風險評估厭惡培訓講義

風險厭惡第7

章2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江2概述作為偏好的一個基本性質(zhì)，我們要求它是凸的，偏好的凸性對參與者的最優(yōu)消費/組合選擇有重要的影響。這一章我們將進行一些具體研究。

本章從上一章的效用函數(shù)出發(fā)，了解凸性的經(jīng)濟意義，引出風險厭惡的概念及其度量。最后考慮不同偏好所反應(yīng)的風險厭惡之間的比較。

2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江3本章內(nèi)容框架7.1邊際效用遞減7.2風險厭惡的定義7.3風險厭惡的度量7.4風險厭惡的幾個例子7.5風險厭惡的比較7.6一階風險厭惡7.7本章小結(jié)2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江47.1邊際效用遞減定義7.1:對于函數(shù)u(·)，如果?x,y和

α∈[0,1]，有

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

（?uE(x)≥Eu(x)）

則我們稱u(·)為凹的。我們立即可以得到下面的定理：

定理7.1:如果凸的連續(xù)偏好由(6.4)式中的期望效用函數(shù)表示，那么相應(yīng)的效用函數(shù)u(·)是凹的。

2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江57.1邊際效用遞減(續(xù))證明：

我們只考慮如下的消費計劃：[c0;c1]=[x;0]。?x>y以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求：u(αx+(1?α)y)>αu(x)+(1?α)u(y)

如果我們用不等式代替嚴格不等式，顯然成立

而當α=0和α=1時也滿足

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

再考慮x和y的關(guān)系。

綜合以上α，以及x，y的取值情況。可知滿足定義7.1的條件，易得：u是凹的2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江67.1邊際效用遞減(續(xù))定理7.2:如果凹函數(shù)u(·)還是二階可微的，那么u”≤0

證明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u是凹的意味著u(z)≥1/2[u(z-δ)+u(z+δ)],即：

0≥

如果u是二階可微的，我們可以在上面的不等式中取極限δ→0，從而得到u”≤0。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江77.1邊際效用遞減(續(xù))現(xiàn)在我們來考察6.4式的期望效用函數(shù)為凹性的經(jīng)濟含義，u(·)表示的是消費的直接效用，它的一階導數(shù)u′(·)表示的是消費的邊際效用。不滿足性要求u′(·)>0，即邊際效用始終為正。偏好的凸性意味著u”(·)

≤0，也就是說邊際效用是消費的減函數(shù)。邊際效用遞減意味著當消費水平上升時，一單位額外消費得到的效用遞減。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江87.2風險厭惡的定義上一節(jié)我們討論了期望效用函數(shù)u(·)的凹性的一個重要含義是邊際效用遞減，這一節(jié)我們將繼續(xù)探討期望效用函數(shù)的另一個重要含義，也就是當偏好可以由期望效用表示時，凸性（凹函數(shù)）意味著風險厭惡。這節(jié)重點討論風險厭惡的定義以及它與效用函數(shù)的關(guān)系。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江97.2風險厭惡的定義(續(xù))定義7.2:

記

為一個不確定的支付。如果E[]=0，則稱為一個公平賭博。定義7.3:

如果滿足

則稱效用函數(shù)u(·)的參與者是(嚴格)風險厭惡的風險厭惡的定義十分清楚。在期望值相同（?E(w+)=E(w)）的不確定性支付和確定性支付之間，一個風險厭惡的參與者總是選擇后者。Eg：2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江107.2風險厭惡的定義(續(xù))定理7.3:

當且僅當u是(嚴格)凹函數(shù)是，參與者是(嚴格)風險厭惡的。

證明:風險厭惡?凹函數(shù)

?w1,w2(w1>w2)以及p∈(0,1)，構(gòu)造如下的伯努利賭博

，概率為{p,1?p}，且

很明顯E[]=0。定義那么有

w1=w+g1

,w2=w+g2

風險厭惡意味著（由定義7.3）

2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江117.2風險厭惡的定義(續(xù))0w+g2ww+g1U(w+g2)U(w)U(w+g1)pU(w+g1)+(1-p)U(w+g2)2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江127.2風險厭惡的定義(續(xù))那么，

因此(據(jù)定義7.1)

，u是凹函數(shù)。凹函數(shù)?風險厭惡

因為u是凹函數(shù)，由Jensen不等式，我們有

因此，(據(jù)定義7.3)易得參與者是風險厭惡的。定理7.3證明了當偏好可以由期望效用表示時，凸性（凹函數(shù)）意味著風險厭惡。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江137.3風險厭惡的度量給出了風險厭惡的一般定義以后，我們很自然的考慮到如何量化，也就是說我們能否有一個風險厭惡的度量，可以讓我們比較不同參與者或者同一參與者在不同情況下的風險厭惡程度？我們應(yīng)該很清楚，一切風險的度量都應(yīng)該與風險本身有關(guān)，對于不同的風險都應(yīng)該有不同的風險厭惡度量。本章節(jié)主要是對小風險的情形進行度量，包括絕對風險度量和相對風險度量。風險測量指標風險貼水方差舉例：2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江14景氣不景氣期望等價A3/181/102/141.6/10B4/200/02/101/102024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江157.3絕對風險厭惡(續(xù))風險厭惡的參與者偏好于確定性支付而不是不確定性支付。這種偏好的強度可以用風險溢價來衡量，其定義如下：定義7.4:

一個參與者參與一個公平賭博所要求的風險溢價π，定義為

(7.1)

也就是說，風險溢價是參與者為了消除風險而愿意放棄的財富值。上式定義中的?π，被稱為風險賭博的確定性等值CE，CE是一個完全確定的收入量，在此收入水平上所對應(yīng)的效用水平等于不確定條件下期望的效用水平。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江167.3絕對風險厭惡(續(xù))另外，我們也可以把它定義成參與者因為承擔風險而要求的最小財富值：

E[u(w++)]=u(w)

對于相同的風險而言，和π不一定相同。但是我們將看到，對于小風險而言，他們是一樣的。一般來說，風險溢價依賴于風險本身，也就是賭博的性質(zhì)。當然，它也依賴于參與者的風險厭惡程度。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江177.3絕對風險厭惡(續(xù))考慮小風險：定義7.5:當隨機變量的取值范圍很小時，稱

為風險小的賭博。一個隨機變量的取值范圍定義為它的最大值和最小值之差。對于小風險，通過泰勒展開(7.1)式兩邊，我們有等式：

因此小風險的風險溢價為2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江187.3絕對風險厭惡(續(xù))很容易驗證，對于小風險而言，上面給出的風險溢價的另一個定義與π相同。式(7.2)給出的風險溢價有一個很直觀的解釋：對于小風險而言，方差是風險大小的度量。風險溢價與風險的大小成正比，而比例系數(shù)反映了參與者的風險厭惡程度。除去客觀因素var[]，僅留下反映個體主觀因素的部分，我們得到了風險厭惡的度量，記為A(w)，它的定義如下：2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江197.3絕對風險厭惡(續(xù))因為A(w)是與每單位絕對風險的風險溢價相聯(lián)系的，因此也被稱為絕對風險厭惡。絕對風險厭惡不僅依賴于效用函數(shù)，它也依賴于財富水平w。因此我們在風險厭惡的定義中明確地標出其對財富水平的依賴。通常把絕對風險厭惡的倒數(shù)稱作風險容忍系數(shù)：2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江207.3相對風險厭惡Arrow-Pratt風險厭惡度量是對于給定絕對大小的風險而定義的。它并不考慮風險對于參與者的總財富的相對大小。我們也可以考慮如下以總財富作為基數(shù)的賭博和風險溢價：

這里，賭博的盈虧為w，是與總財富成比例的。相應(yīng)的風險溢價也如此。對于小規(guī)模的賭博，我們有2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江217.3相對風險厭惡(續(xù))這樣就可以得到參與者的相對風險厭惡，記作R(w)，定義為

因此，如果參與者面臨的風險是與他的財富成比例的，相應(yīng)的風險溢價作為其財富的一部分，是與他的相對風險厭惡以及風險相對于財富的大小成比例的。

2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江227.3風險厭惡的度量(續(xù))風險厭惡的度量應(yīng)該是與我們所考慮的風險本身相聯(lián)系的。從他們的定義可以看到，上面引入的絕對和相對風險厭惡都是相對于小風險而言的，可能不適合面臨大風險時的風險厭惡度量。在定義風險厭惡度量的同時，我們也得到了對(小)風險本身的一個度量，即方差。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江237.4風險厭惡的幾個例子下面我們來看看幾個關(guān)于效用函數(shù)及其風險厭惡度量的例子。1.線性或風險中性效用函數(shù)：u(w)=w

A(w)=R(w)=0

風險中性參與者的風險容忍是無窮的。2.負指數(shù)效用函數(shù)：u(w)=-e-aw

A(w)=a，R(w)=aw

負指數(shù)效用函數(shù)具有常數(shù)絕對風險厭惡(CARA)，對于一個CARA效用函數(shù)，相對風險厭惡隨著財富的增加而增加。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江247.4風險厭惡的幾個例子(續(xù))3.平方效用函數(shù)：

對于該效用函數(shù)而言，邊際效用為u′(w)=1-aw。當w>1/a時它就成了負值了，為了保證不滿足性，要限制w不能超過1/a。

另一個性質(zhì)是絕對風險厭惡隨財富的增加而增加。也就是說，當參與者的財富越來越多是，對風險就越來越不能容忍。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江257.4風險厭惡的幾個例子(續(xù))4.冪指數(shù)效用函數(shù)：

絕對風險厭惡隨財富的增加而遞減，相對風險厭惡為常數(shù)。具有常數(shù)相對風險厭惡(CRRA)的偏好。其風險容忍對財富是線性的。5.對數(shù)效用函數(shù)：u(w)=logw

對數(shù)效用函數(shù)可以看成是當γ→1時冪指數(shù)效用的極限。因此也屬于CRRA類。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江267.4風險厭惡的幾個例子(續(xù))6.雙曲線絕對風險厭惡(HARA)效用函數(shù)：直接由它們的風險厭惡的度量定義

風險容忍為線性的。這是較大的一類效用函數(shù)，包括前面例舉的所有類型。作為HARA偏好的特例，有：2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江277.4風險厭惡的幾個例子(續(xù))

1.風險中性效用函數(shù)：d=∞;

2.平方數(shù)效用函數(shù)：γ=-1且d=1/a;

3.負指效用函數(shù)：γ→∞且d=1/a;

4.冪指數(shù)效用函數(shù)：d=0,γ>0且γ≠1;

5.對數(shù)效用函數(shù)：d=0且γ→1。

2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江287.4風險厭惡的幾個例子(續(xù))給定某個偏好，若其絕對風險厭惡隨財富增加（減少）而增加（減少），即A′(w)>(<)0，則我們稱之為絕對風險厭惡遞增IARA（遞減DARA）如果其相對風險厭惡隨財富增加（減少）而增加（減少），即R′(w)>(<)0，則我們稱之為相對風險厭惡遞增IRRA（遞減DRRA）2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江297.5風險厭惡的比較前面定義的風險厭惡度量反映了參與者對風險的態(tài)度，并且由他們的偏好決定。

這一節(jié)我們將考慮如何使用這樣的度量來幫助我們比較不同參與者對風險的態(tài)度。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江307.5風險厭惡的比較(續(xù))記u1(w)和u2(w)為兩個遞增的、二階可微的效用函數(shù)，A1(w)和A2(w)是它們的絕對風險厭惡系數(shù)。定理7.4:下面的命題等價(基于上面的假設(shè))

1.A1(w)≥A2(w)，?w;

2.;

3.

4.π1≥π2，對所有的w和公平賭博成立。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江317.5風險厭惡的比較(續(xù))證明：1?2：

因為u′(w)>0

，立即可以得到f是凹的，也就是f’’≤0，如果A1(w)≥A2(w)

。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江327.5風險厭惡的比較(續(xù))2?3：

因為u2是遞增的，存在。定義f(z)=。那么，f(u2(w))=u1(w)可以當成3的f(·)，這與上面定義的函數(shù)f(·)完全相同?？梢则炞C一階導大于零且二階導小于零，這就證明了結(jié)論。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江337.5風險厭惡的比較(續(xù))3?4：

對于任意的賭博，我們有

因為f是凹的，由Jensen不等式就能推出要證明的不等式成立。注意u1(w-π2)=f(u2(w-π2))，我們有π1≥π2。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江347.5風險厭惡的比較(續(xù))4?1：

對于小賭博而言，有π1≥π2，這就意味著A1(w)≥A2(w)。

如果對于?w，A1(w)>A2(w)，那么我們就稱參與者1“總體上”比參與這2更為厭惡風險。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江357.6一階風險厭惡第六章中談到了效用函數(shù)的不可微性與對風險的態(tài)度之間的關(guān)系。這一節(jié)將對其進行補充。本章的前幾節(jié)對風險厭惡度量的討論中，都假設(shè)了效用函數(shù)是可微的，在此基礎(chǔ)上來考慮小風險，引入風險度量。如果效用函數(shù)是不可微的，則要將前面的討論進行修正。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江367.6一階風險厭惡(續(xù))仍用第六章的效用函數(shù)例子來考慮：

u(w)=a->a+>0

顯然，u(w)在處不可微。假設(shè)財富水平恰好是。我們來看一個公平的Bernoulli賭博：輸贏概率相等，其值為δ。相應(yīng)的風險溢價為：π=?(a--a+)δ

這個博弈的方差是δ2。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江377.6一階風險厭惡(續(xù))從前面可知，當效用函數(shù)可微時，風險溢價和方差成比例（π∝A(w)δ2）。而在其不可微時，風險溢價和方差的平方根成比列，即與風險的規(guī)模（以δ來衡量）成線性關(guān)系。

在δ很小時，它要比可微時大得多，即高一階。這也意味著相應(yīng)的風險厭惡系數(shù)要大得多，且要高一階。因此，也稱之為一階風險厭惡。前景理論2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江387.7本章小結(jié)期望效用函數(shù)的兩個重要含義：

邊際效用遞減

凸性意味著風險厭惡風險厭惡的度量

絕對風險厭惡

相對風險厭惡風險厭惡的幾個例子風險厭惡的比較一階風險厭惡1.風險中性效用函數(shù)2.負指數(shù)效用函數(shù)

3.平方效用函數(shù)

4.冪指數(shù)效用函數(shù)

5.對數(shù)效用函數(shù)6.雙曲線絕對風險厭惡效用函數(shù)1.A1(w)≥A2(w)，?w;

2.;

3.

4.π1≥π2，對所有的w和公平賭博成立。效用函數(shù)可微時，風險溢價和方差成比例。不可微時，與風險的規(guī)模成線性關(guān)系。

δ很小時，它要比可微時大得多，即高一階。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江39Theend。2024/10/24《金融經(jīng)濟學》--王江40伯努利賭博伯努利提供了一個這樣的例子：有兩個人，每人有100枚硬幣，他們決定進行一場公平的賭博。例如擲硬幣，這樣他們輸贏的比率是50:50，籌碼不會被賭場抽頭，也不會有其他的減少。擲硬幣時，每人下注50，這意味著在賭博結(jié)束時他們最終有150枚硬幣和有50枚硬幣的機會是相同的。伯努利的效用理論揭示了一種不對稱，它可以解