專題273相似（全章分層練習）（提升練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（人教版）

專題27.3相似（全章分層練習）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023上·安徽合肥·九年級?？计谥校┤?，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023上·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，，直線，與、、分別相交于、、和點、、．若，，則的長是（）A． B． C． D．3．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D所示，點是線段的黃金分割點，下列結論中錯誤的是（

）．

A． B．C． D．4．（2023上·北京石景山·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，E，F(xiàn)分別是，上的點，若，則一定有（

）．A． B． C． D．5．（2023上·陜西榆林·九年級?？计谥校┧倪呅问且粡埦匦渭埰?，將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；使邊落在邊上，點落在點處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則矩形的面積為（）A． B． C． D．6．（2023上·四川內江·九年級?？计谥校┤鐖D，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（）

A． B．C． D．7．（2023上·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期中）如圖矩形中，點E是邊的中點，交對角線于點F，若的面積為2，則的面積等于（

）

A．8 B．4 C．2 D．18．（2023上·湖南岳陽·九年級岳陽市弘毅新華中學?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A的坐標為，若以原點O為位似中心，相似比為，把放大，則點A的對應點的坐標是（

）

A．B．或C． D．或9．（2021上·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，，，點E在BC邊上，，垂足為F．若，則線段EF的長為（

）．A．2 B．2.5 C．4 D．310．（2018·全國·九年級專題練習）如圖，在中，點是和兩個內角平分線的交點，過點作分別交，于點，，已知的周長為8，，的周長為，則表示與的函數(shù)圖象大致是（

）A．B．C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022上·浙江溫州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，若是與的比例中項，，求12．（2023上·四川成都·九年級雙流中學?？计谥校┤鐖D，在矩形中，對角線與相交于點O，E為上一點，，若E為中點，且，則的長為．

13．（2023下·九年級課時練習）如圖，不等長的兩條對角線相交于點，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個三角形．若，則甲、乙、丙、丁這4個三角形中，一定相似的有．14．（2022上·九年級單元測試）如圖，已知P是邊長為5的正方形內一點，且，于，若在射線上找一點M，使以點B，M，C為頂點的三角形一定與相似，則的值為．

15．（2023上·四川成都·九年級成都市樹德實驗中學?？计谥校┤鐖D，在，，．按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑作圓弧，分別交邊，于點，；②分別以點和點為圓心，大于一半的長為半徑作圓弧，在內，兩弧交于點；③作射線交邊于點．若，則．16．（2023上·上海長寧·九年級上海市婁山中學?？计谥校┰诿總€小正方形的邊長都為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與相似的格點三角形中，最大的三角形面積是．

17．（2021·黑龍江·統(tǒng)考二模）如圖，已知等腰三角形于點為邊中線，相交于點．在從減小到的過程中，點經(jīng)過的路徑長為．18．（2020上·九年級課時練習）將兩塊全等的三角板如圖放置，點O為AB中點，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，現(xiàn)將三角板A′B′C′繞點O旋轉，B′C′、A′B′與邊AC分別交于點M、N，當CM=時，△OMN與△BCO相似．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，點、分別在的邊、上，且．（1）求證：．（2）如果，，，求的長．20．（8分）（2023上·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點，且，連接，交于點（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若點P恰好落在以為直徑的圓上，求的值．21．（10分）（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，直線與x軸、y軸分別交于點C、點D，與相交于點E，線段、的長是一元二次方程的兩根，，．

（1）求線段、的長；（2）求點E的坐標；（3）在x軸上是否存在點P，使點C、點E、點Р為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點P的坐標；如不存在，請說明理由．22．（10分）（2021·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，點D、E分別在邊AC、AB上，AD＝DE＝AB，連接DE．將△ADE繞點A順時針方向旋轉，記旋轉角為θ．（1）[問題發(fā)現(xiàn)]①當θ＝0°時，＝；②當θ＝180°時，＝；（2）[拓展研究]試判斷：當0°≤θ＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）[問題解決]在旋轉過程中，BE的最大值為．23．（10分）（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）某校社會實踐小組為了測量花叢中路燈的高度，在地面上處垂直于地面豎立了高度為的標桿，這時地面上的點，標桿的頂端點，路燈的頂端點正好在同一直線上，測得，將標桿向后平移到達點處，這時地面上的點，標桿的頂端點，路燈的頂端點正好在同一直線上，這時測得，

（1）求證：；（2）請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算花叢中路燈的高度．24．（12分）（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期中）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當兩條直線與一組平行線相交時，所截得的線段存在一定的比例關系：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．（簡稱“平行線分線段成比例”）

【問題原型】如圖①，在矩形中，點E為邊的中點，，點P、Q分別在矩形的邊上，連結交于點M．求證：．

【結論應用】如圖②，在【問題原型】的基礎上，點R在邊上（不與點Q重合）（1）若，則線段的長為；（2）當點Q與點B重合，點R與點C重合時，如圖③，，，連結，則周長最小值為．參考答案：1．C【分析】本題考查了分式的性質，代數(shù)式求值．熟練掌握：分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變；是解題的關鍵．根據(jù)，計算求解即可．解：∵，∴，故選：C．2．A【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)三條平行線截兩條直線所對應線段成比例，解題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理的應用．解：∵，∴，即，∴，∴，故選：．3．B【分析】本題考查了黃金分割，掌握黃金分割的定義是解題關鍵．解：設為整體，的長為，則，根據(jù)黃金分割定義，得，所以選項正確，不符合題意；∵，∴，所以選項錯誤，符合題意；∵，∴，整理，得，解得，（不符合題意，舍去），∴，所以選項正確，不符合題意；，所以選項正確，不符合題意；故選：．4．C【分析】先根據(jù)矩形的性質可得，再根據(jù)直角三角形的性質可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得出答案．解：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，選項C正確；與、與、與都是只有一對相等的直角，所以都不是相似三角形，故選：C．【點撥】本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定等知識點，熟練掌握相似三角形的判定是解題關鍵．5．B【分析】先根據(jù)折疊的性質與矩形性質，求得，設的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質得出，即，求得，進而根據(jù)矩形的面積等于矩形的面積減去2個正方形的面積，即可求解．解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負值不符合題意，舍去）∴，∴矩形的面積為故選：B．【點撥】本題考查矩形的折疊問題，相似多邊形的性質，熟練掌握矩形的性質和相似多邊形的性質是解題的關鍵．6．D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．先根據(jù)求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．解：∵，∴，A、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；B、添加，可用兩角法判定，故本選項不符合題意；C、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項不符合題意；D、添加，不能判定，故本選項符合題意；故選：D．7．A【分析】根據(jù)矩形的性質得出，求出，求出，根據(jù)相似三角形的性質即可解決問題．本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質和判定的應用，能推出△AFE∽△CFB是解此題的關鍵，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．解：∵四邊形是矩形，∴，∵點E是邊的中點，∴，∵，∴，∴．∵的面積為2，∴的面積為8故選：A．8．D【分析】本題考查的是位似變換的性質，根據(jù)位似變換的性質計算即可．本題的關鍵是理解并能靈活運用位似變換的性質：“在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．”解：以原點O為位似中心，相似比為4：1，把放大，，點A的對應點的坐標是或，即或．故選：D．9．D【分析】證明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，從而可得EF．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF=6，∴，∴，∴AE=5，∴EF=AFAE=85=3．故選：D．【點撥】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法．10．A【分析】由三角形的角平分線的性質和平行線的性質證出BE=OE，CF=OF，得出△AEF的周長y與x的關系式為y=8x，求出0＜x＜4，即可得出答案．解：∵點是和兩個內角平分線的交點，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠FOC，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周長y=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AB+AC，∵△ABC的周長為8，BC=x，∴AB+AC=8x，∴y=8x，∵AB+AC＞BC，∴y＞x，∴8x＞x，∴0＜x＜4，即y與x的函數(shù)關系式為y=8x（x＜4），故選：A．【點撥】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象、角平分線的有關證明、平行線的性質、等腰三角形的判定、三角形的周長等知識，求出y與x的關系式是解決問題的關鍵．11．/【分析】由，求得，是與的比例中項，解一元二次方程即可求得，解：∵，∴，∵是與的比例中項，∴，即，解得：，∴故答案為：【點撥】本題考查了比例中項和公式法解一元二次方程，熟練掌握比例中項是解決問題的關鍵12．【分析】由平行線分線段成比例易得出點F為中點，再由直角三角形斜邊中線的性質得出，又可求出，即說明為等邊三角形，得出，從而得出，最后根據(jù)三角形中位線的性質求解即可．解：∵，∴．∵在矩形中，對角線與相交于點O，∴點O為中點，∴點F為中點．∵四邊形為矩形，∴，∴．∵，∴，∴為等邊三角形，∴．∵E為中點，∴．∵點O為中點，點F為中點，∴．故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質，平行線分線段成比例，直角三角形斜邊中線的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形中位線定理．熟練掌握上述知識是解題關鍵．13．乙和丁解：．【易錯點分析】容易誤認為，條件中，是，是，不是兩個三角形的對應邊成比例，所以不能判定．14．3或【分析】由于，同時減去后可得到，若以點，，為頂點的三角形與相似，那么必有：或，可據(jù)此求得的值．解：四邊形是正方形，；又，；若以點，，為頂點的三角形與相似，則：①如圖1中，，即，解得；②如圖2中，，即，解得．綜上所述，滿足條件的的值為3或．故答案為：3或．

【點撥】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，應注意相似三角形的對應頂點不明確時，要分類討論，不要漏解．15．【分析】先判斷，再證明，再結合三角形的內角和定理可得，再根據(jù)含角的直角三角形的性質即可作答．解：由題意可得：，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴，故答案為：．【點撥】本題考查的是角平分線的作圖，相似三角形的性質,含角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，熟悉角平分線的作圖步驟與相似三角形的對應角相等是解本題的關鍵．16．4【分析】本題考查相似三角形的性質．根據(jù)相似三角形的性質，相似三角形中，最大的三角形的長邊等于，畫出這個相似三角形即可解決問題．解：圖中所有與相似的格點三角形中，最大的如圖所示：

．故答案為：4．17．【分析】過點A作AEOB，且AE=OB，連接BE、CE，根據(jù)菱形的性質證明△APE∽△DPO，再得到DP=AD，根據(jù)D為定點，P隨A運動而運動，從減小到的過程可知點P經(jīng)過的路程為點A運動路程的，故可求解．解：過點A作AEOB，且AE=OB，連接BE、CE∵AEOB，AE=OB，∴四邊形AOBE是平行四邊形∵OA=OB∴四邊形AOBE是菱形∴AB⊥OE，∴O、P、C、E四點共線，∵AEOB∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP∴△APE∽△DPO∴∵D點是OB中點∴OD=OB=AE∴=2∴DP=AD∵D為定點，P隨A運動而運動，從減小到的過程∴點P經(jīng)過的路程為點A運動路程的∵OA=6∴點A運動路程為∴點經(jīng)過的路徑長為故答案為：．【點撥】此題主要考查弧長公式的運用，解題的關鍵是根據(jù)題意找到點P的運動路徑與點A的運動路徑的關系．18．或【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性質得出∠B=∠MON．△OMN與△BCO相似，分兩種情況：①當OM=MN時，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，則AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面積求出CE，由相似三角形的性質得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣；②當ON=MN時，由△OMN∽△BCO，得出=，求出OM，與勾股定理求出DM，即可得出CM的長．解：∵∠ACB=90°，點O為AB中點，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN與△BCO相似，分兩種情況：①當OM=MN時，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如圖所示：則AD=CD=AC=4，△ABC的面積=AB?CE=AC?BC，∴OD==3，CE=，∵△OMN∽△BOC，∴，即，∴OM=MN=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；②當ON=MN時，∵△OMN∽△BCO，∴=，即，解得：OM=，∴DM=，∴CM=CD﹣DM=4﹣；綜上所述：當CM=或時，△OMN與△BCO相似．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質、旋轉的性質、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質等知識；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵．19．（1）見分析；（2）3【分析】本題考查相似三角形的判定和性質．（1）根據(jù)兩角對應相等兩三角形相似即可證明．（2）利用相似三角形的性質解決問題即可．解：（1）證明：，，，∵∴，，∴；（2）解：由（1）得，，，，，，，．．20．（1）見分析；（2）；（3）2【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質求出，，求出，根據(jù)推出全等即可；（2）過點作交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理得，則，即可得出；（3）由（1）知：，則，根據(jù)三角形外角的性質可得，，則，、、、四點共圓，由點恰好落在以為直徑的圓上，可得，則點也落在以為直徑的圓上，連接，則，，根據(jù)含角的直角三角形的性質可得，即可得．（1）解：證明：是等邊三角形，，，，，在與中，，；（2）過點作交于，，，設，，，，，，，的值；（3）連接，由（1）知：，，，，，、、、四點共圓，點恰好落在以為直徑的圓上，，點也落在以為直徑的圓上，，，連接，則，，，，．【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，圓的有關性質．21．（1），；（2）；（3）和【分析】（1）首先解方程求得方程的根，即可求得線段、的長；（2）根據(jù)三角函數(shù)求得的坐標，作軸于點，根據(jù)，利用相似三角形的性質求得和的長，即可求得的坐標；（3）設的坐標是，則．分成和兩種情況進行討論即可求解．（1）解：即，則，，解得：或，又，，．（2）解：，，則的坐標是．．∴，作軸于點，如圖，

則，，即，，則，則的坐標是．（3）解：設的坐標是，由，，∴，設直線的解析式是，則，解得：，則直線的解析式是；令，則，∴，∴，當時，如圖，

則，即，解得：，則的坐標是；當時，如圖，

，則，解得：，則的坐標是．總之，的坐標是和．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解一元二次方程，正確求得點的坐標是解決本題的關鍵．22．（1）①；②；（2）當0°≤θ＜360°時，的大小沒有變化；證明見分析；（3）4+2．【分析】（1）①利用等腰三角形的性質判斷出∠A=∠B，∠A=∠AED，進而得出∠B=∠DEA，得出DE∥BC，即可得出結論；②同①的方法，即可得出結論；（2）利用兩邊成比例，夾角相等，判斷出△ADC∽△AEB，即可得出結論；（3）判斷出點E在BA的延長線上時，BE最大，再求出AE，即可得出結論．解：（1）①在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AB＝AC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠A，∴∠DEA＝∠B，∴DE∥BC，∴，∴，故答案為：；②如圖，當θ＝180°時，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠B，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEA＝∠