專(zhuān)題262反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）（舉一反三）（人教版）

專(zhuān)題26.2反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)（二）【十大題型】【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性】 1【題型2反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 6【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問(wèn)題】 8【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】 11【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】 18【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】 24【題型7反比例函數(shù)的圖象與幾何變換問(wèn)題】 32【題型8與反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題】 42【題型9反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題】 50【題型10反比例函數(shù)中的規(guī)律問(wèn)題】 62【知識(shí)點(diǎn)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性】（1）中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心是坐標(biāo)原點(diǎn)（2）軸對(duì)稱(chēng)：對(duì)稱(chēng)軸為直線和直線【題型1反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性】【例1】（2023春·杭州九年級(jí)期末測(cè)試）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形的一組對(duì)邊與x軸平行，若正方形的邊長(zhǎng)是2，則圖中陰影部分的面積等于．

【答案】1【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx，由題意可得：P【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=由題意可得：P點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)，故圖中陰影部分的面積為：1×1=1．故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義，中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A3a,-a是反比例函數(shù)y=kx【答案】y【分析】首先根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得：14πr【詳解】解：設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性以及反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得：14解得：r=4∵點(diǎn)A3a,-a是反比例函∴-3a2∴a∴k則反比例函數(shù)的解析式是：y=-故答案為：y=-【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握和運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=kxk≠0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,2，B2,m．直線AO，BO分別交該雙曲線另一支于點(diǎn)C，D，順次連接AB，【答案】見(jiàn)解析【分析】將點(diǎn)A代入y=kxk≠0中求出k，再將點(diǎn)B代入y=2x中，求出點(diǎn)【詳解】解：將A1,2代入yk=2∴y=2x，將B∴m=22∴OA=12∴OA=由反比例函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可得：OA=OC，即OA=∴四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)性，矩形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求出OA和OB的長(zhǎng)，熟練運(yùn)用矩形的判定定理．【變式13】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線交反比例函數(shù)y=ax圖象于P、Q點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Р分別作x軸，y軸的垂線，交反比例函數(shù)y=bxx>0的圖象于A、B點(diǎn)，已知b-【答案】69【分析】連接OA，OB，延長(zhǎng)BP交x軸于點(diǎn)C，易求S△由P，Q關(guān)于與原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，得OP=OQ，利用等底同高的三角形的面積相等可得S△BPO＝S△BQO，易求S△BPQ＝2S△BOP＝3，同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3所以S陰影=6．設(shè)點(diǎn)C（m，0）m＞0．則P（m，【詳解】連接PQ，OA，OB，延長(zhǎng)BP交x軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，m＞0.則P（m，am），B（m，b∴OC=m，PC=am，BC=∴S△POC∴S∵P、Q關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，∴OP=OQ∴S∴S同理可得：S所以S設(shè)點(diǎn)C（m，0）m＞0．則P（m，am），A（m，bm），B（bma∴AP＝bm∵S△APB＝3，∴1∴a＝32∵b?a＝3，∴b＝92故答案為：6，92【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)，三角形的面積．利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【題型2反比例函數(shù)概念、性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例2】（2023春·湖南張家界·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知反比例函數(shù)y＝（2m+1）xm2-【答案】2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可知m2﹣5＝﹣1，又根據(jù)圖象所在象限可得2m+1＞0，解不等式即可求得m的取值范圍．【詳解】解：∵y=∴m2﹣5＝﹣1，解得：m＝2或m＝﹣2，∵反比例函數(shù)y=又2m+1＞0，解得：m＞-1∴m＝2．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義與圖象性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法，掌握反比例函數(shù)的定義以及圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，一元一次不等式解法是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知y是x的反比例函數(shù)，且函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A-(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，y=【答案】(1)y(2)x【分析】（1）設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=kx（2）將y=23【詳解】（1）解：設(shè)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=將A-3,8代入8=k-3∴y=-（2）將y=2323=-24【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)，掌握反比例函數(shù)相關(guān)知識(shí)并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若反比例函數(shù)y=(2m-1)xm2【答案】-【分析】讓未知數(shù)的指數(shù)為1，系數(shù)小于0列式求值即可．【詳解】∵是反比例函數(shù)，∴m22=1，解得m=1或1，∵圖象在第二、四象限，∴2m1＜0，解得m＜0.5，∴m=1，故答案為1．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)：一般形式為y＝kx（k≠0）或y=kx1（k≠0）；圖象在二、四象限，比例系數(shù)小于0【變式23】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？计谥校┓幢群瘮?shù)y1（1）求m的值；（2）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y的取值范圍是；（3）當(dāng)直線y2＝﹣x與雙曲線y1=(m+1)x3-m2交于A、B兩點(diǎn)（A在【答案】（1）2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義以及性質(zhì)，即可得到m的值；（2）直接根據(jù)反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行解答即可．（3）解析式聯(lián)立求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B的坐標(biāo)，然后觀察函數(shù)圖象求解．【詳解】解：（1）反比函數(shù)y1∴m+1<0且解得m=-2（2）由（1）可知反比例函數(shù)為y=-∵由反比例函數(shù)的圖象可知，當(dāng)-1<x<0∴當(dāng)-1<x<0∵當(dāng)x>0∴y∴當(dāng)x>-1時(shí)，y的取值范圍是y>1或故答案為y>1或y（3）聯(lián)立解析式得方程組y=-xy=-1∴A(-1,1)，由圖象可知：當(dāng)x<-1或0<x<1【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合思想解本題的關(guān)鍵．【題型3兩種函數(shù)圖象的共存問(wèn)題】【例3】（2023春·四川成都·九年級(jí)成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）若ab＜0，則正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象逐項(xiàng)分析，判斷出a、b的符號(hào)，與ab<0【詳解】解：A.由圖象可知：a>0,b>0，所以ab>0，與B.由圖象可知：a<0,b>0，所以ab<0，與C.由圖象可知：直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與已知正比例函數(shù)y=ax不一致，故D.由圖象可知：a<0,b<0，所以ab>0，與故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知參數(shù)的取值范圍確定函數(shù)的大致圖象的問(wèn)題，正確根據(jù)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)圖象確定比例系數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式31】（2023春·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考期中）反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)yA． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象所處的象限．【詳解】解：由反比例函數(shù)y=4x與一次函數(shù)y=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，關(guān)于x的函數(shù)y=-kx(k≠0)和y＝kx－kA．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象的特點(diǎn)，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題．【詳解】解：當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y=kxk的圖象在第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=-kx的圖象在第二、四象限，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)y=kxk的圖象在第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=-kx故選B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式33】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，反比例函數(shù)y=kbx（kb≠0），下列能同時(shí)正確描述這兩種函數(shù)大致圖像的是（A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象確定k和b的符號(hào)，進(jìn)一步確定反比例函數(shù)的圖象即可．【詳解】解：A選項(xiàng)中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)二、四象限，故A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＞0，b＞0，∴kb＞0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，故B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)中，一次函數(shù)b=0，∵kb≠0，故C選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)中根據(jù)一次函數(shù)圖象可知，k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)二、四象限，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與參數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型4利用反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)解方程或不等式】【例4】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=-x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，該反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y

【答案】2或4【分析】根據(jù)題意求得反比例函數(shù)解析式為y=4x，得到A【詳解】解：∵一次函數(shù)y=-x+5與反比例函數(shù)y=kx(x>0)故將x=1代入一次函數(shù)y=-x+5得將A1,4代入反比例函數(shù)y=kx，得令-x+5=4x，整理得x2將x=4代入一次函數(shù)y=-x+5得故點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y=∵反比例函數(shù)y=4x則直線y=x關(guān)于直線y=令反比例函數(shù)y=4x的圖像關(guān)于直線y=x-1故y'的圖象可以看做是由反比例函數(shù)y原點(diǎn)O關(guān)于直線y=x-

故直線y=x-2可以看做直線y=x每一個(gè)點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位，向下平移則y'的圖象可以看做是由反比例函數(shù)y=4x圖象上每一個(gè)點(diǎn)先向右平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到（或向右下則點(diǎn)A1,4平移之后的坐標(biāo)為A點(diǎn)B4,1平移之后的坐標(biāo)為B即反比例函數(shù)y=4x的圖像關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱(chēng)后的圖象經(jīng)過(guò)直線y線段AC的長(zhǎng)度為1-22+4-3故答案為：2或42【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)的平移，反比例函數(shù)的性質(zhì)等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2=(1)求k的值和兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直接寫(xiě)出y1>y(3)根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出當(dāng)-4<x<-1時(shí)，y【答案】(1)k=8，另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-4)(2)x>2(3)-【分析】（1）求出橫坐標(biāo)為2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)yy2=k（2）畫(huà)出圖象觀察即可得到答案．（3）根據(jù)函數(shù)圖象可知，在每一象限內(nèi)，y2隨x的增大而減小，分別求出x=-4和x=-1時(shí)y2【詳解】（1）在y1=2x中令x=2得y∴正比例函數(shù)y1=2x的圖象與反比例函數(shù)y2=∴4=k2，解得∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴它們的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴另一個(gè)交點(diǎn)為(-2,-4)；（2）由函數(shù)圖象可知，y1>y故答案為：x>2（3）∵y2=8∴在每一象限內(nèi)，y2隨x當(dāng)x=-4時(shí)，y=-2；當(dāng)x=-1∴當(dāng)-4<x<-1時(shí)，y故答案為：-8<【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交點(diǎn)及大小比較，解題的關(guān)鍵是要掌握二者的對(duì)稱(chēng)性和數(shù)形結(jié)合比較大小的方法．【變式42】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，反比例函數(shù)圖象l1的表達(dá)式為y=k1x(x>0)，圖象l2與圖象l1關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，直線y=k2x與l2交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A為【答案】8【詳解】利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)確定l2的解析式，再聯(lián)立方程，通過(guò)方程跟與系數(shù)的關(guān)系求出k1解：∵圖象l2與圖象l1關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，即f（x）與f（2﹣x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，∴反比例函數(shù)l2為：y=k∵直線y=k2x與l2交于A，B兩點(diǎn)，∴y=整理得：x2∴xA+x∵A為OB中點(diǎn)，∴2x∴xA∴xA=2∴k1k2故答案為：89【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出函數(shù)l2的解析式是解題關(guān)鍵．【變式43】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，已知線段AB，A2,1，B4,3.5，現(xiàn)將線段AB沿y軸方向向下平移得到線段MN．直線y=mx+b過(guò)M、N兩點(diǎn)，且(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．(2)①直接寫(xiě)出不等式mx+②若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且△PMN的面積為8.5，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P(3)若點(diǎn)Cx1,a，Dx2,【答案】(1)y=-10x，y(2)①x≥4或0<x≤2；②P(3)當(dāng)a>2或a<0時(shí)，x1>x【分析】（1）設(shè)線段AB沿y軸方向向下平移t個(gè)單位得到線段MN，則點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為2,1-t、4,3.5-t，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入y=kx，得：k=21-（2）①觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即可求解；②設(shè)直線MN與y軸的交點(diǎn)為C，先求出C0,-152，再根據(jù)S△PMN（3）將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：ax1=-10，a-2【詳解】（1）解：設(shè)線段AB沿y軸方向向下平移t個(gè)單位得到線段MN，∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為2,1-t、4,3.5-將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入y=kx解得：t=6∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為2,-5、4,-2,5，∴k∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=-10將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，得-5=2解得：m=∴一次函數(shù)表達(dá)式為：y=5（2）解：①觀察函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方或相交的部分即為不等式解集，∴不等式m+b-kx②設(shè)直線MN與y軸的交點(diǎn)為C，令x=0，則y∴如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時(shí)，S△∵△PMN的面積為8.5∴解得PC=∴P如圖，當(dāng)點(diǎn)P'在點(diǎn)C下方時(shí)，同理可得，P∴P綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,1或0,-16；

（3）解：將點(diǎn)Cx1,a，得：ax1=-10則x1當(dāng)20aa-2>0時(shí)，即a當(dāng)20aa-2<0【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【題型5反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用】【例5】（2023春·江西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線y=-x+k與反比例函數(shù)y=kxA．OA=OB B．當(dāng)A，BC．當(dāng)k=6時(shí)，OA=26 D．不存在這樣的k【答案】D【分析】先聯(lián)立聯(lián)立y=-x+ky=kx得到x2-kx+k=0，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，-x1+k），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，-x2+k），然后分別求出OA，OB，即可判斷A；根據(jù)A、B重合，則方程x2-kx+【詳解】解：聯(lián)立y=-x+設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，-x1+k），B∴OA2=∵A、B是直線與反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)，∴x12-∴x12-∴OA∴OA=OB，故∵A、B重合，則方程x2∴Δ=解得k=4或k=0（舍去），故當(dāng)k=6時(shí)，O∴OA=26，故若△AOB是等邊三角形，則OA=AB，∵x1+∴AB=2=2=2k∴2k解得k=6或k∴存在k=6，使得△AOB是等邊三角形，故D故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，兩點(diǎn)距離公式，等邊三角形的性質(zhì)，一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【變式51】（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A(1,y1)，B(2,y2)是反比例函數(shù)y=2x【答案】(3,0)【分析】求出A、B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入求出直線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，求出直線AB于x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=2x得：y1＝2，y2∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延長(zhǎng)AB交x軸于P′，當(dāng)P在P′點(diǎn)時(shí)，PA﹣PB＝AB，即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入得：{2=解得：k＝﹣1，b＝3，∴直線AB的解析式是y＝﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，即P（3，0）．故答案為（3，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題的知識(shí)，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置．【變式52】（2023春·江西上饒·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線y=-x＋3與坐標(biāo)軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)作矩形ABCD，AB=2AD，雙曲線y=kxA．6 B．274 C．272 D【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，由條件易得△ADE是等腰直角三角形，由AB=2AD進(jìn)而可求得點(diǎn)D【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，如圖，對(duì)于y=-x＋3，令x=0，則y∴OA∴∠OAB∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD∴∠DAE∴∠DAE∴EA∵AB=O∴AD由勾股定理得：EA=∴OE∴D∵D點(diǎn)在雙曲線y∴k故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的比例系數(shù)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，其中求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是關(guān)鍵．【變式53】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，OBOA=2，∠AOB的角平分線與OA的垂直平分線交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kx的圖象過(guò)點(diǎn)C，當(dāng)△ACDA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)OBOA=2，得到OB=2OA，設(shè)OA=a，則OB=2a，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式是y=﹣2x+2a，根據(jù)題意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)【詳解】解：∵OBOA=2∴OB=2OA，設(shè)OA=a，則OB=2a，設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：ak+b解得：k=-2b則直線AB的解析式是y=﹣2x+2a，∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，CE=OE=12∴OD的解析式是y=x，根據(jù)題意得：y=x解得：x=2則D的坐標(biāo)是（23a，∴CE=OE=12∴C的坐標(biāo)是（12a，∴S△AOC∴S△∴a2∴k=故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求兩直線的交點(diǎn)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，三角形面積公式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【題型6反比例函數(shù)與幾何圖形的面積的綜合】【例6】（2023春·浙江舟山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的邊OA在x軸正半軸上，其中∠OAB=90°，AO=AB，點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kxk>0,?x>0的圖象過(guò)點(diǎn)C且交線段AB于點(diǎn)

A．53 B．32 C．52【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，設(shè)Am,0，Bm,m，且m>0，得到Cm【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于

∵∠OAB=90°，AO=AB，△OAB∴設(shè)Am,0，Bm∴AO=∵點(diǎn)C為斜邊OB的中點(diǎn)，∴Cm∴OC=∵反比例函數(shù)y=kx∴m2∴k=∴y=∵∠OAB=90°，點(diǎn)D在線段∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，∵反比例函數(shù)y=m2∴當(dāng)x=m時(shí)，∴Dm∴AD=m4，AE∴S△OAD∴S△故選B．【點(diǎn)睛】此題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，各圖形面積的計(jì)算公式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023春·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形OABC的邊OA在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過(guò)菱形對(duì)角線OB的中點(diǎn)D和頂點(diǎn)C，若菱形OABC

【答案】2【分析】設(shè)Dt,kt，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到B2t,2kt，再利用BC∥【詳解】解：設(shè)Dt∵D為OB∴B2∵四邊形ABCO為菱形，∴BC∥∴C1∴BC∵菱形OABC的面積為62∴32t?由兩點(diǎn)距離公式可得：12解得：t=∴C故答案為22【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．也考查了菱形的性質(zhì)．【變式62】（2023春·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，0，點(diǎn)D4，4在反比例函數(shù)y=k