2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章概率5正態(tài)分布學案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE§5正態(tài)分布【必備學問·自主學習】導思1.什么叫正態(tài)曲線與正態(tài)分布？2．正態(tài)曲線的性質有哪些？1.正態(tài)曲線φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，這一類隨機變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函數(shù))，簡稱正態(tài)分布，對應的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．假如隨機變量X聽從正態(tài)分布，且其總體密度曲線對應的函數(shù)是φ(x)＝(x∈R)，那么EX等于多少？提示：22．正態(tài)分布(1)正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機變量的分布，是刻畫誤差分布的重要模型，因此也稱為誤差模型．(2)假如隨機變量X聽從正態(tài)分布，那么這個正態(tài)分布完全由參數(shù)μ，σ(σ>0)確定，記為X～N(μ，σ2).其中EX＝μ，DX＝σ2.3．正態(tài)曲線的特點(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，關于直線x＝μ對稱；(3)曲線的最高點位于x＝μ處；(4)當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降；并且當曲線向左、右兩邊無限延長時，以x軸為漸近線；(5)當σ肯定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移；(6)當μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中．P(X≥μ)和P(X≤μ)有什么關系？各等于多少？提示：P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.54．3σ原則(1)正態(tài)分布在三個特別區(qū)間內(nèi)取值的概率：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682__6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954__4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997__4．(2)通常認為聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，并稱之為3σ原則．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”).(1)正態(tài)分布變量函數(shù)表達式中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)聽從正態(tài)分布的隨機變量是連續(xù)型隨機變量．()(3)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線．()提示：(1)×.因為正態(tài)分布變量函數(shù)表達式中參數(shù)μ是隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計，而σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，用樣本的標準差去估計．(2)√.因為離散型隨機變量最多取可列出的不同值．而連續(xù)型隨機變量可能取某個區(qū)間上的任何值．(3)√.由正態(tài)分布曲線的形態(tài)可知該說法正確．2．正態(tài)曲線關于y軸對稱，則它所對應的正態(tài)總體均值為()A．1 B．－1C．0 D．不確定【解析】選C.由正態(tài)曲線性質知均值為0.3．某年級有100名學生，一次數(shù)學測試成果ξ～N(105，102)，P(95≤ξ≤105)＝0.34，則該年級學生數(shù)學成果在115分以上的人數(shù)大約為________．【解析】由于ξ滿意正態(tài)分布，故P(ξ>115)＝eq\f(1－2×P（95≤ξ≤105）,2)＝eq\f(1－2×0.34,2)＝0.16所以人數(shù)大約為100×0.16＝16.答案：16【關鍵實力·合作學習】類型一正態(tài)曲線及其性質(直觀想象)【典例】某次我市高三教學質量檢測中，甲、乙、丙三科考試成果的分布密度曲線如圖所示(由于人數(shù)眾多，可視為正態(tài)分布)，則由如圖所示曲線可得下列說法中正確的一項是()A.甲科總體的標準差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同【思路導引】視察圖象結合正態(tài)曲線的性質進行推斷．【解析】選A.由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)曲線的性質，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙．利用正態(tài)曲線的性質可以求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此性質結合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此性質結合圖象可求σ.(3)由σ的大小區(qū)分曲線的胖瘦．(2024·鄭州高二檢測)甲、乙兩類水果的質量(單位：kg)分別聽從正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))，N(μ2，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯誤的是()A.甲類水果的平均質量μ1＝0.4kgB．甲類水果的質量比乙類水果的質量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質量比乙類水果的平均質量小D．乙類水果的質量聽從正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99【解析】選D.由圖象可知，甲類水果的平均質量μ1＝0.4kg，乙類水果的平均質量μ2＝0.8kg，故A，B，C正確；乙類水果的質量聽從的正態(tài)分布，eq\f(1,\r(2π)σ2)＝1.99，所以σ2≠1.99，故D不正確．類型二正態(tài)分布下的概率計算(數(shù)學運算)1．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.22．在某項測量中，測量結果聽從正態(tài)分布N(1，4)，求正態(tài)總體X在(－1，1)內(nèi)取值的概率．3．設隨機變量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1).(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8).【解析】1.選C.因為隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，所以μ＝2，對稱軸是x＝2.因為P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，所以P(0<ξ<4)＝0.6，所以P(0<ξ<2)＝0.3.2．由題意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)≈0.6826.又因為正態(tài)曲線關于x＝1對稱，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X≤3)＝eq\f(1,2)P(－1＜X≤3)＝0.3413.3．(1)由X～N(2，9)可知，密度函數(shù)關于直線x＝2對稱(如圖所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)≈0.9544.正態(tài)變量在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.(2)留意概率值的求解轉化：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b＜μ，則P(X＜b)＝eq\f(1－P（μ－b＜X＜μ＋b）,2).(3)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．類型三正態(tài)分布的實際應用(數(shù)學運算)【典例】設在一次數(shù)學考試中，某班學生的分數(shù)X～N(110，202)，且知試卷滿分150分，這個班的學生共54人，求這個班在這次數(shù)學考試中及格(即90分及以上)的人數(shù)和130分及以上的人數(shù)．【思路導引】將P(X≥90)轉化為P(X－μ≥－σ)，然后利用對稱性及概率和為1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，進而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．【解析】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，因為P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.6826＝1，所以P(X－μ≤－σ)＝0.1587，所以P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.1587＝0.8413.所以54×0.8413≈45(人)，即及格人數(shù)約為45人．因為P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，所以P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.6826＋2P(X－μ≥σ)＝1，所以P(X－μ≥σ)＝0.1587，即P(X≥130)＝0.1587.所以54×0.1587≈9(人)，即130分及以上的人數(shù)約為9人．假如把題設條件“這個班的學生共54人”換成“現(xiàn)已知該班同學中不及格的人數(shù)有9人”，求相應結論．【解析】因為X～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20，所以P(110－20＜X≤110＋20)≈0.6826，所以X＜90的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587.設該班學生共有x人，則0.1587x＝9，即x≈57(人)，所以P(X≥90)＝1－0.1587＝0.8413，所以這個班這次數(shù)學考試中及格的人數(shù)為0.8413×57≈48(人)，又P(X≤90)＝P(X≥130)，所以130分及以上的人數(shù)有9人．正態(tài)分布的實際應用題的求解策略解答正態(tài)分布的實際應用題，其關鍵是如何轉化，同時應嫻熟駕馭正態(tài)分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率．在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結合思想．【補償訓練】在某次數(shù)學考試中，考生的成果X聽從正態(tài)分布，即X～N(90，100).(1)試求考試成果X位于區(qū)間(70，110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名學生，試估計考試成果在(70，110)間的考生大約有多少人？【解析】因為X～N(90，100)所以μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于X在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.9544，又該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成果X位于區(qū)間(70，110)內(nèi)的概率就是0.9544.(2)由(1)知P(70<X<110)≈0.9544，所以估計成果在(70，110)間的考生大約為2000×0.9544≈1909(人).備選類型正態(tài)分布與概率的綜合問題(數(shù)學運算)【典例】(2024·濰坊高二檢測)有一片產(chǎn)量很大的水果種植園，在接近成熟時隨機摘下某品種水果100個，其質量(均在1至11kg)頻數(shù)分布表如下(單位：kg)：分組[1，3)[3，5)[5，7)[7，9)[9，11]頻數(shù)103040155以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率．(1)由種植閱歷認為，種植園內(nèi)的水果質量X近似聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2≈4.請估計該種植園內(nèi)水果質量在(5.5，9.5)內(nèi)的百分比；(2)現(xiàn)在從質量為[1，3)，[3，5)，[5，7)的三組水果中，用分層隨機抽樣方法抽取8個水果，再從這8個水果中隨機抽取2個．若水果質量在[1，3)，[3，5)，[5，7)的水果每銷售一個所獲得的利潤分別為2元，4元，6元，記隨機抽取的2個水果總利潤為Y元，求Y的分布列和數(shù)學期望．附：若ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9544.【思路導引】第(1)問先求平均值，再分析數(shù)據(jù)所在范圍，求正態(tài)分布概率；第(2)問由分層隨機抽樣求出抽取的樣本，再確定總利潤Y的取值，求出對應的概率即可．【解析】(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,100)(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，由正態(tài)分布知，P(5.5<X<9.5)＝P(μ<X<μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×0.9544＝0.4772.該種植園內(nèi)水果質量在(5.5，9.5)內(nèi)的百分比為47.72%.(2)由題意知，從質量為[1，3)，[3，5)，[5，7)的三組水果中抽取的個數(shù)分別為1，3，4，Y的取值為6，8，10，12.則P(Y＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)))＝eq\f(3,28)；P(Y＝8)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)))＝eq\f(7,28)＝eq\f(1,4)；P(Y＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)；P(Y＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)))＝eq\f(6,28)＝eq\f(3,14).所以Y的分布列為Y681012Peq\f(3,28)eq\f(1,4)eq\f(3,7)eq\f(3,14)EY＝6×eq\f(3,28)＋8×eq\f(1,4)＋10×eq\f(3,7)＋12×eq\f(3,14)＝eq\f(19,2)＝9.5.本題主要考查正態(tài)分布及隨機變量的分布列和數(shù)學期望．本題有兩個易錯點，一是正態(tài)分布的三個概率公式中數(shù)據(jù)的范圍是由平均值與標準差確定，留意不是方差；二是列分布列時應全面考慮，把全部可能狀況都列出來，再求出對應的概率．某高校為增加應屆畢業(yè)生就業(yè)機會，每年依據(jù)應屆畢業(yè)生的綜合素養(yǎng)和學業(yè)成果對學生進行綜合評估，已知某年度參與評估的畢業(yè)生共有2000名．其評估成果Z近似地聽從正態(tài)分布N(μ，σ2).現(xiàn)隨機抽取了100名畢業(yè)生的評估成果作為樣本，并把樣本數(shù)據(jù)進行了分組，繪制了頻率分布直方圖：(1)求樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)若學校規(guī)定評估成果超過82.7分的畢業(yè)生可參與A、B、C三家公司的面試．用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值．請利用估計值推斷這2000名畢業(yè)生中，能夠參與三家公司面試的人數(shù)．附：eq\r(161)≈12.7若隨機變量Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.9544.【解析】(1)由所得數(shù)據(jù)繪制的頻率直方圖，得：樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70；樣本方差s2＝(45－70)2×0.05＋(55－70)2×0.18＋(65－70)2×0.28＋(75－70)2×0.26＋(85－70)2×0.17＋(95－70)2×0.06＝161；(2)由(1)可知，＝70，2＝161，故評估成果Z聽從正態(tài)分布N(70，161)，所以P(Z>82.7)＝P(Z>＋)＝eq\f(1－0.6826,2)＝0.1587，在這2000名畢業(yè)生中，能參與三家公司面試的估計有2000×0.1587≈317人．【課堂檢測·素養(yǎng)達標】1．設隨機變量X的正態(tài)密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,2\r(π))·，x∈(－∞，＋∞)，則參數(shù)μ，σ的值分別是()A．3，2 B．－3，2C．3，eq\r(2) D．－3，eq\r(2)【解析】選D.