2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題篇素養(yǎng)提升文理專題三立體幾何與空間向量理科第1講空間幾何體三視圖表面積與體積文理學(xué)案含解析新人教版

PAGE專題三立體幾何與空間向量(理科)專題三立體幾何(文科)第1講空間幾何體、三視圖、表面積與體積(文理)JIETICELUEMINGFANGXIANG解題策略·明方向⊙︱考情分析︱1．簡潔幾何體的表面積與體積計算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計算作為其中的一問．2．空間幾何體的側(cè)面綻開圖、截面及簡潔的組合體問題．3．在一些基礎(chǔ)題目中，常常與傳統(tǒng)文化結(jié)合考查．4．常常在客觀題的后幾題中考查與球有關(guān)的切、接問題．⊙︱真題分布︱(理科)年份卷別題號考查角度分值2024Ⅰ卷3、10與棱錐有關(guān)的計算；體積、點到直線的距離、線面角、直線到平面的距離10Ⅱ卷7三視圖5Ⅲ卷8由三視圖求幾何體的表面積52024Ⅰ卷12垂直、外接球、體積5Ⅱ卷18空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、數(shù)學(xué)文化12Ⅲ卷8、16空間兩直線的位置關(guān)系的判定，簡潔幾何體的組合體、長方體和棱錐的體積102024Ⅰ卷7三視圖，幾何體表面的最短距離5Ⅱ卷16圓錐的性質(zhì)及側(cè)面積的計算5Ⅲ卷3、10數(shù)學(xué)文化與三視圖的識別、球與多面體、體積的最值、面面垂直10(文科)年份卷別題號考查角度分值2024Ⅰ卷3、12與棱錐有關(guān)的計算；求球的表面積10Ⅱ卷11、20(2)在求點到面的距離時涉及球的表面積；求四棱錐的體積11Ⅲ卷9由三視圖求幾何體的表面積52024Ⅰ卷16點到平面的距離5Ⅱ卷16多面體的棱長與面的個數(shù)5Ⅲ卷16多面體的體積52024Ⅰ卷9三視圖，幾何體表面的最短路徑問題5Ⅱ卷16圓錐的體積計算5Ⅲ卷3、12數(shù)學(xué)文化與三視圖，與外接球有關(guān)的空間幾何體體積的最值問題10KAODIANFENLEIXIZHONGDIAN考點分類·析重點考點一空間幾何體的三視圖eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))(1)三視圖的長度特征，三視圖中，正視圖和側(cè)視圖一樣高，正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．即“長對正，寬相等，高平齊”．(2)空間想象實力與多視察實物相結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵．(3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要留意實、虛線的畫法．(4)留意畫直觀圖時長度的改變．(5)求幾何體體積問題需先由三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，推斷是否為組合體，由哪些簡潔幾何體構(gòu)成，并精確推斷這些幾何體之間的關(guān)系，將其切割為一些簡潔的幾何體，再求出各個簡潔幾何體的體積，最終求出組合體的體積．eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例1(1)(2024·成都模擬)如圖是某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，則該幾何體的俯視圖不行能是(A)(2)(2024·唐山二模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長度為(B)A．2eq\r(2) B．3C．eq\r(10) D．2eq\r(3)(3)(2024·金山區(qū)二模)如圖，若一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是(C)A．2＋eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．2＋eq\r(2) D．1＋eq\r(2)【解析】(1)依據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為柱體．當(dāng)選A時，正視圖的中間的豎線為虛線．選項BCD都有可能．(2)如圖所示，在棱長為2的正方體中，點C為所在棱的中點，則題中的三視圖所對應(yīng)的幾何體為四棱錐P－ABCD，正方體的棱長為2，易知其棱長分別為：PA＝2，PB＝2eq\r(2)，PD＝2eq\r(2)，PC＝eq\r(22＋22＋12)＝3，則最長的棱長為3．(3)水平放置的圖形為始終角梯形，由題意可知上底為1，高為2，下底為1＋eq\r(2)，S＝eq\f(1,2)(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2).eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)1．三視圖問題的常見類型及解題策略：(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．留意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的視察方向，留意看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先依據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推想直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)．要熟識柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖．2．將三視圖還原為直觀圖常用的方法有兩種：(1)干脆拼湊法，多用于主、側(cè)視圖底邊與水平線平行的三視圖．(2)截圖法，多用于主或側(cè)視圖與水平線不平行的三視圖．3．空間幾何體的直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法，基本步驟：(1)在已知圖形中取相互垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別平行于x′軸、y′軸．(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?4)在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z′軸也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)1．(2024·浙江模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體表面兩兩垂直的平面共有(C)A．3對 B．4對C．5對 D．6對【解析】依據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐體．如圖所示：平面與平面的位置關(guān)系：平面ABCD⊥平面PBC、平面ABCD⊥平面PCD、平面PBC⊥平面PCD、平面PAB⊥平面PBC、平面PAD⊥平面PCD.故選C．2．(2024·房山區(qū)二模)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長側(cè)棱的長為(C)A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4【解析】依據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為一個三棱錐體和一個四棱錐體的組合體．如圖所示：依據(jù)三視圖中的長度：AB＝AE＝2eq\r(2)，AB′＝2eq\r(2)，AD＝2eq\r(3)，所以最長的側(cè)棱長為2eq\r(3).故選C．考點二空間幾何體的表面積與體積eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))1．柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)；(2)S錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為底面周長，h′為斜高)；(3)S臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分別為上、下底面的周長，h′為斜高)．2．柱體、錐體、臺體的體積公式(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(S，S′分別為上、下底面面積，h為高)(不要求記憶)．3．球的表面積和體積公式(1)S球表＝4πR2(R為球的半徑)；(2)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)考向1空間幾何體的表面積典例2(1)(2024·河西區(qū)二模)已知正四棱錐P－ABCD的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，其體積為eq\f(4,3)，若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過正方形的四個頂點，另一個底面的圓心為該棱錐的高的中點，則該圓柱的表面積為(C)A．π B．2πC．4π D．6π(2)(2024·黃山二模)若一個底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如圖所示，則這個棱柱的表面積為(B)A．36 B．36＋8eq\r(3)C．36＋18eq\r(3) D．36＋24eq\r(3)【解析】(1)設(shè)正四棱錐P－ABCD的頂點P在底面的投影為O，則V正四棱錐＝eq\f(1,3)S底·PO＝eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×PO＝eq\f(2,3)PO，由題意可得eq\f(2,3)PO＝eq\f(4,3)，所以PO＝2，由題意可得所求的圓柱的底面直徑2R＝BD＝eq\r(2)×eq\r(2)，所以R＝1，高h(yuǎn)＝eq\f(PO,2)＝1，所以S圓柱表面積＝2S底＋S側(cè)＝2πR2＋2πR·h＝2π×12＋2π×1×1＝4π，故選C．(2)由該棱柱的三視圖可知，該棱柱的高是3，底面邊長是4的正三棱柱，則棱柱的底面積是eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，每個側(cè)面面積是4×3＝12，所以該三棱柱的表面積為2×4eq\r(3)＋12×3＝36＋8eq\r(3)，故選B．eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要動身點．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差得幾何體的表面積．(3)由幾何體的三視圖求其表面積：①關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大??；②還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)3．(1)(2024·梅州二模)某幾何體的三視圖如圖所示，已知其主視圖的周長為8，則該幾何體側(cè)面積的最大值為(D)A．2π B．4πC．16π D．不存在(2)(2024·江蘇省宿遷市重點中學(xué)一模)已知一圓錐的體積為eq\f(\r(3),3)π，母線與底面所成角為eq\f(π,3)，則該圓錐的表面積為__3π__.【解析】(1)由題意可知幾何體是圓錐，設(shè)底面半徑為r，r∈(0,2)，高為h，則2r＋2eq\r(r2＋h2)＝8，即r＋eq\r(r2＋h2)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為：πr·eq\r(r2＋h2)＝πr·(4－r)＝2π(4r－r2)，當(dāng)且僅當(dāng)r＝2時，側(cè)面積取得最大值，但是r＜2，所以該幾何體側(cè)面積沒有最大值．故選D．(2)設(shè)圓錐底面半徑為r，又母線與底面所成角為eq\f(π,3)，則母線l＝2r，求得圓錐的高為h＝eq\r(3)r，則eq\f(\r(3),3)π＝eq\f(1,3)πr2·eq\r(3)r，解得r＝1．故圓錐的表面積S＝πr2＋πl(wèi)r＝π＋2π＝3π.eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)考向2空間幾何體的體積典例3(1)(2024·葫蘆島模擬)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，在A，B，C，D，C1，D1這六個頂點中，選擇兩個點與A1，B1構(gòu)成正三棱錐P，在剩下的四個頂點中選擇兩個點與A1，B1構(gòu)成正三棱錐Q，M表示P與Q的公共部分，則M的體積為(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(2,3) D．1(2)(2024·安丘市模擬)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的才智與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽視杯壁厚度)，如圖2所示．已知球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為eq\f(14,3)πR2．設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為V1，下部分(半球)的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝(A)A．2 B．eq\f(3,2)C．1 D．eq\f(3,4)(3)(2024·四川省成都外國語學(xué)校月考)某幾何體的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖為等邊三角形，則該幾何體的體積為(A)A．eq\f(\r(3)π,6)＋2eq\r(3) B．eq\f(π,3)＋4C．eq\f(\r(3)π,12)＋2eq\r(3) D．eq\f(2π,3)＋4【解析】(1)如圖，由題意，P和Q分別為三棱錐B1－A1BC1和三棱錐A1－AB1D1，設(shè)平面A1BC1與平面AB1D1的交線為EF，則M為四面體A1B1EF.取A1B1的中點O，連接EO，可得EO⊥平面A1B1F又S△A1B1F＝eq\f(1,4)×2×2＝1．則M的體積V＝eq\f(1,3)S△A1B1F·EO＝eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3).故選A．(2)由球的半徑為R，得半球表面積為2πR2，又酒杯內(nèi)壁表面積為eq\f(14,3)πR2，∴圓柱的側(cè)面積為eq\f(8,3)πR2．設(shè)圓柱的高為h，則2πR·h＝eq\f(8,3)πR2，即h＝eq\f(4,3)R.∴V1＝πR2·eq\f(4,3)R＝eq\f(4,3)πR3，V2＝eq\f(2,3)πR3．∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(4,3)πR3,\f(2,3)πR3)＝2．故選A．(3)由已知中的三視圖可得，該幾何體由一個半圓錐和一個三棱柱組合而成，如圖，其中半圓錐的底面半徑為1，三棱柱的底面是一個邊長為2的正三角形，它們的高分別為：eq\r(3)與2，則該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×eq\r(3)＋eq\f(\r(3),4)×22×2＝eq\f(\r(3)π,6)＋2eq\r(3).故選A．eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：干脆依據(jù)相關(guān)的體積公式計算．(2)等積法：依據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更簡潔，或是求出一些體積比等．(3)割補(bǔ)法：把不能干脆計算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計算體積的幾何體．eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)4．(1)(2024·北京昌平區(qū)期末)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．2(2)(2024·貴陽一中、云師大附中、南寧三中聯(lián)考)如圖，正八面體的棱長為2，則此正八面體的體積為__eq\f(8\r(2),3)__.【解析】(1)該三視圖對應(yīng)的直觀圖是三棱柱，如下圖所示所以VABC－A′B′C′＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故選C．(2)由棱長為2，可得正八面體上半部分的斜高為eq\r(22－1)＝eq\r(3)，高為eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則其體積為eq\f(2×2×\r(2),3)×2＝eq\f(8\r(2),3).考點三多面體與球的切、接問題eq\x(知)eq\x(識)eq\x(再)eq\x(現(xiàn))1．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．2．若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題．eq\x(典)eq\x(例)eq\x(悟)eq\x(通)典例4(1)(2024·6月份模擬)在三棱錐A－BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝eq\r(7)，BD＝2eq\r(3)，二面角A－BD－C是鈍角．若三棱錐A－BCD的體積為2．則三棱錐A－BCD的外接球的表面積是(C)A．12π B．eq\f(37,3)πC．13π D．eq\f(53π,4)(2)(2024·湖北模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的外接球的表面積為(C)A．16π B．12πC．9π D．8π(3)(2024·陜西渭南二模)體積為eq\f(4π,3)的球與正三棱柱的全部面均相切，則該棱柱的體積為__6eq\r(3)__.【解析】(1)取BD的中點K，連接AK，CK，由已知△ABD和△BCD是全等的等腰三角形，所以AK⊥BD，CK⊥BD，∴∠AKC為二面角A－BD－C的平面角，且BD⊥平面AKC，AK＝CK，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AK×CK×sin∠AKC×BD＝2，又AK＝eq\r(AD2－KD2)＝2，故sin∠AKC＝eq\f(\r(3),2)，因為∠AKC為鈍角，所以∠AKC＝120°，設(shè)△ABD，△BCD的外接圓的圓心分別為M，N，則M，N分別在AK，CK上且MK＝NK，連接DM，由(2－AM)2＋3＝DM2，其中AM＝DM，解得AM＝eq\f(7,4)，同理CN＝eq\f(7,4)，所以MK＝NK＝eq\f(1,4)，過M，N分別作平面ABD，平面BCD的垂線，兩垂線的交點O為四面體ABCD的外接球的球心，連接OK，則OK平分∠AKC，∴∠OKN＝60°，從而ON＝eq\f(\r(3),4)，OK＝eq\f(1,2)，在Rt△ONC中，ON＝eq\f(\r(3),4)，CN＝AM＝eq\f(7,4)，外接球的半徑為OC＝eq\r(ON2＋CN2)＝eq\r(\f(3,16)＋\f(49,16))＝eq\f(\r(13),2)，所以四面體ABCD外接球的表面積S＝4πr2＝4π×eq\f(13,4)＝13π，故選C．(2)依據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為底面為等腰直角三角形，高為2的三棱錐體．如圖所示：所以設(shè)該三棱錐體的外接球的球心為O，外接球的半徑為OA＝r，則：r2＝(2－r)2＋(eq\r(2))2，解得r2＝eq\f(9,4).故S＝4π×eq\f(9,4)＝9π.故選C．(3)設(shè)球的半徑為R，由eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)，得R＝1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2．設(shè)底面邊長為a，則eq\f(\r(3),6)a＝1，所以a＝2eq\r(3).所以V＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3×2＝6eq\r(3).eq\x(方)eq\x(法)eq\x(感)eq\x(悟)解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：eq\x(跟)eq\x(蹤)eq\x(訓(xùn))eq\x(練)5．(1)(2024·吳忠一模)已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面積為eq\f(3\r(3),4)，一個側(cè)面的周長為6eq\r(3)，則正三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面積為(C)A．4π B．8πC．16π D．32π(2)(2024·寧德二模)在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，若其外接球的表面積為12π，則SA＝(B)A．1 B．2C．2eq\r(3) D．4【解析】(1)∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面積為eq\f(3\r(3),4)，一個側(cè)面的周長為6eq\r(3)，故正三棱柱的底面邊長為eq\r(3)，側(cè)棱長為2eq\r(3).得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r＝1．又由正三棱柱的側(cè)棱長為2eq\r(3)，則球心到圓O的球心距d＝eq\r(3)，依據(jù)球心距，截面圓半徑，球半徑構(gòu)成直角三角形，滿意勾股定理，我們易得球半徑R滿意：R2＝r2＋d2＝4，R＝2，∴外接球的表面積S＝4πR2＝16π.故選C．(2)如圖，由SA⊥平面ABC，得SA⊥AC，SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，得BC⊥SB.∴SC為三棱錐S－ABC的外接球的一條直徑．由已知可得：4π×(eq\f(SC,2))2＝12π，得SC2＝12．又AC2＝AB2＋BC2＝8，∴SA＝eq\r(12－8)＝2．故選B．YICUOQINGLINGMIANSHIWU易錯清零·免失誤1．對幾何概念理解不透致誤典例1