專題01有理數(shù)（原卷版）-1

專題01有理數(shù)核心考點聚焦1、認識正、負數(shù)；了解正反意義的量；結合實際理解正負數(shù)的應用；2、了解“0”的意義；學會對有理數(shù)與無理數(shù)進行分類；3、學會用數(shù)軸表示有理數(shù)并比較大??；了解數(shù)軸之間點的距離，并探究動點問題；4、認識絕對值與相反數(shù)，運用絕對值的性質(zhì)化簡絕對值；利用相反數(shù)與絕對值的定義比較有理數(shù)大??；5、熟練計算有理數(shù)加減乘除四則運算，熟練計算含乘方的有理數(shù)混合運算；6、認識倒數(shù)的意義，學會科學記數(shù)法的寫法，讀懂算法程序。一、有理數(shù)與無理數(shù)1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)分類：注：（1）用正數(shù)、負數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點表示正數(shù)與負數(shù)的界點0非正非負，是一個中性數(shù)2．無理數(shù)：叫做無理數(shù)．注：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限．無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式．（2）目前常見的無理數(shù)有兩種形式：①．②，如：1．313113111……（相鄰兩個3之間1的個數(shù)逐漸增加）．3.數(shù)軸：規(guī)定了、和的直線．注：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應的數(shù)總比左邊的點所對應的數(shù)大．4．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．注：（1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．（2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結果為負．5．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．數(shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是．二、有理數(shù)的運算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即ab=a+(b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．注：“奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律:①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac三、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）；（2）：正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。?3)．（4）；（5)．四、科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學記數(shù)法．例如：200000=．考點剖析例1：若元表示盈利500元，那么元表示（）A．收入500元 B．盈利200元 C．虧損200元 D．支出200元變式11：某種零件，標明要求是（φ表示直徑，單位：毫米），經(jīng)檢查，一個零件的直徑是，該零件（填“合格”或“不合格”）．變式12：近幾年，全球的新能源汽車發(fā)展迅猛，尤其對于我國來說，新能源汽車產(chǎn)銷量都大幅度增加．小明家新?lián)Q了一輛新能源純電汽車，他連續(xù)7天記錄了每天行駛的路程（如表）．以為標準，多于的記為“＋”，不足的記為“－”，剛好的記為“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）(1)請求出小明家的新能源汽車這7天一共行駛了多少千米？(2)已知汽油車每行駛需用汽油升，汽油價為元/升，而新能源汽車每行駛耗電量為15度，每度電為元，小明家換成新能源汽車后這7天的行駛費用比原來節(jié)省多少錢？例2：在下列數(shù)中：，，，，中，有理數(shù)的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式21：在，，，，，，，這些數(shù)中，負分數(shù)有個．變式22：把下列各數(shù)的序號分別填在表示它所在的集合里：①，②0，③，④，⑤（每相應兩個2之間3的個數(shù)逐次增加1），⑥，⑦，⑧分數(shù)集合：{___________________…}；無理數(shù)集合：{____________________…}；非正數(shù)集合：{______________________…}．例3：已知實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．變式31：在數(shù)軸上，如果點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為1，一個小球從點A出發(fā)，沿著數(shù)軸先向左移動7個單位長度，再向右移動4個單位長度，此時小球到達點C處，則點A到點C的距離與點B到點C之間的距離之和為．變式32：已知數(shù)軸上A，B，C三點對應的數(shù)分別為、3、5，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為x．點A與點P之間的距離表示為，點B與點P之間的距離表示為．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若點P從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度向右運動，點A以每秒1個單位的速度向左運動，點B以每秒2個單位的速度向右運動，三點同時出發(fā)．設運動時間為t秒，試判斷：的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個定值，若變化，請說明理由．例4：已知，，是三角形的三邊長，化簡：的值為（）A． B． C． D．變式41：如果，則的值為．變式42：已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，且．

(1)_______0，_______0，______0（請用“”或“”填空）；(2)化簡：．例5：某商店出售的三種規(guī)格的面粉袋上寫著（）千克．（）千克，（）千克的字樣，每種規(guī)格若干袋，從中任意拿兩袋，它們質(zhì)量相差最大的是（

）A． B． C． D．變式51：如圖，小明在寫作業(yè)時不慎將兩滴墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中數(shù)值，可以確定墨跡蓋住的所有整數(shù)的和是．變式52：閱讀下面的解題過程，并用解題過程中的解題方法解決問題．計算：．解：原式，，，，以上解題方法叫做拆項法．拆項法常用在帶分數(shù)中，將帶分數(shù)轉化為整數(shù)與真分數(shù)的和，再將所有的真整數(shù)和所有的真分數(shù)分別相加，從而達到簡便運算的目的．仿照上面的方法，計算：(1)；(2)．例6：的倒數(shù)的相反數(shù)是（

） B． C．2023 D．變式61：在有理數(shù)的原有運算法則中我們定義一個新運算“★”如下：時，；時，．則當時，代數(shù)式的值為．變式62：計算(1)；(2)(3)；(4)例7：據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測算，2023年中秋節(jié)、國慶節(jié)假期8天，國內(nèi)旅游出游人數(shù)8.26億人次，按可比口徑同比增長，按可比口徑較2019年增長，其中8.26億用科學記數(shù)法表示為（

）A． B．C． D．變式71：已知x、y互為倒數(shù)，m、n互為相反數(shù)，，則．變式72：在上個月，我們學習了“有理數(shù)的乘方”運算，知道乘方的結果叫做“冪”，下面介紹一種有關“冪”的新運算，定義：與（，m、n都是正整數(shù)）叫做同底數(shù)冪，同底數(shù)冪除法記作．運算法則如下：當時，當時，當時，解決問題根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運算法則，回答下列問題：(1)填空：______，______；(2)如果，求出x的值；(3)如果，請直接寫出x的值．例8：如圖所示的運算程序中，若開始輸入的值為15，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結果為18，第2次輸出的結果為，則第2023次輸出的結果為（

）A．3 B．6 C．9 D．18變式81：定義一個新運算“★”如下：時，；時，．則當時，代數(shù)式的值為．變式82：計算：(1)(2)(3)(4)難點1：絕對值“1”和“1”的化簡在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用“分類討論”的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答問題．【提出問題】已知有理數(shù)，，滿足，求＋＋的值．【解決問題】解：由題意，得，，三個都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①當，，都為正數(shù)，即時，＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；②當，，中有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設，則＋＋＝＋＋．綜上所述，＋＋的值為3或．【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1)已知，是不為0的有理數(shù)，當時，＋＝；(2)已知，，是有理數(shù)，當時，求＋＋的值；(3)已知，，是有理數(shù)，，，求＋＋的值．難點2：絕對值的最值在數(shù)學問題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問題，借助數(shù)形結合的方法使復雜問題簡單化．材料一：我們知道|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離；|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點之間的距離；|a+b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，﹣b的兩點之間的距離；根據(jù)絕對值的幾何意義，我們可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由絕對值的幾何意義知：在數(shù)軸上x表示的點到3的距離等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其絕對值的幾何意義為：在數(shù)軸上x表示的點到﹣2的距離等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．由|x﹣1|+|x+2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)1和﹣2兩點的距離的和，要使和最小，則表示數(shù)x的這點必在﹣2和1之間（包括這兩個端點）取值．∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把數(shù)軸上表示x的點記為點P，由絕對值的幾何意義知：當﹣2≤x≤1時，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，則點P必在﹣2的左邊或1的右邊，且到表示數(shù)﹣2或1的點的距離均為0.5個單位．故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解為：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．閱讀以上材料，解決以下問題：（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值為；（2）已知有理數(shù)x滿足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理數(shù)y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．（3）試找到符合條件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此時的最小值及x的取值范圍．難點3：絕對值方程閱讀下列材料：我們知道，的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對應的點與原點的距離：，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對應點之間的距離．這個結論可以推廣為：表示在數(shù)軸上數(shù)，對應點之間的距離．如：數(shù)軸上數(shù)2，5對應點之間的距離為；數(shù)軸上數(shù)2，對應點之間的距離為；又如：已知，求的值．意為：數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對應點之間的距離為2，觀察數(shù)軸可知的值為或3．請運用上述的幾何方法解決下列問題：(1)若，則________；(2)若，則________；(3)表示數(shù)軸上數(shù)________與________對應點之間的距離；(4)若，則________；(5)若，則滿足條件的所有整數(shù)為________________；(6)若，則的取值范圍為________________________．難點4：數(shù)軸動點定義：數(shù)軸上A、B兩點的距離為a個單位記作，根據(jù)定義完成下列各題．兩個長方形和的寬都是3個單位長度，長方形的長是6個單位長度，長方形的長是10個單位長度，其中點A、D、E、H在數(shù)軸上（如圖），點E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，且E、D兩點之間的距離為14，原點記為0．(1)求數(shù)軸上點H、A所表示的數(shù)？(2)若長方形以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動，數(shù)軸上有M、N兩點，其中點M在A、D兩點之間，且，其中點N在E、H兩點之間，且，設運動時間為x秒．①經(jīng)過x秒后，M點表示的數(shù)是，N點表示的數(shù)是（用含x的式子表示，結果需化簡）．②求（用含x的式子表示，結果需化簡）．(3)若長方形以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動，長方形固定不動，設長方形運動的時間為秒，兩個長方形重疊部分的面積為S，當時，求此時t的值．難點5：數(shù)列求和閱讀材料：求的值.解：設將等式兩邊同時乘以2，得將下式減去上式，得即請你仿照此法計算：（1）（2）真題感知1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）下列數(shù)中，屬于負數(shù)的是（

）A．2023 B． C． D．02．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）健康成年人的心臟每分鐘流過的血液約．數(shù)據(jù)4900用科學記數(shù)法表示為（

）．A． B． C． D．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上點分別對應實數(shù)，下列各式的值最小的是（

）

A． B． C． D．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，輸入數(shù)值1921，按所示的程序運算（完成一個方框內(nèi)的運算后，把結果輸入下