公務(wù)員考試行測數(shù)學(xué)運(yùn)算資料1

一、容斥原理

容斥原理關(guān)鍵就兩個公式：

1.兩個集合的容斥關(guān)系公式：A+B=AUB+AAB

2.三個集合的容斥關(guān)系公式：A+B+C=AUBUC+AAB+BDC+CPIA-AABAC

請看例題：

【例題1】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)是32人，在第一次考試中有26人及格，在第

二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒及格的有4人，那么兩次考試都及

格的人數(shù)是()

A.22B.18C.28D.26

【解析】設(shè)A=第一次考試中及格的人數(shù)(26人)，B=第二次考試中及格的人數(shù)(24

人)，顯然，A+B=26+24=50;AUB=32-4=28,則根據(jù)AAB=A+B-AUB=50-28=22o答

案為A。

【例題2】電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道,

34人看過8頻道，11人兩個頻道都看過。問兩個頻道都沒看過的有多少人？

【解析】設(shè)A=看過2頻道的人(62),B=看過8頻道的人(34)，顯然，A+B=62+34=96;

ACIB=兩個頻道都看過的人(H),則根據(jù)公式AUB=A+B-AnB=96-ll=85,所

以，兩個頻道都沒看過的人數(shù)為100-85=15人。

二、作對或做錯題問題

【例題】某次考試由30到判斷題，每作對一道題得4分，做錯一題倒扣2分,

小周共得96分，問他做錯了多少道題？

A.12B.4C.2D.5

【解析】

方法一

假設(shè)某人在做題時(shí)前面24道題都做對了，這時(shí)他應(yīng)該得到96分,后面還有6道

題,如果讓這最后6道題的得分為0,即可滿足題意.這6道題的得分怎么才能為0

分呢?根據(jù)規(guī)則，只要作對2道題,做錯4道題即可，據(jù)此我們可知做錯的題為4道,

作對的題為26道.

方法二

作對一道可得4分,如果每作對反而扣2分,這一正一負(fù)差距就變成了6分.30

道題全做對可得120分，而現(xiàn)在只得到96分,意味著差距為24分，用24+6=4即可

得到做錯的題,所以可知選擇B

三、植樹問題

核心要點(diǎn)提示：①總路線長②間距（棵距）長③棵數(shù)。只要知道三個要素中的任

意兩個要素，就可以求出第三個。

【例題1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)

走到底15棵樹共用了7分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當(dāng)他回到第

5棵樹是共用了30分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時(shí)就開始往回走？

A.第32棵B,第32棵C,第32棵D.第32棵

解析：李大爺從第一棵數(shù)走到第15棵樹共用了7分鐘，也即走14個棵距用了

7分鐘，所以走沒個棵距用0.5分鐘。當(dāng)他回到第5棵樹時(shí)，共用了30分鐘，計(jì)

共走了30+0.5=60個棵距，所以答案為B。第一棵到第33棵共32個棵距，第33

可回到第5棵共28個棵距，32+28=60個棵距。

【例題2】為了把2008年北京奧運(yùn)會辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，

植樹造林。某單位計(jì)劃在通往兩個比賽場館的兩條路的（不相交）兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)

回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米

栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：（）

A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵

解析：設(shè)兩條路共有樹苗x棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可

根據(jù)路程相等列出方程:（x+2754-4）x4=（x-396-4）x5（因?yàn)?條路共栽4排,

所以要減4）

解得x=13000,即選擇D。

四、和差倍問題

核心要點(diǎn)提示：和、差、倍問題是已知大小兩個數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關(guān)系，

求大小兩個數(shù)的值。（和+差）+2=較大數(shù)；（和一差）-2=較小數(shù)；較大數(shù)一差=較小

數(shù)。

【例題】甲班和乙班共有圖書160本，甲班的圖書是乙班的3倍，甲班和乙班

各有圖書多少本？

解析：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班和乙班圖書本書的合相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)

的4倍。乙班160+（3+1）=40（本），甲班40x3=120（本）。

五.濃度問題

【例1】（2008年北京市應(yīng)屆第14題）---

甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的溶液600克?，F(xiàn)在

從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中

取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現(xiàn)在兩倍溶液的濃度是多少

()

A.20%B,20.6%C.21.2%D.21.4%

【答案】B。

【解析】這道題要解決兩個問題：

(1)濃度問題的計(jì)算方法

濃度問題在國考、京考當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)很少，但是在浙江省的考試中，每年都會

遇到濃度問題。這類問題的計(jì)算需要掌握的最基本公式是

濃聲=溶質(zhì)質(zhì)量叱=溶質(zhì)質(zhì)量0/

體反'溶液質(zhì)量"■溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量4

(2)本題的陷阱條件

“現(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，

把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同」這句話描述了一

個非常復(fù)雜的過程，令很多人望而卻步。然而，只要抓住了整個過程最為核心的結(jié)

果一一“甲、乙兩杯溶液的濃度相同”這個條件，問題就變得很簡單了。

因?yàn)閮杀芤鹤罱K濃度相同，因此整個過程可以等效為——將甲、乙兩杯溶液

混合均勻之后，再分開成為400克的一杯和600克的一杯。因此這道題就簡單的變

成了“甲、乙兩杯溶液混合之后的濃度是多少”這個問題了。

根據(jù)濃度計(jì)算公式可得，所求濃度為:

400x17%+600x23%

=20.6%

400+600

如果本題采用題設(shè)條件所述的過程來進(jìn)行計(jì)算，將相當(dāng)繁瑣。

六.行程問題

【例1】（2006年北京市社招第21題）——

2某單位圍墻外面的公路圍成了邊長為300米的正方形，甲乙兩人分別從兩個

對角沿逆時(shí)針同時(shí)出發(fā)，如果甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，那么經(jīng)過（）

甲才能看到乙

A.16分40秒B.16分C.15分D.14分40秒

【答案】A。

【解析】這道題是一道較難的行程問題，其難點(diǎn)在于“甲看到乙”這個條件。

有一種錯誤的理解就是“甲看到乙”則是甲與乙在同一邊上的時(shí)候甲就能看到乙，

也就是甲、乙之間的距離小于300米時(shí)候甲就能看到乙了，其實(shí)不然?？紤]一種特

殊情況，就是甲、乙都來到了這個正方形的某個角旁邊，但是不在同一條邊上，這

個時(shí)候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時(shí)候甲還是不能看到乙。由此看出這道題

的難度一一甲看到乙的時(shí)候兩人之間的距離是無法確定的。

有兩種方法來“避開”這個難點(diǎn)——

解法一：借助一張圖來求解

雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進(jìn)過程完全可以等效的視為兩人沿

著直線行走，甲、乙的初始狀態(tài)如圖所示。

I???iiii???

甲f乙—

圖中的每一個“格檔”長為300米，如此可以將題目化為這樣的問題“經(jīng)過多

長時(shí)間，甲、乙能走入同一格檔？”

觀察題目選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有15分鐘、16分鐘兩個整數(shù)時(shí)間，比較方便計(jì)算。因此

代入15分鐘值試探一下經(jīng)過15分鐘甲、乙的位置關(guān)系。經(jīng)過15分鐘之后，甲、

乙分別前進(jìn)了

90x15=1350米=(4x300+150)米

70x15=1050米=(3x300+150)米

也就是說，甲向前行進(jìn)了4個半格檔，乙向前行進(jìn)了3個半格檔，此時(shí)兩人所

在的地點(diǎn)如圖所示。

??I?????…

甲—乙一

甲、乙兩人恰好分別在兩個相鄰的格檔的中點(diǎn)處。這時(shí)甲、乙兩人相距300米，

但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認(rèn)為甲、乙距離差為

300米時(shí)，甲就能看到乙的話就會出錯。

考慮由于甲行走的比乙快，因此當(dāng)甲再行走150米，來到拐彎處的時(shí)候，乙行

走的路程還不到150米。此時(shí)甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過150/90=1分

40秒之后，甲恰好拐過彎看到乙。所以甲從出發(fā)到看到乙，總共需要16分40秒,

甲就能看到乙。

這種解法不是常規(guī)解法，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的考生可能很難想到。

解法二：考慮實(shí)際情況

由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實(shí)際情況下，甲能夠看到乙恰好是當(dāng)

甲經(jīng)過了正方形的一個頂點(diǎn)之后就能看到乙了。也就是說甲從一個頂點(diǎn)出發(fā)，在到

某個頂點(diǎn)時(shí)，甲就能看到乙了。

題目要求的是甲運(yùn)動的時(shí)間，根據(jù)上面的分析可知，經(jīng)過這段時(shí)間之后，甲正

好走了整數(shù)個正方形的邊長，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算式就是

90xt=300xn

其中，t是甲運(yùn)動的時(shí)間，n是一個整數(shù)。帶入題目四個選項(xiàng)，經(jīng)過檢驗(yàn)可知,

只有A選項(xiàng)16分40秒過后，甲運(yùn)動的距離為

90x(16x60+40)/60=1500=300x5

符合“甲正好走了整數(shù)個正方形的邊長”這個要求，它是正確答案。

七.抽屜問題

三個例子：

(1)3個蘋果放到2個抽屜里，那么一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。

(2)5塊手帕分給4個小朋友，那么一定有1個小朋友至少拿了2塊手帕。

(3)6只鴿子飛進(jìn)5個鴿籠，那么一定有1個鴿籠至少飛進(jìn)2只鴿子。

我們用列表法來證明例題(1):

放法①種②種③種④種

抽屜

第1個抽屜3個2個1個0個

第2個抽屜0個1個2個3個

從上表可以看出，將3個蘋果放在2個抽屜里，共有4種不同的放法。

第①、②兩種放法使得在第1個抽屜里，至少有2個蘋果；第③、④兩種放法使得

在第2個抽屜里，至少有2個蘋果。

即：可以肯定地說，3個蘋果放到2個抽屜里，一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。

由上可以得出：

題號物體數(shù)量抽屜數(shù)結(jié)果

(1)蘋果您冷放入2個抽屜有一個抽屜至少有2個蘋果

(2)手帕5塊分給4個人有一人至少拿了2塊手帕

(3)鴿子6只飛進(jìn)5個籠子有一個籠子至少飛進(jìn)2只鴿

上面三個例子的共同特點(diǎn)是：物體個數(shù)比抽屜個數(shù)多一個，那么有一個抽屜至少有

2個這樣的物體。從而得出：

抽屜原理1：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2

個以上的物體。

再看下面的兩個例子：

(4)把30個蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽屜中的

蘋果數(shù)都小于等于5?

(5)把30個以上的蘋果放到6個抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個抽

屜中的蘋果數(shù)都小于等于5?

解答：(4)存在這樣的放法。即：每個抽屜中都放5個蘋果；(5)不存在這樣的放

法。即：無論怎么放，都會找到一個抽屜，它里面至少有6個蘋果。

從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律：

抽屜原理2：把多于mxn個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m+1

個或多于m+1個的物體。

可以看出，“原理1”和“原理2”的區(qū)別是：“原理1”物體多，抽屜少，數(shù)量比

較接近；“原理2”雖然也是物體多，抽屜少，但是數(shù)量相差較大，物體個數(shù)比抽

屜個數(shù)的幾倍還多幾。

以上兩個原理，就是我們解決抽屜問題的重要依據(jù)。抽屜問題可以簡單歸結(jié)為一句

話：有多少個蘋果，多少個抽屜，蘋果和抽屜之間的關(guān)系。解此類問題的重點(diǎn)就是

要找準(zhǔn)“抽屜”，只有“抽屜”找準(zhǔn)了，“蘋果”才好放。

我們先從簡單的問題入手：

（1）3只鴿子飛進(jìn)了2個鳥巢，則總有1個鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案：2只）

（2）把,3本書放進(jìn)2個書架，則總有1個書架上至少放著幾本書？（答案：2本）

（3）把3封信投進(jìn)2個郵筒，則總有1個郵筒投進(jìn)了不止幾封信？（答案：1封）

（4）1000只鴿子飛進(jìn)50個巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個含鴿子最多的

巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案：1000-50=20,所以答案為20只）

（5）從8個抽屜中拿出17個蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個拿蘋果最多

的抽屜，從它里面至少拿出了幾個蘋果？（答案：17+8=2……1,2+1=3,所以

答案為3）

（6）從幾個抽屜中（填最大數(shù)）拿出25個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，

從它當(dāng)中至少拿了7個蘋果？（答案：25+口=6……□,可見除數(shù)為4,余數(shù)為1,

抽屜數(shù)為4,所以答案為4個）

抽屜問題又稱為鳥巢問題、書架問題或郵筒問題。如上面（1）、（2）、（3）題，講

的就是這些原理。上面（4）、（5）、（6）題的規(guī)律是：物體數(shù)比抽屜數(shù)的幾倍還多

幾的情況，可用“蘋果數(shù)”除以“抽屜數(shù)”，若余數(shù)不為零，貝4“答案”為商加1;

若余數(shù)為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數(shù)”和“答案”來求

“抽屜數(shù)”。

抽屜問題的用處很廣，如果能靈活運(yùn)用，可以解決一些看上去相當(dāng)復(fù)雜、覺得無從

下手，實(shí)際上卻是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問題。

例1：某班共有13個同學(xué)，那么至少有幾人是同月出生？（）

A.13B.12C.6D.2

解1：找準(zhǔn)題中兩個量，一個是人數(shù)，一個是月份，把人數(shù)當(dāng)作“蘋果”，把月份

當(dāng)作“抽屜”，那么問題就變成：13個蘋果放12個抽屜里，那么至少有一個抽屜

里放兩個蘋果?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理1”】

例2：某班參加一次數(shù)學(xué)競賽，試卷滿分是30分。為保證有2人的得分一樣，該

班至少得有幾人參賽？（）

A.30B.31C.32D.33

解2：毫無疑問，參賽總?cè)藬?shù)可作“蘋果”，這里需要找“抽屜”，使找到的“抽屜”

滿足：總?cè)藬?shù)放進(jìn)去之后，保證有1個“抽屜”里，有2人。仔細(xì)分析題目，“抽

屜”當(dāng)然是得分，滿分是30分，則一個人可能的得分有31種情況（從0分到30

分），所以“蘋果”數(shù)應(yīng)該是31+1=32?！疽阎O果和抽屜，用“抽屜原理2”】

例3.在某校數(shù)學(xué)樂園中，五年級學(xué)生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差

不到1歲，我們不用去查看學(xué)生的出生日期，就可斷定在這400個學(xué)生中至少有兩

個是同年同月同日出生的，你知道為什么嗎？

解3:因?yàn)槟挲g最大的與年齡最小的相差不到1歲，所以這400名學(xué)生出生的日期

總數(shù)不會超過366天，把400名學(xué)生看作400個蘋果，366天看作是366個抽屜，

（若兩名學(xué)生是同一天出生的，則讓他們進(jìn)入同一個抽屜，否則進(jìn)入不同的抽屜）

由“抽屜原則2"知“無論怎么放這400個蘋果，一定能找到一個抽屜，它里面至

少有2（400+366=1……1,1+1=2）個蘋果”。即：一定能找到2個學(xué)生，他們

是同年同月同日出生的。

例4：有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果讓你閉上眼睛去摸，（1）

你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（2）至少拿幾根,

才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？

解4：把i3種顏色的筷子當(dāng)作3個抽屜。貝心

（1）根據(jù)“抽屜原理1\至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最

特殊的情況想起，假定3種顏色的筷子各拿了3根，也就是在3個“抽屜”里各拿

了3根筷子，不管在哪個“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以

一次至少應(yīng)拿出3x3+1=10（＜）筷子，就能保證有4根筷子同色。

例5.證明在任意的37人中，至少有4人的屬相相同。

解5:將37人看作37個蘋果，12個屬相看作是12個抽屜，由“抽屜原理2”知，

“無論怎么放一定能找到一個抽屜，它里面至少有4個蘋果”。即在任意的37人中，

至少有4（37+12=3……1,3+1=4）人屬相相同。

例6:某班有個小書架，40個同學(xué)可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，

才能保證至少有1個同學(xué)能借到2本或2本以上的書？

分析：從問題“有1個同學(xué)能借到2本或2本以上的書”我們想到，此話對應(yīng)于“有

一個抽屜里面有2個或2個以上的蘋果"。所以我們應(yīng)將40個同學(xué)看作40個抽屜,

將書本看作蘋果，如某個同學(xué)借到了書，就相當(dāng)于將這個蘋果放到了他的抽屜中。

解6:將40個同學(xué)看作40個抽屜，書看作是蘋果，由“抽屜原理1"知：要保證

有一個抽屜中至少有2個蘋果，蘋果數(shù)應(yīng)至少為40+1=41（個）。即：小書架上

至少要有41本書。

下面我們來看兩道國考真題：

例7:（國家公務(wù)員考試2004年B類第48題的珠子問題）：

有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝在一個袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏

色

相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（）

A.3B.4C.5D.6

解7:把珠子當(dāng)成“蘋果”，一共有10個，則珠子的顏色可以當(dāng)作“抽屜”，為保

證

摸出的珠子有2顆顏色一樣，我們假設(shè)每次摸出的分別都放在不同的“抽屜”里，

摸了4

個顏色不同的珠子之后，所有“抽屜”里都各有一個，這時(shí)候再任意摸1個，則一

定有

一個“抽屜”有2顆，也就是有2顆珠子顏色一樣。答案選C。

例8:（國家公務(wù)員考試2007年第49題的撲克牌問題）：

從一副完整的撲克牌中，至少抽出（）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同？

A.21B.22C.23D.24

解8:完整的撲克牌有54張，看成54個“蘋果”，抽屜就是6個（黑桃、紅桃、

梅花、方塊、大王、小王），為保證有6張花色一樣，我們假設(shè)現(xiàn)在前4個“抽屜”

里各放了5張，后兩個“抽屜”里各放了1張，這時(shí)候再任意抽取1張牌，那么前

4個“抽屜”里必然有1個“抽屜”里有6張花色一樣。答案選C。

歸納小結(jié)：解抽屜問題，最關(guān)鍵的是要找到誰為“蘋果”，誰為“抽屜”，再結(jié)合兩

個原理進(jìn)行相應(yīng)分析?？梢钥闯鰜?，并不是每一個類似問題的“抽屜”都很明顯，

有時(shí)候“抽屜”需要我們構(gòu)造，這個“抽屜”可以是日期、撲克牌、考試分?jǐn)?shù)、年

齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會超出這個范圍。

八.“牛吃草”問題

牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每

天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少

天。

解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再

求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。

這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：

1.（牛的頭數(shù)X吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)X吃草較少的天數(shù)）一（吃的較多的

天數(shù)-吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長草的量。

2.牛的頭數(shù)X吃草天數(shù)-每天新長量X吃草天數(shù)=草地原有的草。

下面來看幾道典型試題：

例1.

由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天一均勻的速度減少。經(jīng)計(jì)算，牧場上的草

可供20頭牛吃5天，或供16頭牛吃6天。那么可供11頭牛吃幾天？()

A.12B.10C.8D.6

【答案】C。

解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天減少(20x5-16x6)+(6

-5)=4份草，原來牧場上有20x5+5x4=120份草，故可供11頭牛吃120+(11+4)

=8天。

例2.

有一片牧場，24頭牛6天可以將草吃完；21頭牛8天可以吃完，要使牧草永

遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧幾頭牛？()

A.8B.10C.12D.14

【答案】C。

解析：設(shè)每頭牛每天吃1份草，則牧場上的草每天生長出(21x8-24x6)+

(8-6)=12份，如果放牧12頭牛正好可吃完每天長出的草，故至多可以放牧12

頭牛。

例3.

有一個水池，池底有一個打開的出水口。用5臺抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽完，

用8臺抽水機(jī)15小時(shí)可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時(shí)間將水漏完？

()

A.25B.30C.40D.45

【答案】瓦

解析：出水口每小時(shí)漏水為(8x15-5x20)+(20-15)=4份水，原來有

水8x15+4x15=180份，故需要180+4=45小時(shí)漏完。

練習(xí)：

1.一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每頭牛

每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃這一片草，幾

天可以吃完？（）

A.10B.8C.6D.4

2.兩個孩子逆著自動扶梯的方向行走。20秒內(nèi)男孩走27級，女孩走了24級,

按此速度男孩2分鐘到達(dá)另一端，而女孩需要3分鐘才能到達(dá)。則該扶梯靜止時(shí)共

有多少級可以看見？（）

A.54B.48C.42D.36

3.22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝

的草，84天可以吃盡。請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天吃盡？（）

A.50B.46C.38D.35

九.利潤問題

利潤就是掙的錢。利潤占成本的百分?jǐn)?shù)就是利潤率。商店有時(shí)減價(jià)出售商品，我們

把它稱為“打折”，幾折就是百分之幾十。如果某種商品打“八折”出售，就是按

原價(jià)的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原價(jià)的85%出售。利潤問

題中，還有一種利息和利率的問題，屬于百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。本金是存入銀行的錢。利

率是銀行公布的，是把本金看做單位“1”，按百分之幾或千分之幾付給儲戶的。利

息是存款到期后，除本金外，按利率付給儲戶的錢。本息和是本金與利息的和。

這一問題常用的公式有：

定價(jià)=成本+利潤X100%

利潤=成本x利潤率售價(jià)=定價(jià)X折扣的百分?jǐn)?shù)

定價(jià)=成本X（1+利潤率）利息=本金X利率X期數(shù)

利潤率=利潤+成本本息和=本金X（1+利率X期數(shù)）

利潤的百分?jǐn)?shù)=（售價(jià)-成本）+成本

例1某商品按20%的利潤定價(jià)，又按八折出售，結(jié)果虧損4元錢。這件商品的

成本是多少元？

A.80B.100C.120D.150

【答案】B。解析：現(xiàn)在的價(jià)格為（1+20%）x80%=96%,故成本為4+（1-96%）=100

TILc

例2某商品按定價(jià)出售，每個可以獲得45元的利潤，現(xiàn)在按定價(jià)的八五折出

售8個，按定價(jià)每個減價(jià)35元出售12個，所能獲得的利潤一樣。這種商品每個定

價(jià)多少元？0

A.100B.120C.180D.200

【答案】D。解析：每個減價(jià)35元出售可獲得利潤(45-35)x12=120元，則如

按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤120+8=15元，少獲得45-15=30元，故

每個定價(jià)為30+(1-85%)=200元。

例3一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)比乙店便宜12%,兩店同樣按20%的利潤定價(jià)，這

樣1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定價(jià)是多少元？0

A.1000B,1024C.1056D.1200

【答案】C。解析：設(shè)乙店進(jìn)貨價(jià)為x元，可列方程20%x-20%x(1-12%)x=24,

解得x=1000,故甲店定價(jià)為1000x(1-12%)x(1+20%)=1056元。

練習(xí)：

1.書店賣書，凡購?fù)环N書100本以上，就按書價(jià)的90%收款，某學(xué)校到書店

購買甲、乙兩種書，其中乙書的冊數(shù)是甲書冊數(shù)的，只有甲種書得到了優(yōu)惠，這

時(shí)，買甲種書所付總錢數(shù)是買乙種書所付錢數(shù)的2倍，已知乙種書每本定價(jià)是1.5

元，優(yōu)惠前甲種書每本定價(jià)多少元？

A.4B.3C.2D.1

2.某書店對顧客實(shí)行一項(xiàng)優(yōu)惠措施：每次買書200元至499.99元者優(yōu)惠5%,

每次買書500元以上者(含500元)優(yōu)惠10%。某顧客到書店買了三次書，如果第一

次與第二次合并一起買，比分開買便宜13.5元；如果三次合并一起買比三次分開

買便宜39.4元。已知第一次付款是第三次付款的，這位顧客第二次買了多少錢的

書？

A.115B.120C.125D.130

3.商店新進(jìn)一批洗衣機(jī)，按30%的利潤定價(jià)，售出60%以后，打八折出售，這

批洗衣機(jī)實(shí)際利潤的百分?jǐn)?shù)是多少？

A.18.4B.19.2C.19.6D.20

十.平均數(shù)問題

這里的平均數(shù)是指算術(shù)平均數(shù)，就是n個數(shù)的和被個數(shù)n除所得的商，這里的n大

于或等于2。通常把與兩個或兩個以上數(shù)的算術(shù)平均數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，叫做平均數(shù)

問題。平均數(shù)應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：

總數(shù)量和+總份數(shù)=平均數(shù)

平均數(shù)X總份數(shù)=總數(shù)量和

總數(shù)量和+平均數(shù)=總份數(shù)

解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對應(yīng)的總份數(shù)。

例1：在前面3場擊球游戲中，某人的得分分別為130、143、144。為使4場

游戲得分的平均數(shù)為145,第四場他應(yīng)得多少分？（）

【答案】C。解析：4場游戲得分平均數(shù)為145,則總分為145x4=580,故第

四場應(yīng)的580-130-143-144=163分。

例2：李明家在山上，爺爺家在山下，李明從家出發(fā)一每分鐘90米的速度走

了10分鐘到了爺爺家?；貋頃r(shí)走了15分鐘到家，則李是多少？（）

A.72米/分B.80米/分C.84米/分D90米/分

【答案答。解析:李明往返的總路程是90xiox2=1800（米），總時(shí)間為10+15=25

均速度為1800-25=72米/分。

例3:某校有有100個學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，平均得63分，其中男生平均60

分，女生平均70分，則男生比女生多多少人？（）

A.30B.32C.40D.45

【答案】C.解析：總得分為63x100=6300,假設(shè)女生也是平均60分，那么

100個學(xué)生共的6000分，這樣就比實(shí)得的總分少300分。這是女生平均每人比男

生高10分，所以這少的300分是由于每個女生少算了10分造成的，可見女生有

300+10=30人，男生有100-30=70人，故男生比女生多70-30=40人。

練習(xí)：

1.5個數(shù)的平均數(shù)是102。如果把這5個數(shù)從小到大排列，那么前3個數(shù)的平

均數(shù)是70,后3個數(shù)的和是390。中間的那個數(shù)是多少？（）A.80

B.88C.90D.96

2.甲、乙、丙3人平均體重47千克，甲與乙的平均體重比丙的體重少6千克，

甲比丙少3

千克，則乙的體重為（）千克。A.46B.47C.43D.42

3.一個旅游團(tuán)租車出游，平均每人應(yīng)付車費(fèi)40元。后來又增加了8人，這樣

每人應(yīng)付的車

費(fèi)是35元，則租車費(fèi)是多少元？（）A.320B.2240C.2500D.320

十一.方陣問題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則

正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。

核心公式：

1.方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）

2.方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)+4）+1

3.方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2

4.去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)x2-l

例1學(xué)校學(xué)生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學(xué)生多少人?

A.256人B.250人C.225人D.196人（2002年A類真題）

解析：正確答案為A。方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。

根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)+4+1,可以求出方陣

最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16（人）整個方陣共有學(xué)生人數(shù):

16x16=256（人）。

例2參加中學(xué)生運(yùn)動會團(tuán)體操比賽的運(yùn)動員排成了一個正方形隊(duì)列。如果要使這

個正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動員有多

少人？

分析如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每

行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5,去一行、一列則一共要去9人，因而我

們可以得到如下公式：

去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)x2-1

解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。

原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33,則去掉的一行（或一列）人數(shù)=（33+1）-2

=17

方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為17x17=289（人）

練習(xí)：

1.小紅把平時(shí)節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成個正三角形，正好用完，后來又改

圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬

幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是（）:

A.1元B.2元C.3元D.4元（2005年中央真題）

2.某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余100人；第二次比第一次每

行、每列都增加3人，又少29人。儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)為多少？

答案：1.C2.500人

十二.年齡問題

主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是

“和差”、“差倍”等問題的綜合應(yīng)用。解題時(shí)，我們一定要抓住年齡差不變這個解

題關(guān)鍵。

解答年齡問題的一般方法：

幾年后的年齡=大小年齡差一倍數(shù)差-小年齡

幾年前的年齡=小年齡-大小年齡差+倍數(shù)差

例1：

甲對乙說：當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對甲說：當(dāng)我的歲數(shù)到你現(xiàn)

在的歲數(shù)時(shí)，你將有67歲，甲乙現(xiàn)在各有：

A.45歲，26歲B.46歲，25歲C.47歲，24歲D.48歲，23歲

【答案】B。

解析：甲、乙二人的年齡差為（67-4）+3=21歲，故今年甲為67-21=46歲，乙

的年齡為45-21=25歲。

例2：

爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時(shí)，妹妹是

9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時(shí)，爸爸34歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？

A.34B.39C.40D.42

【答案】C。

解析：解法一：用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方

程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一

次方程：x+y+z=64;x-(z-9)=3[y-(z-9)];y-(x-34)=2[z-(x-34)]0可求得x=40。

例3:

1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問

甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲？

A.34歲，12歲B.32歲，8歲C.36歲，12歲D.34歲，10歲

【答案】C。

解析：抓住年齡問題的關(guān)鍵即年齡差，1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍，則甲

乙的年齡差為3倍乙的年齡，2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍，此時(shí)甲乙的

年齡差為2倍乙的年齡，根據(jù)年齡差不變可得

3x1998年乙的年齡=2x2002年乙的年齡

3x1998年乙的年齡=2x(1998年乙的年齡+4)

1998年乙的年齡=4歲

則2000年乙的年齡為10歲。

練習(xí)：

1.爸爸在過50歲生日時(shí)，弟弟說：“等我長到哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，我和哥哥的年

齡之和等于那時(shí)爸爸的年齡”，那么哥哥今年多少歲？

A.18B.20C.25D.28

2.甲、乙兩人的年齡和正好是80歲，甲對乙說：“我像你現(xiàn)在這么大時(shí)，你的年

齡正好是我的年齡的一半/甲今年多少歲？()

A.32B.40C.48D.45

3.父親與兒子的年齡和是66歲，父親的年齡比兒子年齡的3倍少10歲，那么多

少年前父親的年齡是兒子的5倍？()

A.10B.11C.12D.13

十三.比例問題

解決好比例問題，關(guān)鍵要從兩點(diǎn)入手：第一，“和誰比”；第二，“增加或下降多少”。

例1b比a增加了20%,則b是a的多少？a又是b的多少呢？

解析：可根據(jù)方程的思想列式得ax(1+20%)=b,所以b是a的1.2倍。

A/b=1/1.2=5/6,所以a是b的5/6。

例2養(yǎng)魚塘里養(yǎng)了一批魚，第一次捕上來200尾，做好標(biāo)記后放回魚塘，數(shù)

日后再捕上100尾，發(fā)現(xiàn)有標(biāo)記的魚為5尾，問魚塘里大約有多少尾魚？

A.200B.4000C.5000D.6000(2004年中央B類真題)

解析：方程法：可設(shè)魚塘有X尾魚，則可列方程，100/5=X/200,解得X=4000,

選擇B。

例32001年，某公司所銷售的計(jì)算機(jī)臺數(shù)比上一年度上升了20%,而每臺的

價(jià)格比上一年度下降了20%。如果2001年該公司的計(jì)算機(jī)銷售額為3000萬元，那

么2000年的計(jì)算機(jī)銷售額大約是多少？

A.2900萬元B.3000萬元C.3100萬元D.3300萬元（2003年中央A類

真題）

解析：方程法：可設(shè)2000年時(shí)，銷售的計(jì)算機(jī)臺數(shù)為X,每臺的價(jià)格為Y,顯

然由題意可知，2001年的計(jì)算機(jī)的銷售額=X（1+20%）Y（1-20%）,也即3000萬

=0.96XY,顯然XY=3100。答案為C。

特殊方法：對一商品價(jià)格而言，如果上漲X后又下降X,求此時(shí)的商品價(jià)格原

價(jià)的多少？或者下降X再上漲X,求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少？只要上漲和下降

的百分比相同，我們就可運(yùn)用簡化公式，1-X。但如果上漲或下降的百分比不相

同時(shí)則不可運(yùn)用簡化公式，需要一步一步來。對于此題而言，計(jì)算機(jī)臺數(shù)比上一年

度上升了20%,每臺的價(jià)格比上一年度下降了20%,因?yàn)殇N售額=銷售臺數(shù)x每

臺銷售價(jià)格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷售額上漲了20%又下降了

20%,因而2001年是2000年的1-（20%）=0.96,2001年的銷售額為3000萬，

則2000年銷售額為30004-0.96?3100.

例4生產(chǎn)出來的一批襯衫中大號和小號各占一半。其中25%是白色的，75%是

藍(lán)色的。如果這批襯衫總共有100件，其中大號白色襯衫有10件，問小號藍(lán)色襯

衫有多少件？

A.15B.25C.35D.40（2003年中央A類真題）

解析：這是一道涉及容斥關(guān)系（本書后面會有專題講解）的比例問題。

根據(jù)已知大號白=10件，因?yàn)榇筇柟?0件，所以，大號藍(lán)=40件；

大號藍(lán)=40件，因?yàn)樗{(lán)色共75件，所以，小號藍(lán)=35件；

此題可以用另一思路進(jìn)行解析（多進(jìn)行這樣的思維訓(xùn)練，有助于提升解題能力）

大號白=10件，因?yàn)榘咨?5件，所以，小號白=15件；

小號白=15件，因?yàn)樾√柟?0件，所以，小號藍(lán)=35件；

所以，答案為c。

例5某企業(yè)發(fā)獎金是根據(jù)利潤提成的，利潤低于或等于10萬元時(shí)可提成10%;

低于或等于20萬元時(shí)，高于10萬元的部分按7.5%提成；高于20萬元時(shí)，高于20

萬元的部分按5%提成。當(dāng)利潤為40萬元時(shí)，應(yīng)發(fā)放獎金多少萬元？

A.2B.2.75C.3D.4.5(2003年中央A類真題)

解析：這是一個種需要讀懂內(nèi)容的題型。根據(jù)要求進(jìn)行列式即可。

獎金應(yīng)為10x10%+(20-10)x7.5%+(40-20)x522.75

所以，答案為瓦

例6某企業(yè)去年的銷售收入為1000萬元，成本分生產(chǎn)成本500萬元和廣告費(fèi)

200萬元兩個部分。若年利潤必須按P%納稅，年廣告費(fèi)超出年銷售收入2%的部

分也必須按P%納稅，其它不納稅，且已知該企業(yè)去年共納稅120萬元，則稅率P

%為

A.40%B.25%C.12%D.10%(2004年江蘇真題)

解析：選用方程法。根據(jù)題意列式如下：

(1000-500-200)xp%+(200-1000x2%)xp%=i20

即480xp%=120

P%=25%

所以，答案為B。

例7甲乙兩名工人8小時(shí)共加736個零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%,

問乙每小時(shí)加工多少個零件？

A.30個B.35個C.40個D.45個(2002年A類真題)

解析：選用方程法。設(shè)乙每小時(shí)加工X個零件，則甲每小時(shí)加工1.3X個零件,

并可列方程如下：

(1+1.3X)x8=736

X=40

所以，選擇C。

例8已知甲的12%為13,乙的13%為14,丙的14%為15,丁的15%為16,則

甲、乙、丙、丁4個數(shù)中最大的數(shù)是：

A.甲B.乙C.丙D.T（2001年中央真題）

解析：顯然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%,顯然最大與最小

就在甲、乙之間，所以比較甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1,

所以，甲〉乙>丙>丁，選擇A。

例10某儲戶于1999年1月1日存入銀行60000元，年利率為2.00%,存款

到期日即2000年1月1日將存款全部取出，國家規(guī)定凡1999年11月1日后孳生

的利息收入應(yīng)繳納利息稅，稅率為20%,則該儲戶實(shí)際提取本金合計(jì)為

A.61200元B.61160元C.61000元D.60040元

解析，如不考慮利息稅，則1999年1月1日存款到期日即2000年1月1可

得利息為60000x2%=1200,也即100元/月，但實(shí)際上從1999年11月1日后要收

20%利息稅,也即只有2個月的利息收入要交稅,稅額=200x20%=40元

所以，提取總額為60000+1200-40=61160,正確答案為B。

十四.尾數(shù)計(jì)算問題

1.尾數(shù)計(jì)算法

知識要點(diǎn)提示：尾數(shù)這是數(shù)學(xué)運(yùn)算題解答的一個重要方法，即當(dāng)四個答案全不

相同時(shí)，我們可以采用尾數(shù)計(jì)算法，最后選擇出正確答案。

首先應(yīng)該掌握如下知識要點(diǎn)：

2452+613=3065和的尾數(shù)5是由一個加數(shù)的尾數(shù)2加上另一個加數(shù)的尾數(shù)3

得到的。

2452-613=1839差的尾數(shù)9是由被減數(shù)的尾數(shù)2減去減數(shù)的尾數(shù)3得到。

2452x613=1503076積的尾數(shù)6是由一個乘數(shù)的尾2乘以另一個乘數(shù)的尾數(shù)

3得到。

2452+613=4商的尾數(shù)4乘以除數(shù)的尾數(shù)3得到被除數(shù)的尾數(shù)2,除法的尾

數(shù)有點(diǎn)特殊，請學(xué)員在考試運(yùn)用中要注意。

例199+1919+9999的個位數(shù)字是（）。

A.1B.2C.3D.7（2004年中央A、B類真題）

解析：答案的尾數(shù)各不相同，所以可以采用尾數(shù)法。9+9+9=27,所以答案

為D。

例2請計(jì)算(1.1)2+(1.2)2+(1.3)2+(1.4)2值是:

A.5.04B.5.49C.6.06D.6.30型(2002年中央A類真題)

解析：(1.1)2的尾數(shù)為1,(1.2)2的尾數(shù)為4,(1.3)2的尾數(shù)為9,(1.4)

2的尾數(shù)為6,所以最后和的尾數(shù)為1+3+9+6的和的尾數(shù)即0,所以選擇D答案。

例33x999+8x99+4x9+8+7的值是：

A.3840B.3855C.3866D.3877(2002年中央B類真題)

解析：運(yùn)用尾數(shù)法。尾數(shù)和為7+2+6+8+7=30,所以正確答案為A。

2.自然數(shù)N次方的尾數(shù)變化情況

知識要點(diǎn)提示：

我們首先觀察2n的變化情況

21的尾數(shù)是2

22的尾數(shù)是4

23的尾數(shù)是8

24的尾數(shù)是6

25的尾數(shù)又是2

我們發(fā)現(xiàn)2的尾數(shù)變化是以4為周期變化的即21、25、29……24n+l的尾數(shù)

都是相同的。

3n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為3,9,7,1,3,9,7,1

7n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為9,3,1,7,9,3,1,7

8n是以“4”為周期進(jìn)行變化的，分別為8,4,2,6,8,4,2,6

4n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為4,6,4,6,

9n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為9,1,9,1,

5n、6n尾數(shù)不變。

例1的末位數(shù)字是:

A.1B.3C.7D.9（2005年中央甲類真題）

解析：9n是以“2”為周期進(jìn)行變化的，分別為9,1,9,1,……即當(dāng)奇數(shù)

方時(shí)尾數(shù)為“9”，當(dāng)偶數(shù)方時(shí)尾數(shù)為“1”，1998為偶數(shù)，所以原式的尾數(shù)為“1”，

所以答案為A.

例219881989+1989的個位數(shù)是（2000年中央真題）

A.9B.7C.5D.3

解析：由以上知識點(diǎn)我們可知19881989的尾數(shù)是由81989的尾數(shù)確定的，

1989+4=497余1,所以81989的尾數(shù)和81的尾數(shù)是相同的，即19881989的尾

數(shù)為8。

我們再來看19891988的尾數(shù)是由91988的尾數(shù)確定的，1988+4=497余0,

這里注意當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，尾數(shù)應(yīng)和94、98、912……94n尾數(shù)一致，所以91988

的尾數(shù)與94的尾數(shù)是相同的，即為1。

綜上我們可以得到19881989+19891988尾數(shù)是8+1=9,所以應(yīng)選擇C。

十五.最小公倍數(shù)和最小公約數(shù)問題

1.關(guān)鍵提示：

最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不難，但一定要細(xì)致審題，千萬不要粗心。

另外這類題往往和日期（星期幾）問題聯(lián)系在一起，要學(xué)會求余。

2.核心定義:

(1)最大公約數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù),

b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最

大的一個公約數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。

(2)最小公倍數(shù)：如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù),

b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù).公倍數(shù)中最

小的一個大于零的公倍數(shù)，叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

例題1：甲每5天進(jìn)城一次，乙每9天進(jìn)城一次，丙每