浙江省臺州市山海協(xié)作體2023-2024學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題

2023學年第二學期臺州市山海協(xié)作體期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.復數(shù)的虛部是（）A.5 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)虛部的概念求解即可.【詳解】復數(shù)虛部是.故選：B.2.設(shè)向量，且，則的值是（）A.2 B. C.8 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的坐標表示即得.【詳解】由已知得，∴.故選：C.3.在中，已知，AC＝7，BC＝8，則AB＝（）A.3 B.4 C.3或5 D.4或5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理直接求解.【詳解】解：設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,結(jié)合余弦定理，得，即，解得c＝3或c＝5．故AB＝3或5．故選:C．4.下列說法錯誤的是（）A.經(jīng)過同一直線上的3個點的平面有無數(shù)個B.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C.若是兩條直線，是兩個平面，且，則是異面直線D.若直線不平行于平面，且，則內(nèi)不存在與平行的直線【答案】C【解析】【分析】由空間直線和平面的關(guān)系依次判斷各選項即可得出結(jié)果.【詳解】經(jīng)過一條直線的平面有無數(shù)個，A不符合題意；設(shè)三條直線為，交于點，交于，相交直線確定一個平面，則故由兩點確定的直線在平面內(nèi)，所以兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，可知B不符合題意；若a，b是兩條直線，是兩個平面，且，則a，b也可能平行，故C符合題意；直線與平面相交，且交平面于一點，平面上任何通過點的直線都與直線同面，平面上其它不通過點的直線則與之異面，則內(nèi)不存在與平行直線，可知D不符合題意.故選：C5.向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的運算公式和投影向量的運算公式，準確計算，即可求解.【詳解】由向量，，可得，且，則向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)半圓的弧長求底面的半徑和高，即可計算圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，根據(jù)側(cè)面展開圖是半圓，半圓的弧長為，所以，得，圓錐的高，所以圓錐的體積.故選：A7.如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且=，＝y(tǒng)，則的值為()A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】特殊化，令計算出x、y的值，帶入即可?！驹斀狻坷萌切蔚男再|(zhì)，過重心作平行于底邊BC的直線，得x＝y(tǒng)＝，則＝?！军c睛】本題考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題。8.小明去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，作出符合題意得示意圖，過點作，得到，得出當?shù)耐饨訄A與切于點時，觀賞者觀賞的角度最大，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)觀賞者眼睛出為點，畫的上沿為點，下沿為點，過點作交的延長線于點，則，當?shù)耐饨訄A（即為圓）與切于點時，觀賞者觀賞的角度最大，即最大，線段的長度為警戒線距墻的長度，由題設(shè)知：，則，過點作于點，連接，如圖所示，則，且，所以，所以與切于點，所以，所以，所以四邊形為矩形，可得，且，所以，在直角中，由勾股定理得，所以，即警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻米遠處最合適.故選：B二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）9.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合共軛復數(shù)的概念，以及復數(shù)的運算法則，逐項判定，即可求解.【詳解】由復數(shù)滿足，可得，對于A中，由，所以A不正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，所以D不正確.故選：BC.10.關(guān)于同一平面內(nèi)的任意三個向量，下列四種說法錯誤的有（）A.若，且，則 B.C.若，則或 D.【答案】ACD【解析】【分析】若向量時，結(jié)合零向量的性質(zhì)，可得判定A錯誤；根據(jù)向量模的三角不等式，可判定B正確；根據(jù)向量模的概念，可判定C錯誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，若向量時，此時且，但不一定成立，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，若，但向量與不一定是共線同向或反向，所以C錯誤；對于D中，由向量的數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律，所以D錯誤.故選：ACD.11.在中，下列說法正確的有（）A.若，則B.若為銳角三角形，則C.若，則一定是等腰三角形D.若為鈍角三角形，且，則的面積為或【答案】ABD【解析】【分析】對于A，可以根據(jù)大角對大邊知道，再用正弦定理即可．對于B,根據(jù)銳角三角形，知道，即，因為且結(jié)合在區(qū)間單調(diào)遞增，得到，再用誘導公式即可．對于C，切化弦，再用二倍角公式轉(zhuǎn)化即可．對于D，用余弦定理求出，再分類討論即可．【詳解】對于A：因為，所以，所以，A正確；對于B：因為是銳角三角形，所以，即，因為且，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，B正確；對于C：，即，即，所以，而A,B為三角形內(nèi)角，所以或者，所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯誤；對于D：易求出，而，所以，化簡可得，解得或者，當時，，此時是最大角且，所以滿足鈍角三角形，此時，當時，，此時為最大角且，所以滿足鈍角三角形，，此時D正確．故選：ABD.非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知的面積為4，下圖是的直觀圖，已知，軸，過作軸于，則的長為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法和三角形的面積公式，求得，得到，進求得的長.【詳解】由斜二測畫法知，因為，可得，又因為軸，可得軸，所以為直角三角形，如圖所示，又由的面積為，可得，解得，所以，所以.故答案為：.13.已知是鈍角三角形，角的對邊依次是，且，則邊的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角形的性質(zhì)和余弦定理，列出不等式組，即可求解.【詳解】因為是鈍角三角形，且，當為最長邊時，則滿足，即，解得，當為最長邊時，則滿足，即，解得，綜上可得，邊的取值范圍是.故答案為：.14.已知向量夾角為，若對任意，恒有，則函數(shù)的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由恒成立求出，將表示成關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值即可求解．【詳解】，則有，整理可得，∵對任意，上式恒成立，∴；由題意知，∴，∴．∴，所以時，的最小值為．故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知向量．（1）求的坐標與；（2）求向量與的夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標運算，以及向量模的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積和向量的夾角公式，準確計算，即可求解.【小問1詳解】解：由向量，可得，又由，所以【小問2詳解】解：由向量，可得且，所以，故向量與的夾角的余弦值為.16.在中，角的對邊分別是，若．（1）證明：是正三角形．（2）若的三頂點都在球表面，且球的表面積為，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，求得，再結(jié)合，即可得證；（2）設(shè)球的半徑為，根據(jù)題意，求得，再設(shè)外接圓半徑為，求得，由球的截面圓性質(zhì)，求得，結(jié)合棱錐的體積公式，即可求解.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，所以，即，又因為，可得，所以，因，所以，又因為，所以是正三角形．【小問2詳解】解：設(shè)球的半徑為，因為球的表面積為，所以，得到，由（1）知是正三角形，且邊長為，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，設(shè)球心到所在平面距離為，則由球的截面圓性質(zhì)，可得，則，又因為，所以三棱錐的體積為．17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為上的點，且，為中點．（1）證明：平面.（2）在上是否存在一點，使得平面？若存在，指出點位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）上存在點，且【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造中位線的方法來證得平面.（2）通過證明面面平行的方法來確定點的位置.【小問1詳解】連交于，因為為中點，所以是中位線，所以．又平面AEC，平面．所以平面AEC．【小問2詳解】上存在點，且，使得平面，證明：上取點，且，因為為上的點，且，所以在中，，所以，因為平面，平面，所以平面，又在中，，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．18.在某海濱城市附近海面上有一臺風，據(jù)監(jiān)測，當前臺風中心位于城市的東偏南方向300km的海面處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動.臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾時后該城市開始受到臺風的侵襲?【答案】12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.【解析】【分析】設(shè)在時刻臺風中心位于點，城市受到干擾時，，結(jié)合圖中的角度，運用余弦定理算出，解不等式即可.【詳解】設(shè)在時刻臺風中心位于點，則，如圖顯然是銳角，由可得，又，故.因此，即，解得.故小時后該城市開始受到臺風的侵襲.19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學家托里拆利給出了解答，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，設(shè)點為的費馬點，求；（3）設(shè)點為的費馬點，，求實數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，正弦定理可得，則有；(2)由題意，設(shè)，由等面積法得，則，可求值；（3）由，設(shè)，推出，結(jié)合費馬點含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.【小問1詳解】由已