則，，所以，．故選：B．2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎希?，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)的取值范圍．【詳解】因為，，若，則，則，所以．故選：B．3．（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過解不等式求得集合，進而判斷出正確答案.【詳解】，解得或，所以或.，解得或，所以或.所以，B選項正確，其它選項錯誤.故選：B4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎?，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合是集合的子集，結(jié)合集合中元素的互異性求解即可.【詳解】集合，，由于，則實數(shù)的取值范圍是故選：B．5．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；(2)若非空集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由韋恩圖分析得，再化簡集合，從而利用集合的交并補運算即可得解；（2）先求得，利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，分析可得，而，，則或，所以；（2）因為，則，若非空集合，且，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.題型三：集合的基本運算1．（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的值域為B，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的定義域可得集合，求出函數(shù)的值域可得集合B，再求可得答案.【詳解】，則且，可得的值域．故選：B.2．（2024下·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)集合，，若的真子集的個數(shù)是，則正實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】解出集合，分析可知，集合的元素個數(shù)為，確定集合，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由可得，解得，因為，則且，因為的真子集的個數(shù)為，設(shè)的元素個數(shù)為，則，解得，因為，則，所以，，解得,因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┮阎希?1)求；(2)若，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得集合，然后由并集定義計算；（2）由，可得，列出相應(yīng)不等式組，從而可求解.【詳解】（1）由題意知：，解得，所以，所以.（2）由題意，得，所以，解得.故的取值范圍為.4．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）在①；②“”是“”的必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答．間題：已知集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若___________，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得或，，結(jié)合集合的運算，即可求解；（2）由或和，若選擇①②，轉(zhuǎn)化為，列出不等式，即可求得的取值范圍；若選擇③：得到，結(jié)合集合的運算，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由不等式，解得或，可得或，當(dāng)時，可得，則，所以．（2）解：由集合或和，若選擇①：由，即，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為；若選擇②：由“”是“”的必要條件，可得，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為；若選擇③：由或，可得，要使得，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.5．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出集合后可求；（2）先求出，再根據(jù)可得的不等式，故可求其取值范圍.【詳解】（1）由得，，當(dāng)時，,，所以．（2）因為或，又,所以，所以實數(shù)的取值范圍是6．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，函數(shù)定義域為集合B．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍．(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或(2)且或【分析】（1）由可得，解不等式可得所求范圍；（2）由可得，根據(jù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于實數(shù)的不等式，解不等式可得所求范圍.【詳解】（1）由題可得，得，即，

所以或.（2）；對函數(shù)，，由于，當(dāng)時，即，，函數(shù)無意義，所以，得，由，知或，得且或.題型四：充分條件與必要條件1．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)，集合．則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用集合相等的定義得到關(guān)于的方程組，推得充分性成立；再簡單證得必要性也成立即可得解.【詳解】因為，當(dāng)時，則有，或，若，顯然解得；若，則，整理得，因為，，所以無解；綜上，，即充分性成立；當(dāng)時，顯然，即必要性成立；所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.2．（2022上·北京·高一校考階段練習(xí)）“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解得或，根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】解得或，所以“”“”，“”“”，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：B．3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】由，得，必有，而當(dāng)時，可以是負數(shù)，如成立，卻有，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4．（2024上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則“”的一個充分而不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件逐項分析判斷.【詳解】當(dāng)時，滿足，但不成立，不滿足充分性，A選項錯誤；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，若，則，反之，若，則，所以是的充要條件，B選項錯誤；當(dāng)時，滿足，但不成立，不滿足充分性，C選項錯誤；若，則有，反之，不能得到，比如當(dāng)時，不成立，所以是的充分不必要條件，D選項正確.故選：D5．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2).【分析】（1）求出集合A，由集合運算列式可得結(jié)果，（2）由充分條件得，根據(jù)子集關(guān)系列式可得結(jié)果.【詳解】（1）由，解得，所以.因為，且，所以或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或.（2）因為“”是“”的充分條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解一元一次不等式結(jié)合必要不充分條件的定義即可得解.【詳解】由題意，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A.2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求出不等式的解集，再根據(jù)兩個范圍的包含關(guān)系即可判斷.【詳解】由可得:,解得：，因是的真子集，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B．3．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分析不等式成立的一個充分不必要條件的性質(zhì)，再解不等式即可得解.【詳解】要成為不等式成立的一個充分不必要條件，則該條件所對應(yīng)的集合為不等式的解集的真子集，解，得，故不等式的解集為，逐一分析各選項，可知只有D選項對應(yīng)的集合滿足題意，故D正確.故選：D.4．（2024上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）“不等式在上恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出不等式恒成立的充要條件，然后逐項判斷即可.【詳解】因為“不等式在上恒成立”，顯然不滿足題意，所以，解得，則“不等式在上恒成立”等價于，故要找的必要不充分條件需要被推出.對于A，是充要條件，故A錯誤；對于B，因為推不出，故B錯誤；對于C，因為，反之不能推出，故C正確；對于D，因為推不出，故D錯誤．故選：C．5．（多選）（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）“，”為真命題的充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】變形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，從而得到，分析四個選項，得到AB滿足要求.【詳解】，恒成立，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，由于和均為的真子集，故AB正確，CD不合要求.故選：AB題型六：全稱量詞與存在量詞1．（2024下·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，；，．若為假命題，為真命題，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全稱命題以及特稱命題的真假，結(jié)合二次函數(shù)的最值以及一元二次方程的判別式，即可求得答案.【詳解】由題意知，為假命題，則，為真命題，當(dāng)時，的圖象的對稱軸為，此時其最大值為，則；又，為真命題，即，即得，綜合可得的取值范圍為，故選：A2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)含有一個量詞命題的否定，即可得答案.【詳解】由題意知命題為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題：，故選：A3．（2024上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，因此有，所以實數(shù)的最小值為，故選：C4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中?？计谥校┟}：R，是假命題，則實數(shù)的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】先由p是假命題，得到是真命題，求出b的范圍，對四個選項一一驗證.【詳解】由，，得，.由于命題p是假命題，可知是真命題，所以在時恒成立，則，解得.故選：CD.5．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？计谀┟}“”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求出的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選擇答案.【詳解】，則對都成立，又，所以，觀察選項可得命題“”是真命題的一個充分不必要條件是BCD.故選：BCD.題型七：一元二次不等式1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式的解集是（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】將不等式化簡成一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求得結(jié)果.【詳解】由不等式可得，即，可得，因此不等式的解集是.故選：C2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為．【答案】【分析】將分?jǐn)?shù)不等式轉(zhuǎn)換為與之等價的不等式組即可求解.【詳解】，即，則且．解得，不等式的解集為.故答案為：.3．（2015下·福建·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式的解集為或(1)求的值(2)解不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題知,是方程的兩個解，根據(jù)韋達定理列出方程，解出即可；（2）化簡不等式，分類討論，即可得到不等式的解集.【詳解】（1）因為不等式的解集解集為或,所以，是方程的兩個解，所以，解得.（2）由（1）知原不等式為，即，當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為.4．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）解關(guān)于x的不等式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；（2）將不等式化為，分類討論的取值范圍，從而得解.【詳解】（1）由題意，可得，解得或，所以不等式的解集為.（2）不等式可化為，當(dāng)時，，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式化為，其解集為；當(dāng)時，不等式化為，（?。┊?dāng)，即時，不等式的解集為；（ⅱ）當(dāng)，即時，不等式的解集為；（ⅲ）當(dāng)，即時，不等式的解集為.5．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)，的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）由不等式解集可得是的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值；（2）由題意有，討論、、求不等式解集.【詳解】（1）由題設(shè)的解集為，即是的兩個根，所以.（2）由題意，當(dāng)時，解得或，故解集為；當(dāng)時，解得，故解集為；當(dāng)時，解得或，故解集為；題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的定義域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得恒有成立，結(jié)合二次不等式恒成立性質(zhì)對進行分類討論進行求解即可.【詳解】由題意得恒成立，當(dāng)時,恒成立，滿足題意；當(dāng)時,,解得,綜上.故選:C.2．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）命題，若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】由題意確定為真命題，則只需，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得在上的最大值，即可求得答案.【詳解】若是假命題，則為真命題，故，只需，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，故，所以,即實數(shù)的取值范圍是,故答案為:3．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)，對任意都有，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得函數(shù)關(guān)于對稱，再根據(jù)求出即可；（2）不等式即為，將當(dāng)作參數(shù)，分，和三種情況討論，利用分離參數(shù)法求解即可.【詳解】（1）因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，則，解得，所以；（2）不等式即為，當(dāng)時，則恒成立，而，所以，即，因為，所以；當(dāng)時，恒成立，此時；當(dāng)時，則恒成立，而，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為．4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)當(dāng)時，求該函數(shù)的值域；(2)若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)和換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求值域；由題意可得，恒成立，運用換元法和參數(shù)分離，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式可得所求范圍．【詳解】（1），令，則函數(shù)化為，，因此當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，，取得最大值0，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值0，可得函數(shù)的值域為；（2），恒成立，即，恒成立，令，則，恒成立，令，，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為5．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．(1)求不等式的解集；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）利用韋達定理求參數(shù)后再解不等式即可.（2）對變量范圍進行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.【詳解】（1）因為一元二次不等式的解集為，所以和1是方程的兩個實根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．（2）可化為：，當(dāng)時顯然成立；當(dāng)時，對恒成立，令，則，當(dāng)，即時，所以，即．6．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)定義域為的奇函數(shù)，（其中為實數(shù)）．(1)求的值；(2)是否存在實數(shù)和，使不等式成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）由是定義在的奇函數(shù)，利用，即可求出的值，再利用定義驗證.（2）先證明函數(shù)單調(diào)性脫去不等式中的，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.【詳解】（1）由是定義在的奇函數(shù)，則有，得，把代入函數(shù)得，而，所以符合題意.（2），因為函數(shù)且在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減.因為在上單調(diào)遞減.所以設(shè)函數(shù)，要想滿足題意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，在遞增，在上遞減，所以在上的最小值為，在上的最大值為.所以存在.題型九：基本不等式及其應(yīng)用1．（2023上·新疆·高一?？计谀┤粽龑崝?shù)、滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：B.2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】借助基本不等式計算即可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因此的最小值為.故選：B．3．（2024上·廣西·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.【詳解】，則有，可得，即4，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為4.故選：B4．（多選）（2024上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知正實數(shù)，下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．的最小值為4【答案】BC【分析】利用基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，當(dāng)時，，A選項不正確.B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B選項正確.C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C選項正確.D選項，，但無解，所以等號不成立，D選項錯誤.故選：BC5．（2023·陜西咸陽·咸陽市實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：6．（2022上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知中，點D在線段（不含端點）上，且滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)向量共線可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解.【詳解】∵，由于D在線段（不含端點）上，故三點共線，所以且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故有最小值.故答案為：.7．（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【分析】變形后，利用基本不等式求出最小值.【詳解】正數(shù)，滿足，依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為．故答案為：．8．（2024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，其中，，若，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式可得的等量關(guān)系，利用基本不等式可求的最小值.【詳解】因為，故即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為，故答案為：.題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用1．（2024下·陜西安康·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)除法運算法則結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念可得答案.【詳解】，則.故選：B2．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，為實數(shù)，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)相等可列出方程組求解.【詳解】由題意，所以，解得，所以.故選：D.3．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用乘方運算和模長計算可得，可知虛部為.【詳解】根據(jù)題意可得，易知的虛部是.故選：D4．（2024下·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，且是純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運算法則，化簡得到，結(jié)合是純虛數(shù)，求得，即可求解．【詳解】設(shè)，則因為是純虛數(shù)，可得，即，所以．故選：B.5．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.【詳解】復(fù)數(shù)，其中且，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，在直線上，的幾何意義是點到點的距離，其最小值為點到直線的距離，最小值為.故選：D6．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)相等求出的值，再由復(fù)數(shù)幾何意義得解.【詳解】由，則，由復(fù)數(shù)相等得，所以在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，在第四象限.故選：D7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且滿足，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)運算公式化簡求，根據(jù)純虛數(shù)定義列方程求.【詳解】由題意得，，因為復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以，解得，故選：A.第二部分：新定義題1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)?？计谀┮阎鲜怯赡承┱麛?shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（

）A．①對②對 B．①對②錯 C．①錯②對 D．①錯②錯【答案】A【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷②是真命題.【詳解】因為若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，所以，，因為，滿足其中且，所以，因為，且，，所以，因為，，，所以，故①對；下面討論元素與集合的關(guān)系，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，所以；當(dāng)時，，，，所以；當(dāng)時，，，，所以；依次類推，當(dāng)時，，，，所以，則，故②對.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎螾，Q中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意，都有；③對于任意，都有；則下列說法正確的是（

）A．若P有2個元素，則Q有3個元素B．若P有2個元素，則有4個元素C．若P有2個元素，則有1個元素D．存在滿足條件且有3個元素的集合P【答案】C【分析】若集合中有個元素，設(shè)，根據(jù)集合中元素的特性和題設(shè)條件進行分析推導(dǎo)，可判斷出選項ABC；假若有個元素，設(shè)，再根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)分析，可得到中還有第四個元素，推出矛盾，從而可判斷出D選項.【詳解】若有2個元素，設(shè)，則，因為至少有個元素，所以中除外至少還有一個元素，不妨設(shè)，，則，若，則且，所以，與假設(shè)矛盾，所以，所以或，當(dāng)時，則，所以，若，則，與矛盾，所以，同理可知，所以此時，；當(dāng)時，則，所以，若，則，與矛盾，所以，同理可知，此時，；由上可知，當(dāng)有2個元素，則有個元素，有個元素，有個元素，故A錯誤，B錯誤，C正確；不妨假設(shè)有個元素，設(shè)，則為互不相等的正數(shù)，由③可知：，又因為為互不相等的正數(shù)，所以也為互不相等的正數(shù)，由②可知：都是集合的元素，因為為互不相等的正數(shù)，所以都是不等于的正數(shù)，所以，又因為為互不相等的正數(shù)，所以，考慮到和，若，則為互不相等的正數(shù)，又因為，所以，所以是與不相等正數(shù)，因為都是集合的元素，所以集合中至少有個元素，這與假設(shè)矛盾，因此考慮的情況，所以，同理可得，所以，所以，這與集合中元素的互異性矛盾，所以有個元素不可能成立，故D錯誤；故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查元素與集合的關(guān)系以及集合運算后集合中元素個數(shù)的判斷，本題的難點在于如何通過假設(shè)推導(dǎo)出矛盾，解答過程中主要利用集合中元素的互異性去檢驗元素，從而達到確定集合中元素個數(shù)的目的.3．（2015上·上海浦東新·高一上海市實驗學(xué)校?？计谥校┤鬤是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①，；②對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時，有；③對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時，有，則稱M是集合X的一個“M-集合類”.例如：是集合得一個“M—集合類”.若，則所有含的“M—集合類”的個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】確定M中一定含有，再分類討論，一一列舉出能含有的其他元素，綜合即可得答案.【詳解】的子集有，由題意知M中一定含有，則M中可以含有的其他元素從剩余的5個集合中選??；當(dāng)剩余的5個集合都不選時，，共1個；當(dāng)只取1個時，或，或，滿足題意，此時M有3個；當(dāng)取2個時，或，或，滿足題意，此時M有3個；當(dāng)取3個時，或，或或，滿足題意，此時M有4個；當(dāng)取4個時，沒有符合題意的情況；當(dāng)5個全選時，，共1個，故所有含的“M—集合類”的個數(shù)為，故選：D4．（2023上·上海浦東新·高一?？计谥校┮阎邢藜绻鸄中的元素滿足，就稱A為“完美集”.①集合是“完美集”；②若、是兩個不同的正數(shù)，且是“完美集”，則、至少有一個大于2；③二元“完美集”有無窮多個；④若，則“完美集”A有且只有一個，且.其中正確的結(jié)論是（填上你認為正確的所有結(jié)論的序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)題設(shè)中的“完美集”的定義，結(jié)合集合的運算，以及一元二次方程的性質(zhì)，可判定①②③正確；設(shè)A中，得到，分和，兩種情況分類討論，可判定④正確.【詳解】對于①中，，，集合是“完美集”，所以①正確；對于②中，若、是兩個不