2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第06講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(含新定義解答題)(分層精練)(學(xué)生版+解析)

第06講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·湖北荊門·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．2．（2024上·安徽六安·高一六安一中?？计谀┰O(shè)，，，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．3．（2024上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知，，用a，b表示為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對(duì)該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2021年全年投入資金120萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)，則該政府全年投入的資金翻一番（2021年的兩倍）的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年5．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2024上·湖南婁底·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．7．（2024上·江蘇鹽城·高一?？计谀┮阎瘮?shù)定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024下·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2024上·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值可能為（

）A．1 B．2 C．4 D．510．（2024上·湖南衡陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（2024上·山西長(zhǎng)治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的最大值為2，則．12．（2024上·湖南常德·高一常德市一中?？计谀┮阎瘮?shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題13．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2).1．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．2．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）如圖，指數(shù)函數(shù)與直線分別交于點(diǎn)A，B，C，若A，B，C的橫坐標(biāo)分別為，滿足，則，．3．（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在，使得在上的值域?yàn)椋敲淳头Q是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（且）是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是.4．（2024上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，記的最大值為．，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．（2024上·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到人們的重視．我們常用聲壓與聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，其中聲壓（單位：）是指聲波通過(guò)介質(zhì)傳播時(shí)，由振動(dòng)帶來(lái)的壓強(qiáng)變化；而聲壓級(jí)（單位：）是一個(gè)相對(duì)的物理量，并定義，其中常數(shù)為聽覺下限閾值，且．(1)已知某人正常說(shuō)話時(shí)聲壓的范圍是，求聲壓級(jí)的取值范圍；(2)當(dāng)幾個(gè)聲源同時(shí)存在并疊加時(shí)，所產(chǎn)生的總聲壓為各聲源聲壓的平方和的算術(shù)平方根，即．現(xiàn)有10輛聲壓級(jí)均為的卡車同時(shí)同地啟動(dòng)并原地急速，試問(wèn)這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級(jí)是多少？C綜合素養(yǎng)6．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于函數(shù)，，若存在，使得，則稱函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，其中是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱函數(shù)為“次不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，其中是的一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)．(1)判斷函數(shù)是否為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．7．（2024上·上海奉賢·高一統(tǒng)考期末）定義：給定函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)、，當(dāng)、、有意義時(shí)，總成立，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”.(1)判別函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若是，寫出、的值，若不是，說(shuō)明理由；(2)求證：函數(shù)（且）不具有“性質(zhì)”；(3)設(shè)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第06講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·湖北荊門·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式求解可得函數(shù)的定義域.【詳解】由.所以函數(shù)的定義域?yàn)椋汗蔬x：B2．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）設(shè)，，，則a，b，c之間的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)三個(gè)數(shù)與，的關(guān)系即可解出.【詳解】由題意，，，，∴.故選：D.3．（2024上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知，，用a，b表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指對(duì)互化得，再把利用換底公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：C.4．（2024·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對(duì)該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2021年全年投入資金120萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)，則該政府全年投入的資金翻一番（2021年的兩倍）的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年【答案】C【分析】設(shè)再過(guò)年，該政府全年投入的資金翻一番，則，結(jié)合指對(duì)互化及對(duì)數(shù)換底公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)再過(guò)年，該政府全年投入的資金翻一番，則，即，所以該政府全年投入的資金翻一番的年份是年.故選：C.5．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)求出的值，由函數(shù)有意義的條件求出的取值范圍，即可求的取值范圍.【詳解】函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則有，解得，即，有意義，，解得，所以有，此時(shí)，滿足在上為奇函數(shù)，由，所以.故選：C.6．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列出不等式組即可求解.【詳解】由題意，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.7．（2024上·江蘇鹽城·高一?？计谀┮阎瘮?shù)定義域?yàn)椋瑢?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，有.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，即可得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，有，即，即，令，則當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B8．（2024下·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意可得：，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.二、多選題9．（2024上·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值可能為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】CD【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得．故選：CD.10．（2024上·湖南衡陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】借助指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：，故A正確；對(duì)B：由，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C正確；對(duì)D：，故D正確.故選：ACD.三、填空題11．（2024上·山西長(zhǎng)治·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的最大值為2，則．【答案】6【分析】根據(jù)二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)由與復(fù)合而成，而在定義域上單調(diào)遞增，所以當(dāng)取最大值時(shí)，函數(shù)取得最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，解得．故答案為：12．（2024上·湖南常德·高一常德市一中?？计谀┮阎瘮?shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定法，以及一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題13．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2).【答案】(1)8(2)9【分析】（1）根據(jù)指數(shù)分?jǐn)?shù)冪的運(yùn)算可得答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）；（2）.14．（2024上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）茶是中華民族的舉國(guó)之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞?dòng)隰斨芄?，始于唐朝，興于宋代，中國(guó)茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，是我國(guó)文化中的一朵奇葩！我國(guó)人民歷來(lái)就有“客來(lái)敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌．立德中學(xué)利用課余時(shí)間開設(shè)了活動(dòng)探究課《中國(guó)茶文化》，小明同學(xué)用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室內(nèi)，開始時(shí)測(cè)得這杯茶的溫度為100℃，經(jīng)過(guò)1分鐘測(cè)得其溫度變?yōu)?0℃，再經(jīng)過(guò)1分鐘測(cè)得其溫度變?yōu)?5℃．小明想利用上述數(shù)據(jù)建立這杯茶的溫度y（單位：℃）隨經(jīng)過(guò)的時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，選用了兩種函數(shù)模型：①（為常數(shù)，且）；②（為常數(shù)，）．(1)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算幫小明同學(xué)選出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；(2)現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度不要超過(guò)60℃，請(qǐng)利用（1）中選出的模型該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)2.5分鐘【分析】（1）分別代入得到函數(shù)模型，結(jié)合生活實(shí)際進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)模型解不等式即可.【詳解】（1）若選用①，根據(jù)條件可得，解得，所以．此時(shí)，隨著的增大而減小，符合生活實(shí)際；若選用②，根據(jù)條件可得，解得，所以．又，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，不符合生活實(shí)際，應(yīng)舍去．所以該函數(shù)模型為．（2）由（1），令，于是，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，又，故，所以該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待2.5分鐘．15．（2024上·福建福州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得恒等式，解出參數(shù)并檢驗(yàn)即可得解.（2）首先得，，進(jìn)一步通過(guò)換元，并對(duì)進(jìn)行分類討論即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得.所以.解得，當(dāng)時(shí)，，舍去，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋项}意.所以.（2）設(shè)，根據(jù)題意可得，.由（1）知，當(dāng)時(shí)，，故.，設(shè)，函數(shù)，.①當(dāng)時(shí)，，可得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，圖象的對(duì)稱軸為.（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，由，得，即，所以；（ii）當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，，由，得，所以；若，即時(shí)，，由，得，所以；綜上所述，的取值范圍是.B能力提升1．（2024·遼寧·校聯(lián)考一模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，，，即可得，，再比較與的大小關(guān)系，借助對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較與的大小關(guān)系，結(jié)合放縮計(jì)算即可得.【詳解】，，，故，，要比較與的大小，即比較與的大小，等價(jià)于比較與的大小，等價(jià)于比較與的大小，又，故，即，即，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于比較與的大小關(guān)系，可借助對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較與的大小關(guān)系，再借助放縮幫助運(yùn)算即可得.2．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）如圖，指數(shù)函數(shù)與直線分別交于點(diǎn)A，B，C，若A，B，C的橫坐標(biāo)分別為，滿足，則，．【答案】24【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，求出，根據(jù)得出的值，再結(jié)合題意求出的值.【詳解】由題意知，所以，，，所以，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)椋粸?且，，所以.故答案為：2；43．（2024上·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（且）是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是.【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得，然后根據(jù)“成功函數(shù)”的定義列方程，從而轉(zhuǎn)化為二次方程有兩正根的問(wèn)題，利用二次函數(shù)根的分布列不等式求解即可.【詳解】依題意，函數(shù)（且）在定義域R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則，而時(shí)，不滿足條件，所以，設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)椋?，即，所以，n是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，所以方程等價(jià)為的有兩個(gè)不等的正實(shí)根，即，所以，解得.故答案為：4．（2024上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，記的最大值為．，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，結(jié)合偶函數(shù)的定義計(jì)算即可;（2）借助函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值為，再對(duì)進(jìn)行參變分離求出最值即可.【詳解】（1）記，為偶函數(shù)，恒成立，即恒成立，恒成立，恒成立，即恒成立，，.（2）和都是單調(diào)遞增函數(shù),在是單調(diào)遞增的，,在上有解，在上有解，在上有解，在上單調(diào)遞增，,.5．（2024上·浙江嘉興·高一統(tǒng)考期末）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到人們的重視．我們常用聲壓與聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，其中聲壓（單位：）是指聲波通過(guò)介質(zhì)傳播時(shí)，由振動(dòng)帶來(lái)的壓強(qiáng)變化；而聲壓級(jí)（單位：）是一個(gè)相對(duì)的物理量，并定義，其中常數(shù)為聽覺下限閾值，且．(1)已知某人正常說(shuō)話時(shí)聲壓的范圍是，求聲壓級(jí)的取值范圍；(2)當(dāng)幾個(gè)聲源同時(shí)存在并疊加時(shí)，所產(chǎn)生的總聲壓為各聲源聲壓的平方和的算術(shù)平方根，即．現(xiàn)有10輛聲壓級(jí)均為的卡車同時(shí)同地啟動(dòng)并原地急速，試問(wèn)這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級(jí)是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）因?yàn)槭顷P(guān)于的增函數(shù)結(jié)合聲壓的范圍是，即可得出答案；（2）由題意可得出求出，代入可求出總聲壓，再代入，求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)槭顷P(guān)于的增函數(shù)，所以正常說(shuō)話時(shí)聲壓級(jí)．（2）由題意得：（其中）總聲壓：故這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級(jí)．C綜合素養(yǎng)6．（2024上·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于函數(shù)，，若存在，使得，則稱函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，其中是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱函數(shù)為“次不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，其中是的一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)．(1)判斷函數(shù)是否為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，并說(shuō)明理由；經(jīng)檢驗(yàn)滿足在區(qū)間上恒成立，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）問(wèn)中，根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的概念，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)的問(wèn)題是關(guān)鍵，再利用零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；第（2）問(wèn)中，利用換元的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定的區(qū)間上一個(gè)函數(shù)值可以有兩個(gè)和一個(gè)自變量與之對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7．（2024上·上海奉賢·高一統(tǒng)考期末）定義：給定函