第24節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)（解析版）

第24節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b核心素養(yǎng)要做實(shí)考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)【例1】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點(diǎn)，PA＝AB＝1.(1)證明：EF∥平面PDC；(2)求點(diǎn)F到平面PDC的距離.【解析】(1)證明取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴MF∥CB，MF＝CB，∵E為DA的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴DE∥CB，DE＝CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四邊形DEFM為平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴點(diǎn)F到平面PDC的距離等于點(diǎn)E到平面PDC的距離.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，則PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC為直角三角形，∴S△PDC＝×1×＝.連接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，設(shè)E到平面PDC的距離為h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，則×h×＝×1×××1，∴h＝，∴點(diǎn)F到平面PDC的距離為.【例2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱DD1，C1D1的中點(diǎn).(1)求三棱錐B1－A1BE的體積；(2)試判斷直線B1F與平面A1BE是否平行，如果平行，請(qǐng)?jiān)谄矫鍭1BE上作出與B1F平行的直線，并說明理由.【解析】(1)如圖所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B·DA＝××2×2×2＝.(2)B1F∥平面A1BE.延長(zhǎng)A1E交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連BH交CD于點(diǎn)G，則BG就是所求直線.證明如下：因?yàn)锽A1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E為DD1的中點(diǎn)，則G為CD的中點(diǎn).故BG∥B1F，BG就是所求直線.【方法技巧】1.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線.2.在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2020·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【解析】(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C?平面ABC，∴AD⊥AC.考點(diǎn)二面面平行的判定與性質(zhì)【例2】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【解析】(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F－DCE的體積.【解析】(1)因?yàn)槠矫鍯EF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四邊形AECD是平行四邊形，所以DC＝AE＝AB，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).因?yàn)槠矫鍯EF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)F是PB的中點(diǎn).綜上，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).(2)連接PE，由題意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF－DEC＝VP－DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.∴CE＝1.達(dá)標(biāo)檢測(cè)要扎實(shí)一、單選題1．設(shè)是直線，是平面，則能推出的條件是（

）A．存在一條直線，， B．存在一條直線，，C．存在一個(gè)平面，， D．存在一個(gè)平面，，【答案】C【解析】對(duì)于A，若，可滿足，，但無法得到，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，可滿足，，但無法得到，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由面面平行的性質(zhì)知：若，，則，C正確；對(duì)于D，若，可滿足，，但無法得到，D錯(cuò)誤.故選：C.2．如圖，正方體中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)在線段上.給出下列判斷：①存在點(diǎn)F使得平面；②在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；③平面與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)F的位置無關(guān)；④三棱錐的體積與點(diǎn)F的位置無關(guān).其中正確判斷的有（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【解析】對(duì)于①，假設(shè)存在F使得⊥平面，則⊥，又⊥，∩＝，∴⊥平面，則⊥，這與⊥矛盾，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)槠矫媾c平面相交，設(shè)交線為，則在平面內(nèi)與平行的直線平行于平面，故②正確；對(duì)于③，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，則平面的法向量為而平面的法向量，隨著位置變化，故平面與平面所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，三棱錐的體積即為三棱錐，因?yàn)椤纹矫?，所以，?dāng)在線段上移動(dòng)時(shí)，到平面的距離不變，故三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)，即④正確．故選：D．3．如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長(zhǎng)方形為底面，則四邊形的形狀為（

）A．梯形 B．平行四邊形C．可能是梯形也可能是平行四邊形 D．矩形【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?/平面,且平面平面,平面平面,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知//,同理可證明//.所以四邊形為平行四邊形.故選：B.4．如圖，ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，則以下結(jié)論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由正方體的性質(zhì)得BD∥，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正確.由正方體的性質(zhì)得

AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面

，所以⊥BD，所以②正確.由正方體的性質(zhì)得

BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定定理得到：⊥平面

，所以③正確.故選：D.5．平面∥平面，，則直線和的位置關(guān)系（

）A．平行 B．平行或異面 C．平行或相交 D．平行或相交或異面【答案】B【解析】∵平面平面，∴平面與平面沒有公共點(diǎn)∵，，∴直線，沒有公共點(diǎn)∴直線，的位置關(guān)系是平行或異面，故選：B.6．如圖，在正三棱臺(tái)中，，，.，分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．直線平面，直線與垂直B．直線平面，直線與所成角的大小是C．直線與平面相交，直線與垂直D．直線與平面相交，直線與所成角的大小是【答案】B【解析】取中點(diǎn)，連接，，由題意可知，，，所以平面平面，所以直線平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，，，易知，，所以直線與直線所成角即為直線與所成角，在等腰梯形中，，，，可得，，，分別為，中點(diǎn)，所以，同理：，在等腰梯形中，，，，可得，在中，，，由余弦定理可得：，所以，即直線與直線所成角的大小是，因此直線與所成角的大小是，故選：B.7．給出以下四個(gè)命題，能判斷平面α和平面β平行的條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行 B．α內(nèi)的任一條直線都與β平行C．直線，直線，且， D．直線，且【答案】B【解析】A.平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面平行時(shí)，兩個(gè)平面可能平行也可能相交，故A不滿足條件；B.平面內(nèi)的任何一條直線都與平面平行，則能夠保證平面內(nèi)有兩條相交的直線與平面平行，故B滿足條件；C.直線，直線，且，，則兩個(gè)平面可能平行也可能相交，故C不滿足條件；D.直線，且，則兩平面可能相交或平行，故D不滿足條件故選：B.8．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．直線和平面所成的角為定值B．點(diǎn)到平面的距離為定值C．異面直線和所成的角為定值D．直線和平面平行【答案】A【解析】對(duì)A，由平面，當(dāng)點(diǎn)分別在點(diǎn)或時(shí)，線面角不一致，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由//,平面,平面,所以//平面，所以點(diǎn)到平面的距離為直線上任意點(diǎn)到平面的距離，故B正確對(duì)C，由平面即平面,,,平面，所以平面，所以，故C正確對(duì)D，由平面即平面，//，平面，平面，所以//平面，所以D正確故選：A二、多選題9．在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的是（

）A．異面直線和所成的角為定值B．直線和平面相交C．三棱錐的體積為定值D．直線和直線可能相交【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)樵谡襟w中，，，又，，平面，所以平面，而平面，所以，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值90°，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫媾c面是同一平面，，平面，平面，故平面，即平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而平面為固定平面，且大小一定，又因?yàn)?，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)A到平面的距離即為點(diǎn)P到該平面的距離，為定值，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對(duì)于D，直線和直線是異面直線，不可能相交，故D錯(cuò)誤.故選：AC.

10．如圖，已知四棱錐中，平，，，為中點(diǎn)，在上，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．面B．與平面所成角為30°C．四面體的體積為D．平面平面【答案】ACD【解析】對(duì)于A，連結(jié)，，因?yàn)?，，所以，，故，同理可得，故，所以F為的中點(diǎn)，又E為的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面，又因?yàn)?，，所以，故，又平面，平面，故平面，又，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫?，所以與平面所成的角即為，因?yàn)?，所以，則，又，故，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)槠矫?，，所以平面，又，所以，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．11．如圖，在正四棱錐中，，，分別是，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的為（

）.A． B． C．面 D．面【答案】AC【解析】如圖所示，連接?相交于點(diǎn)，連接，.由正四棱錐，可得底面，，所以.因?yàn)?，所以平面，因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，，而，所以平面平面，所以平面，所以，故A正確；由異面直線的定義可知:與是異面直線，不可能，因此B不正確；平面平面，所以平面，因此C正確；平面，若平面，則，與相矛盾，因此當(dāng)與不重合時(shí)，與平面不垂直，即D不正確.故選:AC.12．如圖，已知正方體，則四個(gè)推斷正確的是（

）A． B．C．平面平面 D．平面平面【答案】BCD【解析】在正方體中，對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成的角，在中顯然，所以與成角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，，，、平面，、平面，∴平面，平面，又，平面平面，故C正確；對(duì)于D，，，，平面，所以平面，又平面平面平面，故D正確．故選：BCD．三、填空題13．已知，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，有下列命題：①；②若，，則；③，，則；④直線，直線，那么；⑤若，，，則；⑥若，，則．其中正確的說法為______（填序號(hào)）【答案】①⑥【解析】對(duì)于①，根據(jù)平行的性質(zhì)有：，即，故①正確；對(duì)于②，由得或相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由得，或異面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由直線，直線，可得，異面，相交，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，由，得或相交，故⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥，若，由面面平行的傳遞性得，故⑥正確，故答案為：①⑥.14．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于點(diǎn)，，設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①四邊形一定為菱形；②若四邊形的面積為，，則有最大值；③若四棱錐的體積為，，則為單調(diào)函數(shù)；④設(shè)與交于點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①④【解析】①平面∥平面，平面平面＝EN，平面平面＝MF，．同理可證．四邊形為平行四邊形.連接MN、AC、BD、：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵⊥平面ABCD，∴⊥AC，∵BD＝B，∴AC⊥平面，∵M(jìn)N平面，∴AC⊥MN.∵EA與FC平行且相等，∴ACFE是平行四邊形，∴AC∥EF，∴EF垂直MN，∴MEFN是菱形.故①正確．②四邊形面積，EF為定值，當(dāng)為B或時(shí)，即x＝0或x＝1時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)面積最大，但0＜x＜1，即M不能取線段的端點(diǎn)，∴四邊形MENF面積無最大值．故②錯(cuò)誤．③連結(jié)、、，則四棱錐被分割成兩個(gè)小的三棱錐，它們是都以為底，以、分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)三棱錐．△的面積是一個(gè)定值.同②中證明AC⊥平面，也可證明BD⊥平面，則B到平面AEF的距離即為.∵B∥A，∴B∥平面AEF，∴M到平面AEF的距離即為B到平面AEF的距離，同理N到平面AEF的距離也為，∴、到平面的距離之和是定值BD，∴四棱錐的體積為常數(shù)．故③錯(cuò)誤．④如圖，將Rt沿著翻轉(zhuǎn)到與矩形在同一平面，過作于Q，交于，則此時(shí)最短.過作于，則四邊形是直角梯形，由題可知是中點(diǎn)，是梯形的中位線，∴設(shè)，設(shè)在中，，，，∴在中，∴.故④正確.故答案為：①④.15．已知直線m，n，平面α，β，若，，，則直線m與n的關(guān)系是___________【答案】平行或異面【解析】由題意，，，故直線m與n沒有交點(diǎn)故直線m與n平行或異面故答案為：平行或異面16．如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，有以下結(jié)論：①平面DE；②平面AF；③平面平面AFN；④平面平面NCF.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①②③④.【解析】如圖，對(duì)①，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，而平面DE，平面DE，則平面DE.正確；對(duì)②，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面AF，平面AF，則平面AF.正確；對(duì)③，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，而，所以平面BDM∥平面AFN.正確；對(duì)④，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，同由③：，而，所以平面平面NCF.正確.故答案為：①②③④.四、解答題17．如圖所示，已知四棱柱的底面為菱形.（1）證明：平面平面；（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說