專題06圓中定點定值問題四種考法

專題06圓中定點定值定直線問題四種考法目錄TOC\o"13"\h\z\u解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、圓中定點 2類型二、圓中定值 4類型三、圓中定直線 7類型四、圓中探索性、存在性問題 9壓軸能力測評（10題） 121.圓中定點1.證明直線過定點，一般情況下，通過題中條件，尋找直線y=kx+b中b=f（k）的函數(shù)關(guān)系，或者設(shè)參，求解出含參直線方程，再求解出含參直線所過的定點。2.證明定點，可以通過特殊化法先確定定點坐標，再證明定點適合題意。2.圓中定值1.證明圓中某些代數(shù)式為定值的策略依題意設(shè)出參數(shù)，利用幾何知識或相應(yīng)的代數(shù)知識得出與所證代數(shù)式有關(guān)的含參數(shù)（變量）的等式，代入所證代數(shù)式運算化簡，即可得出定值。2.常見的化簡運算技巧（1）在運算過程中，盡量減少所證代數(shù)式中的參數(shù)（變量）個數(shù)，以便于向定值靠攏；（2）巧妙利用變量間的關(guān)系，盡量做到整體代入簡化運算。3.圓中定直線尋求直線與參量取值無關(guān)的恒成立思想的考查。4.圓中探索性、存在性問題（1）解決存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.一般步驟如下：①假設(shè)滿足條件的曲線（直線或點等）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；②列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；③若方程（組）有實數(shù)解，則曲線（直線或點等）存在，否則不存在.（2）反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法。（3）求解含參數(shù)的存在性問題時，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程。類型一、圓中定點例．在平面直角坐標系xOy中，圓C：與圓：相切于點，且直線l：與圓C有公共點．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)點P為圓C上的動點，直線l分別與x軸和y軸交于點M，N，求證：存在定點B，使得；【答案】(1)(2)①證明見解析；②.【分析】本題考查圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，與圓有關(guān)的最值，（1）由兩圓的位置關(guān)系求圓C方程；（2）①由，直接法得，由點P為圓C上的動點得，求B點坐標；，在圓C外，在圓C內(nèi)，點P為線段BN與圓C的公共點時“”能成立．從而得直線方程．【詳解】(1)圓，即，所以圓心為，圓的半徑．由圓與圓相切于點

，得，，即解得或由直線l：與圓C有公共點，，所以所以圓C的方程為.(2)直線l分別與x軸和y軸交點，．設(shè)點，，則，由得，，即，由點P為圓C上的動點得，即故存在定點，使得．【變式訓(xùn)練1】已知點為直線上任意一點，為坐標原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點坐標.【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點，由得：，以為直徑的圓恒過定點.故選：D.【變式訓(xùn)練2】若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為_______【答案】【分析】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，根據(jù)題意設(shè)圓心為，求出，寫出圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，即可得出圓所過定點的坐標.【詳解】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標為.故答案為：.類型二、圓中定值例．已知直線與圓.(1)求證：直線l過定點，并求出此定點坐標；(2)設(shè)O為坐標原點，若直線l與圓C交于M，N兩點，且直線OM，ON的斜率分別為，，則是否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由．【答案】(1)證明見解析，定點(2)是定值，定值為【分析】（1）由已知可得根據(jù)過定點的直線系方程計算方法可得l恒過定點（2）設(shè)出直線的方程.聯(lián)立直線與圓的方程，利用韋達定理求解進而即可得結(jié)果.【詳解】（1）由直線得，聯(lián)立，解得，直線l恒過定點.（2）圓的圓心為，半徑為，直線過點，直線l與圓C交于M，N兩點，則直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，是定值，定值為【變式訓(xùn)練1】長為4的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，線段AB的中點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程，并說明其形狀；（2）過點作兩條直線分別與曲線C交于P、Q兩點，若直線MP，MQ的斜率之積為，線段PQ的中點為D，求證：存在定點E，使得為定值，并求出此定值．【答案】（1），是以坐標原點為圓心，2為半徑的圓；（2）證明見解析，此定值為．【分析】（1）利用幾何法直接求出軌跡方程，進而判斷出形狀；（2）設(shè)直線方程為與聯(lián)立求出，由的斜率為，同理求出.根據(jù)對稱性可知，判斷出過.由直角三角形的性質(zhì)判斷出為的中點為定值.【詳解】（1）∵，P為線段AB中點，∴，設(shè)，則，即.則曲線C是以坐標原點為圓心，2為半徑的圓；（2）根據(jù)題意，直線MP的斜率存在且不為0，MP設(shè)斜率為k，則直線方程為代入中，整理得，故，，即，因為直線，的斜率之積為，所以的斜率為，同理：.根據(jù)對稱性可知，直線所過定點在軸上，不妨令，得，此時，即過，則，所以過定點.連接，在圓O中，由垂徑定理可得：.當D、F不重合時，即，所以為直角三角形，取的中點，則．當D、F重合時，取的中點，則也成立．故存在定點E，使得為定值，此定值為．【變式訓(xùn)練2】已知圓C的圓心坐標為，且該圓經(jīng)過點.(1)求圓C的標準方程；(2)直線m交圓C于M，N兩點，若直線AM，AN的斜率之和為0，求證：直線m的斜率是定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見解析，；(3)證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓C的半徑即可作答.（2）設(shè)出直線AM，AN的方程，與圓C的方程聯(lián)立，求出點M，N的坐標，再用斜率坐標公式計算作答.【詳解】(1)依題意，圓C的半徑，所以圓C的標準方程是：.(2)設(shè)直線方程為：，由消去y并整理得：，則有點，而直線：，同理，于是得直線的斜率，所以直線m的斜率是定值，該定值為.類型三、圓中定直線例．已知圓C過原點，圓心C是直線與直線的交點.(1)求圓C的標準方程；(2)若圓C與y軸交于A?B兩點（A在B上方），直線與圓C交于M?N兩點，直線，相交于T.請問點T是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）首先求出兩直線的交點坐標，即可得到圓心坐標，再根據(jù)圓過原點求出半徑，即可得到圓的方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，由直線的方程為，直線的方程為，即可得到，從而求出定直線方程；【詳解】(1)解：由，得，所以圓心.又因為圓C過原點，所以，所以圓C的標準方程為：.(2)解：設(shè)，，由（1）可知，，.聯(lián)立方程組，消去y并化簡得，所以，.直線的方程為①直線的方程為②由①②知，由，化簡得，故點T在定直線上.【變式訓(xùn)練1】已知圓C經(jīng)過兩點，圓心在直線上.(1)求圓C的標準方程；(2)若圓C與y軸相交于A，B兩點（A在B上方）.直線與圓C交于M，N兩點，直線，相交于點T.請問點T是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）由已知設(shè)出圓心，再由圓心到的距離都為半徑列出方程解出答案即可；（2）聯(lián)立直線與圓的方程并化簡，然后求出直線和的方程，進而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到答案.(1)依題意可設(shè)圓心，則半徑，解，，故，即圓C的標準方程為.(2)設(shè)，由（1）可知，，聯(lián)立方程組，消去x并化簡得，容易判斷直線所過定點（0,1）在圓內(nèi)，即直線與圓一定有兩個交點，所以，直線的方程為…①，直線的方程為…②，由①②可得：，由，化簡得，故點T在定直線上.【變式訓(xùn)練2】已知直線，圓.(1)證明：直線l與圓C相交；(2)設(shè)l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設(shè)圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)點Q恒在直線上，理由見解析.【分析】（1）求出直線過定點，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓的方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.(1)證明：直線過定點，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；(2)圓的圓心為，設(shè)點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：(3)設(shè)點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當m變化時，點Q恒在直線上.類型四、圓中探索性、存在性問題例．（2022·江蘇·南京二十七中高二開學(xué)考試）已知圓過點，且與直線相切于點．(1)求圓的方程；(2)過點的直線與圓交于兩點，若為直角三角形，求直線的方程；(3)在直線上是否存在一點，過點向圓引兩切線，切點為，使為正三角形，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在點或，使為正三角形【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)圓心和切點連線與切線垂直、圓心到圓上兩點的距離相等可構(gòu)造方程組求得圓心坐標，進而得到半徑，由此可得圓的方程；（2）由等腰直角三角形性質(zhì)可知圓心到直線的距離；分別在直線斜率不存在和存在的情況下，根據(jù)構(gòu)造方程求得結(jié)果；（3）由等邊三角形性質(zhì)可知，設(shè)，利用兩點間距離公式可構(gòu)造方程求得，進而得到點坐標.【詳解】（1）設(shè)圓心坐標為，則，解得：，圓的半徑，圓的方程為：.（2）為直角三角形，，，則圓心到直線的距離；當直線斜率不存在，即時，滿足圓心到直線的距離；當直線斜率存在時，可設(shè)，即，，解得：，，即；綜上所述：直線的方程為或.（3）假設(shè)在直線存在點，使為正三角形，，，設(shè)，，解得：或，存在點或，使為正三角形.【變式訓(xùn)練1】已知圓C與y軸相切，圓心C在射線上，且截直線所得弦長為．（1）求圓C方程；（2）已知點，直線與圓C交于A、B兩點，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析．【分析】（1）設(shè)圓C的方程為，圓C與y軸相切，則，圓心C在射線上，所以，根據(jù)弦長公式得，解方程組即可得結(jié)果；（2）依題意得在線段的中垂線上，則，根據(jù)斜率關(guān)系即可求出參數(shù)值．【詳解】（1）設(shè)圓C的方程為圓心C在射線上，所以圓C與y軸相切，則點到直線的距離，由于截直線所得弦長為，所以則得，又所以(舍去)，故圓C的方程為；（2）假設(shè)m存在，由（1）得，因為，所以在線段的中垂線上，則，因為，所以解得；當時，直線方程為即，圓心到該直線的距離，該直線與圓相離，不合題意；所以不存在實數(shù)m滿足題干要求.【變式訓(xùn)練2】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓和點.(1)過作圓的切線，求切線的方程；(2)過作直線交圓于點，兩個不同的點，且不過圓心，再過點，分別作圓的切線，兩條切線交于點，求證：點在同一直線上，并求出該直線的方程；(3)已知，設(shè)為滿足方程的任意一點，過點向圓引切線，切點為，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點，使得為定值？若存在，請求出定點的坐標，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)和.(2)證明見解析，直線方程為.(3)存在，或.【分析】（1）討論斜率是否存在并設(shè)直線方程，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及點線距離公式求參數(shù)，進而寫出切線方程.（2）設(shè)，，由、可得、，即可知的方程，再由點在直線上即可證結(jié)論，并確定所在的直線.（3）若，由題設(shè)可知，假設(shè)存在使為定值，利用兩點距離公式、圓的切線性質(zhì)整理可得，要使多項式方程不受點位置影響，需使該多項式方程各項的系數(shù)為0，列方程求參數(shù)即可判斷的存在性.【詳解】(1)當斜率不存在時，顯然與圓相切；當斜率存在時，設(shè)切線為，由圓心到切線的距離為1，∴，解得，則，整理得.綜上，切線方程為和.(2)設(shè)，，∴由，則，即，又，故，同理，∴直線為，又在上，∴，故恒在直線上.(3)由題設(shè)，若則，整理可得，若存在，使為定值，而，，∴，整理得，∴，整理得，要使為定值，則，解得或.綜上，存在或，使為定值1．點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【解析】設(shè)點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標為、.故選：D.2．以下四個命題表述錯誤的是（）A.圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，為切點，則直線經(jīng)過點【答案】B【分析】選項A根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來確定所求點的個數(shù)；選項B根據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項C利用圓心與切點的連線垂直切線列等式，轉(zhuǎn)化為求圓心到直線上的點的距離的最小值問題；選項D，設(shè)點為直線上一點，求出切線的方程即可判斷．【詳解】解：選項A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個點到直線的距離都等于，故選項A正確；選項B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因為圓與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑，同時兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得，故B錯誤；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當且僅當與直線垂直時等號成立，所以的最小值為，故選項C正確；選項D：設(shè)點為直線上一點，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過定點，D正確．故選：B．3．（多選）設(shè)有一組圓Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命題正確的是 （）A.不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B.所有圓Ck均不經(jīng)過點（3，0）C.經(jīng)過點（2，2）的圓Ck有且只有一個D.所有圓的面積均為4π【答案】ABD【解析】圓心坐標為（k，k），在直線y＝x上，A正確；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0無實數(shù)根，B正確；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有兩不等實根，∴經(jīng)過點（2，2）的圓Ck有兩個，C錯誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確.故選：ABD.4．（多選）已知點在直線：上，過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則（）A.存在點，使得四邊形為菱形 B.四邊形的面積最小值為C.的外接圓恒過兩個定點 D.原點到直線的距離不超過【答案】BCD【分析】由到直線距離結(jié)合已知條件可判斷AB；由點共圓以及點求出直線，利用點到直線的距離可判斷CD【詳解】對于A：當四邊形為菱形時，，則，又到直線的距離為，所以不存在點，使得四邊形為菱形，故A錯誤；對于B：由A可知，，所以四邊形的面積，所以四邊形的面積最小值為，故B正確；對于C：設(shè)，由圖象可知四點在以為直徑的圓上，圓的方程為，即，令，解得或，所以的外接圓恒過兩個定點，故C正確；對于D：過的圓的方程為，由得直線的方程為：，則原點到直線的距離為，故D正確；故選：BCD.5．已知動圓經(jīng)過坐標原點，且圓心在直線上，動圓恒過一個異于點的定點________．【答案】，【解析】設(shè)定點坐標，，因為圓的方程為：所以，即，因為當為變量時，，卻能使該等式恒成立，所以只可能且即解方程組可得：，或者，（舍去）所以圓恒過一定點，.故答案為：，設(shè)有一組圓，存在定直線________始終與圓相切。【答案】【解析】存在直線，即或，圓心到直線或的距離，這兩條直線始終與圓相切，C正確，故答案為：7.已知直線與圓，設(shè)O為坐標原點，若直線l與圓C交于M，N兩點，且直線OM，ON的斜率分別為，，則=________．【答案】【解析】由直線得，聯(lián)立，解得，直線l恒過定點.圓的圓心為，半徑為，直線過點，直線l與圓C交于M，N兩點，則直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，是定值，定值為故答案為：8．已知圓C過坐標原點O和點，且圓心C在x軸上.(1)求圓C的方程：(2)設(shè)點.①過點M的直線l與圓C相交于P，Q兩點，求當?shù)拿娣e最大時直線l的方程；②若點T是圓C上任意一點，試問：在平面上是否存在點N，使得.若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)①或；②不存在，理由見解析.【分析】（1）設(shè)圓心，則，求出，進而得到圓的方程；（2）①利用三角形的面積結(jié)合基本不等式，可知的面積最大時，圓心到直線的距離為，設(shè)直線l方程，利用點到線的距離公式求解即可；②假設(shè)存在，由，結(jié)合點在圓上，可得到方程，利用待定系數(shù)法求解，即可判斷.【詳解】（1）因