2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

6．（2024下·安徽蕪湖·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．8．（2024上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中?？茧A段練習(xí)）已知，下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎瑒t的值可以為（

）A．2 B．4 C．6 D．8三、填空題11．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）．12．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為．四、解答題13．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎?，求下列各式的值：(1)；(2)．14．（2024下·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之差為(1)求實數(shù)的值；(2)若，當時，解不等式．B能力提升1．（2024·四川·校聯(lián)考一模）函數(shù)的圖象大致是（

）．A．

B．

C．

D．

2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象恒過定點，且點的坐標滿足方程，其中，，則的最小值為（

）A．7 B．6 C． D．3．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．1 C．-5 D．54．（2024下·河南·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足，當時，，且，則當時，不等式的解集為.5．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校?？计谀┤魸M足以下條件：①；②的圖象關(guān)于對稱；③對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立，則的解析式可能為.C綜合素養(yǎng)6．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)滿足：對于任意正數(shù)m，n，都有，且，則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”．(1)試判斷函數(shù)與是否為“速增函數(shù)”；(2)若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求a的取值范圍．7．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域為，如果對于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù).對于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對任意的,有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.小組成員通過詢問數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)對他們研究的建議，得到了如下評注：在運用琴生不等式求多元最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.(1)設(shè)，求W=的最小值.(2)設(shè)為大于或等于1的實數(shù)，證明（提示：可設(shè)）(3)若a>1，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.第05講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(分層精練）A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)(新定義解答題）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024下·全國·高一開學(xué)考試）下列運算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】AB選項，根據(jù)指數(shù)運算法則計算出答案；CD選項，根據(jù)指數(shù)運算和對數(shù)運算法則進行計算.【詳解】A選項，，A正確；B選項，，B錯誤；C選項，，C錯誤；D選項，，D錯誤.故選：A2．（2024上·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期末）當且時，函數(shù)恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】當時，，與無關(guān)，則函數(shù)恒過定點．故選：B.3．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化與運算法則即可得解.【詳解】因為，則，所以.故選：C.4．（2024下·山東濟南·高三濟南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項.【詳解】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域為，關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項，因為，觀察選項可知，選A.故選：A5．（2024下·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．且【答案】A【分析】借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分類討論即可得.【詳解】由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，有，不符合題意，故舍去；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，有，符合題意，故正確.故選：A.6．（2024下·安徽蕪湖·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若滿足條件，則每一段上都為增函數(shù)，且在分界點處的函數(shù)值前一段的函數(shù)值不大于后一段的函數(shù)值，求解即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，實數(shù)的取值范圍為，故選：D.7．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式得解.【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù)，當時，，則當時，，有，顯然，不等式轉(zhuǎn)化或，解得或，所以不等式的解集為.故選：C8．（2024上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】探討函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，再利用性質(zhì)求解不等式即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，而不等式，于是，兩邊平方得，解得，所以所求不等式的解集為.故選：B二、多選題9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考階段練習(xí)）已知，下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】利用完全平方，立方和展開式，指數(shù)運算計算得出結(jié)果.【詳解】A：，故A正確；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D正確；故選：ABCD.10．（2024上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學(xué)校考期末）已知，則的值可以為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】CD【分析】先由等式得到，再應(yīng)用基本不等式求得的范圍，結(jié)合選項判斷即可.【詳解】由得：，解得，即，由于，，當且僅當（即）時取得等號.故選：CD.三、填空題11．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）．【答案】112【分析】根據(jù)完全平方式的特征即可求解.【詳解】,故答案為：11212．（2024上·山西長治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式，由此求得不等式的解集.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則由得，解得，即不等式的解集為．故答案為：四、解答題13．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎?，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7(2)【分析】（1）由完全平方公式以及分數(shù)指數(shù)冪的運算即可得解.（2）由完全平方公式、立方和公式以及分數(shù)指數(shù)冪的運算即可得解.【詳解】（1）由題意，所以.（2）由題意，所以.14．（2024下·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之差為(1)求實數(shù)的值；(2)若，當時，解不等式．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，結(jié)合條件，即可求解；（2）首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，化解不等式，即可求解.【詳解】（1）當時，，，則，解得當時，，，則，解得綜上得：或（2）當時，由（1）知，為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，∴即，，得或，所以，不等式的解集為.B能力提升1．（2024·四川·校聯(lián)考一模）函數(shù)的圖象大致是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，D，再結(jié)合，利用的函數(shù)值的符號，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為，關(guān)于原點對稱，且，可知為偶函數(shù)，其函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可排除C，D；當時，可得，若時，，則；若時，可得，則，此時B不符題意.故選：A2．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象恒過定點，且點的坐標滿足方程，其中，，則的最小值為（

）A．7 B．6 C． D．【答案】C【分析】先利用必過定點確定的坐標，后利用基本不等式‘1’的代換處理即可.【詳解】在中，當時，，故，將代入直線方程中，化簡得，故，當且僅當‘’時取等，即的最小值為.故選：C3．（2024上·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．1 C．-5 D．5【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，證明其為偶函數(shù)，據(jù)此可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，即，所以.因為，所以.故選：A4．（2024下·河南·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足，當時，，且，則當時，不等式的解集為.【答案】【分析】首先確定函數(shù)的周期，再利用周期，求和的解析式，再解不等式.【詳解】由知，函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，，得，所以當時，，設(shè)，,則，得，即，當，，則，得，即，綜上可知不等式的解集為.故答案為：5．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校校考期末）若滿足以下條件：①；②的圖象關(guān)于對稱；③對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立，則的解析式可能為.【答案】(答案不唯一)【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，圖象關(guān)于對稱，和對于不相等的兩個正實數(shù)，有成立共同得出即可.【詳解】設(shè)，因為，故滿足①；圖象為：故滿足②；設(shè)，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，故，所以滿足③；當，則，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，故，也滿足③.故答案為：(答案不唯一).C綜合素養(yǎng)6．（2024上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)滿足：對于任意正數(shù)m，n，都有，且，則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”．(1)試判斷函數(shù)與是否為“速增函數(shù)”；(2)若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求a的取值范圍．【答案】(1)是“速增函數(shù)”，不是“速增函數(shù)”，所以，又因為當時，，所以，由對一切正數(shù)恒成立，可得，即．綜上可知，a的取值范圍是．7．（2024上·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學(xué)期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域為，如果對于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù).對于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對任意的,有不等式恒成立（當且僅當時等號成立）.小組成員通過詢問數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)對他們研究的建議，得到了如下評注：在運用琴生不等式求多元最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.(1)設(shè)，求W=的最小值.(2)設(shè)為大于或等于1的實數(shù)，證明（提示：可設(shè)）(3)若a>1，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)．【分析】（1）先證明在為凹函數(shù)，再利用琴生不等式求解