專題26直線與圓的位置關(guān)系（全章直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題2.6直線與圓的位置關(guān)系（全章直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）在中，，下列說法錯誤的是（）A． B．C．內(nèi)切圓的半徑 D．當(dāng)時，是直角三角形2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點為．若，則的值是（

）

A． B． C． D．3．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。哞F列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為，曲線終點為，過點的兩條切線相交于點，列車在從到行駛的過程中轉(zhuǎn)角為．若圓曲線的半徑，則這段圓曲線的長為（

）．

A． B． C． D．4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以，為圓心，大于的定長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，作，垂足為，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．一定經(jīng)過的內(nèi)心5．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點，與相交于點，連接．若，，則的長是（）

A． B． C． D．6．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．98．（2022·寧夏·中考真題）把量角器和含角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度處，短直角邊過量角器外沿刻度處（即，）．則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．9．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．10．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，已知三角形為直角三角形，，BC為切線，為切點，為直徑，則和面積之比為（

） B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，是的切線，點是切點，連接交于點，連接，若，則度．12．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的半徑，是的弦，于點D，是的切線，交的延長線于點E．若，，則線段的長為．

13．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點．連接，過點的切線與的延長線交于點．若，則°．

14．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點A，交于點B，點C在上，且．若，，則的長為．15．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則．

16．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E為邊上一點，以為直徑的半圓O與相切于點D，連接，．P是邊上的動點，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．

17．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點為的直徑，點在函數(shù)的圖象上，為軸上一點，的面積為6，則的值為．

18．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點（不含端點），將沿直線對折，得到．當(dāng)射線交線段于點P時，連接，則的面積為；的最大值為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，O為邊上一點，連結(jié)，以為半徑的半圓與邊相切于點D，交邊于點E．

（1）求證：；（2）若，，①求半圓的半徑；②求圖中陰影部分的面積．20．（8分）（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是上（異于點，）的一點，恰好經(jīng)過點，，于點，且平分．

（1）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的半徑長．21．（10分）（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形沿對角線翻折，的對應(yīng)點為點，以矩形的頂點為圓心、為半徑畫圓，與相切于點，延長交于點，連接交于點．

（1）求證：．（2）當(dāng)，時，求的長．22．（10分）（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長到點D．使得，點E在的延長線上，點在線段上，交于N，交于G．

（1）求證：是的切線；（2）若，求的長；（3）若，求證：．23．（10分）（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點，直線與相切于點．（1）如圖1，若，且，求證：平分；（2）如圖2，連接，若，求證：．24．（12分）（2022·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，是的直徑，是的切線，點在的延長線上，，交于點，（1）求證：；（2）求證：；（3）若的面積，求四邊形的面積．參考答案：1．C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．解：∵，∴即，故A說法正確；當(dāng)時，，若以為底，高，∴，故B說法正確；設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，∵，∴，，∵，∴，∴，故C說法錯誤；當(dāng)時，，∴是直角三角形，故D說法正確；故選：C．【點撥】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】作延長線于點，連接，根據(jù)圓的基本性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，分別利用勾股定理求解在和，最終得到，即可根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．解：如圖所示，作延長線于點，連接，

∵，，∴，∴四邊形為矩形，，，∴為的切線，由題意，為的切線，∴，，∵，∴設(shè)，，，則，，在中，，在中，，∵，∴，解得：或（不合題意，舍去），∴，∴，∴，故選：B．【點撥】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及正弦函數(shù)的定義等，綜合性較強(qiáng)，熟練運用圓的相關(guān)性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等是解題關(guān)鍵．3．B【分析】由轉(zhuǎn)角為可得，由切線的性質(zhì)可得，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得，然后根據(jù)弧長公式計算即可．解：如圖：

∵，∴，∵過點的兩條切線相交于點，∴,∴,∴．故選B．【點撥】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、弧長公式等知識點，根據(jù)題意求得是解答本題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)作圖可得是的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，即可判斷B，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可判斷A，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義，即可判斷D選項，假設(shè)成立，得出，即可判斷C選項．解：根據(jù)作圖可得是的角平分線，點在上，，∴，故B選項正確，在中，，∴，∴，故A選項正確；∵是的角平分線，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點，∴一定經(jīng)過的內(nèi)心，故D選項正確；若，則，，又，則，∴，而題目沒有給出這個條件，故C選項不一定正確，故選：C．【點撥】本題考查了作角平分線，三角形角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的內(nèi)心的定義，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】連接，，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，，證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出．解：如圖所示，連接，，

∵，，，∴，∵以為直徑的半圓與相切于點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴解得．故選：B．【點撥】此題考查了圓與三角形綜合題，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．6．B【分析】連接，先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得．解：如圖，連接，

直線與相切，，，，，，，故選：B．【點撥】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．B【分析】過點作，根據(jù)切線長定理設(shè)，進(jìn)而結(jié)合已知條件表示出，求得的長，進(jìn)而即可求解．解：如圖，過點作，∵是的內(nèi)心，∴，設(shè)，∵BD＝10，∴，∴,，∵，∴，解得，∴，故選B．【點撥】本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，切線長定理，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】先求出∠COF，進(jìn)而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，進(jìn)而求出BE，最后用三角形的面積減去扇形的面積，即可求出答案．解：在中，，∴，，，連接，則，∵外圓弧與斜邊相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，，故選：C．【點撥】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長，勾股定理求得的長，進(jìn)而根據(jù)即可求解．解：如圖，連接,，

邊長為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點和點，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點撥】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行計算即可．解：如圖取中點O，連接．∵是圓O的直徑．∴．∵與圓O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵點O是的中點．∴．∴．∴故答案是：1：2．故選：B．【點撥】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提．11．100【分析】由切線的性質(zhì)可得，則，通過計算可得，再由圓周角定理即可得到答案．解：為的直徑，是的切線，，，，，，故答案為：100．【點撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)，得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即，根據(jù)，，得出為等腰直角三角形，即可得出．解：∵，∴，．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切線，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，得出．13．66【分析】連接，則有，然后可得，則，進(jìn)而問題可求解．解：連接，如圖所示：

∵是的直徑，且是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：66．【點撥】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．【分析】連接，證明，設(shè)，則，再證明，列出比例式計算即可．解：如圖，連接，∵與相切于點A，∴；∵,∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∴，解得，故的長為，故答案為：．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．/度【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，∵是的內(nèi)切圓，∴分別是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵與分別相切于點，，∴，又∵，∴是的垂直平分線，∴，即，∴，故答案為：．

【點撥】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．或【分析】連接，勾股定理求出半徑，平行線分線段成比例，求出的長，勾股定理求出和的長，分和兩種情況進(jìn)行求解即可．解：連接，

∵以為直徑的半圓O與相切于點D，∴，，∴設(shè)，則，在中：，即：，解得：，∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵為等腰三角形，當(dāng)時，，當(dāng)時，∵，∴點與點重合，∴，

不存在的情況；綜上：的長為或．故答案為：或．【點撥】本題考查切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的定義．熟練掌握切線的性質(zhì)，等腰三角形的定義，確定點的位置，是解題的關(guān)鍵．17．24【分析】設(shè)，則，則，根據(jù)三角形的面積公式得出，列出方程求解即可．解：設(shè)，∵與軸相切于點，∴軸，∴，則點D到的距離為a，∵為的直徑，∴，∴，解得：，故答案為：．【點撥】本題主要考查了切線的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵掌握切線的定義：經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．18．【分析】（1）根據(jù)等底等高的三角形和矩形面積關(guān)系分析求解；（2）結(jié)合勾股定理分析可得，當(dāng)最大時，即最大，通過分析點N的運動軌跡，結(jié)合勾股定理確定的最值，從而求得的最大值．解：由題意可得的面積等于矩形的一半，∴的面積為，在中，，∴當(dāng)最大時，即最大，由題意可得點N是在以D為圓心4為半徑的圓上運動，當(dāng)射線與圓相切時，最大，此時C、N、M三點共線，如圖：

由題意可得：，，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∴，在中，，故答案為：，．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，分析點的運動軌跡，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．19．（1）證明過程見分析；（2）①2；②【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得出，證明，再由全等三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）①證出，再由直角三角形的性質(zhì)即可求解；②由勾股定理求出，，由三角形面積公式和扇形的面積公式求解即可．解：（1）證明：如圖，連接，∵是的切線，點D為切點，∴，∵，，，∴，∴；

（2）解：①∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴半圓O的半徑為2；②在中，，，∴，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、銳角三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）的半徑長為．【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．解：（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵過半徑的外端點B，∴與相切；（2）解：設(shè)，則，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半徑長為．【點撥】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得，則，由矩形的性質(zhì)得，再由直角三角形兩銳角互余得，根據(jù)對頂角相等和同圓的半徑相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角對等邊得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)得，，得，由翻折得，由得，再由矩形對邊相等得，最后在中解直角三角形即可得出結(jié)論．解：（1）證明：如圖，連接．

∵與相切于點E，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）解：在中，，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，由翻折可知，，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴．【點撥】本題是四邊形與圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、翻折的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，正確作出輔助線，巧用解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．22．（1）證明見分析；（2）；（3）證明見分析【分析】（1）由是的直徑得到，則，由得到，則，結(jié)論得證；（2）證明，則，可得，解得或3，由即可得