重慶市綦江區(qū)南州中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

重慶市綦江區(qū)南州中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上有一點(diǎn)，滿足，則的中點(diǎn)到軸的距離為（）A. B.C. D.2．直線恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.3．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4．若，則（）A. B.C. D.5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.6．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.57．橢圓C：的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在橢圓上，若，則的面積為（）A.48 B.40C.28 D.248．如圖所示，已知三棱錐，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.9．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.10．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.11．若點(diǎn)P為拋物線y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.12．某家大型超市近10天的日客流量（單位：千人次）分別為：2.5、2.8、4.4、3.6.下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）A.散點(diǎn)圖 B.條形圖C.莖葉圖 D.扇形圖二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為______.14．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值為________.15．已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且.①求直線的方程；②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別在上，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大?。唬?）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)M滿足，記點(diǎn)M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過(guò)圓圓心D且與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.21．（12分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)與C相切，切點(diǎn)分別為A，B，證明：22．（10分）為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（3）樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)是多少？（4）第三組的頻數(shù)是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用拋物線的定義求出的值，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)到軸的距離為.故選：A.2、A【解析】將直線方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【詳解】解：由得到：，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)故選：A3、A【解析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負(fù)，，可化為：或，解得或故選：A4、D【解析】設(shè)，計(jì)算出、的值，利用平方差公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)由已知可得，，因此，.故選：D.5、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過(guò)程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B6、C【解析】直線l過(guò)定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過(guò)定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，，弦長(zhǎng)＝.故選：C.7、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出，再判斷形狀計(jì)算作答.【詳解】橢圓C：的半焦距，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，由橢圓定義得，而，且，則有是直角三角形，，所以的面積為24.故選：D8、A【解析】連接，先根據(jù)已知條件表示出，再根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選：A.9、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：C10、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假可判斷出各選項(xiàng)中命題的真假.【詳解】對(duì)于命題，由于函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，命題為真命題；對(duì)于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)拋物線的定義得出當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線y＝2x2上點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準(zhǔn)線方程為y＝－，∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D12、A【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特征以及各統(tǒng)計(jì)圖表的特征分析即可；【詳解】解：莖葉圖、條形圖、扇形圖均能將數(shù)據(jù)描述出來(lái)，并且能夠體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)；散點(diǎn)圖表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢(shì)，故用來(lái)描述該超市近10天的日客流量不是很合適；故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，直線與平面所成角為，所以，故答案為：14、1【解析】由兩條直線垂直可知，進(jìn)而解得答案即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直，所以.故答案為：1.15、（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②.【解析】（1）由可證得結(jié)論成立；（2）①設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程；②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，可求出的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1），，因此，；（2）①由（1）知，橢圓的方程為，即，當(dāng)在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，可得.設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，由已知可得，兩式作差得，所以，所以，直線方程為，即.所以，直線的方程為；②聯(lián)立，消去可得.，由韋達(dá)定理可得，，又，而，，，解得合乎題意，故，因此，橢圓的方程為.16、【解析】先求出兩函數(shù)在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結(jié)果【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，，使得，所以，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：長(zhǎng)方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面【小問(wèn)2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.從而，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，，則，從而，令，則，得平面的一個(gè)法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角，平面與平面所成的角的余弦值為18、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關(guān)系可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)求其大小即可.（2）由（1）及題設(shè)有，應(yīng)用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個(gè)內(nèi)角，則，所以或；【小問(wèn)2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負(fù)值），則∴19、（1）（2）23【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，再由二次函數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由，則軌跡C是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，且，圓心，則因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，取最小值23.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由線面垂直判定定理即可得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，通過(guò)線線平行得到面面，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，面，∴面，∵，且，∴四邊形平行四邊形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線面平行常見(jiàn)的證明方法：（1）通過(guò)構(gòu)造相似三角形（三角形中位線），得到線線平行；（2）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形得到線線平行；（3）通過(guò)線面平行得到面面平行，再得線面平行.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)共焦點(diǎn)求出參數(shù)c，由長(zhǎng)軸長(zhǎng)求參數(shù)a，即可確定C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）令過(guò)切線為，聯(lián)立橢圓C結(jié)合得到關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，對(duì)于橢圓C有，又橢圓的焦點(diǎn)為，則，所以，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，直線，的斜率必存在，令橢圓C的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程并整理可得：，由相切關(guān)系知：，整理得：，所以，即直線，相互垂直，則.22、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計(jì)算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計(jì)算（1），（2），由公式直接計(jì)算可得（1）中樣本容量；根據(jù)（2）問(wèn)中的達(dá)標(biāo)率，可計(jì)算不達(dá)標(biāo)率，從而求出不達(dá)標(biāo)人數(shù)，可得（3）；單獨(dú)計(jì)算第三組的頻率，由公式計(jì)算頻數(shù)，可求出（4