北京市人民大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

北京市人民大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.2．命題P：ax2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，若￢p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}3．“”是“圓與軸相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.35．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.6．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.7．函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定8．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和10．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.811．下列三個命題：①“若，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b全不為0，則”；②若事件A與事件B互斥，則；③設(shè)命題p：若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù)，那么是真命題；其中真命題的個數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.012．在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比q為正整數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則______14．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.15．如圖三角形數(shù)陣：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的順序，位于第行的第列，則______.16．函數(shù)，則函數(shù)在處切線的斜率為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值19．（12分）已知二次函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若，解關(guān)于x的不等式.20．（12分）如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點，點P在橢圓C上，軸，點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且，.（1）求橢圓C的方程；（2）已知M，N是橢圓C上的兩點，若點，，試探究點M，，N是否一定共線？說明理由.21．（12分）已知等比數(shù)列前3項和為（1）求的通項公式；（2）若對任意恒成立，求m的取值范圍22．（10分）如圖，在多面體中，和均為等邊三角形，D是的中點，.（1）證明：；（2）若，求多面體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長弦，最短弦為過點與垂直的弦，再求得BD的長，可得面積.【詳解】圓化簡為可得圓心為易知過點的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D2、C【解析】根據(jù)是假命題，判斷出是真命題.對分成，和兩種情況，結(jié)合方程有實數(shù)根，求得的取值范圍.詳解】┐p是假命題，則p是真命題，∴ax2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，當(dāng)a＝0時，方程為2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合題意；當(dāng)a≠0時，方程有根，等價于△＝4+4a≥0，∴a≥﹣1且，綜上所述，a的可能取值為a≥﹣1故選：C【點睛】本小題主要考查根據(jù)命題否定的真假性求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)充分不必要條件的定義和圓心到軸的距離求出可得答案.【詳解】時，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，此時圓與軸相切；當(dāng)圓與軸相切時，因為圓的半徑為2，所以圓心到軸的距離為，所以，“”是“圓與軸相切”的充分不必要條件故選：A4、D【解析】設(shè)出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設(shè)過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D5、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒6、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點睛】本題考查的知識要點：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可比較.【詳解】，，所以，即.故選：A.8、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.9、C【解析】求導(dǎo)后，由可解得結(jié)果.【詳解】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.11、B【解析】寫出逆否命題可判斷①；根據(jù)互斥事件的概率定義可判斷②；根據(jù)寫出再判斷真假可判斷③.【詳解】對于①，“，則a，b全為0”的逆否命題是“若a，b不全為0，則”，故①錯誤；對于②，滿足互斥事件的概率求和的方法，所以②為真命題；③命題p：若m是質(zhì)數(shù)，則m一定是奇數(shù).2是質(zhì)數(shù)，但2是偶數(shù)，命題p是假命題，那么真命題故選：B.12、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計算可得；【詳解】解：因為，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因為，所以，所以；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知等差、等比數(shù)列以及，，是正整數(shù)，可得，結(jié)合q為正整數(shù)，進(jìn)而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又為正整數(shù)，所以當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得不是正整數(shù)，故答案為：14、1【解析】由題意，可得，設(shè)，，，根據(jù)是線段的中點，求出的坐標(biāo)，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結(jié)論【詳解】解：由題意，可得，設(shè)，，，，是線段的中點，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：115、【解析】由題意可知到第行結(jié)束一共有個數(shù)字，由此可知在第行；又由圖可知，奇數(shù)行從左到右是從小到大排列，偶數(shù)行從左到右是從大到小排列，第行個數(shù)字從大到小排列，由此可知在到數(shù)第列，據(jù)此即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由圖可知，第1行有1個數(shù)字，第2行有2個數(shù)字，第2行有3個數(shù)字，……第行有個數(shù)字，由此規(guī)律可知，到第行結(jié)束一共有個數(shù)字；又當(dāng)時，，所以第行結(jié)束一共有個數(shù)字；當(dāng)時，，所以在第行，故；由圖可知，奇數(shù)行從左到右是從小到大排列，偶數(shù)行從左到右是從大到小排列，第行是偶數(shù)行，共個數(shù)字，從大到小排列，所以在倒數(shù)第列，所以，所以.故答案為：.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以，所以函數(shù)在處切線的斜率為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)兩點在圓上利用兩點的距離公式建立關(guān)于的方程，解出值．從而求出圓的圓心和半徑，可得圓的方程【詳解】解：∵圓心在直線，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)點和在圓上，可得解之得.∴圓心坐標(biāo)為，半徑.因此，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在平面中構(gòu)造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個平面的法向量，利用向量法即可求得兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，如下所示：因為為正方形，為中點，故可得//；在△中，因為分別為的中點，故可得//；故可得//，則四邊形為平行四邊形，即//，又面面，故//面.【小問2詳解】因為面面，故可得，又底面為正方形，故可得，則兩兩垂直；故以為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：故可得，設(shè)平面的法向量為，又則，即，不妨取，則，則，取面的法向量為，故.設(shè)平面的夾角為，故可得，即平面MND與平面PAD的夾角的余弦值為.19、（1）（2）當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為當(dāng)時，不等式的解集為【解析】（1）帶入，將化解為，再利用基本不等式求最值即可；（2）將不等式移項整理為，再對a分類討論，比較兩根的大小，即可求得解集.【小問1詳解】當(dāng)a=3時，函數(shù)可整理為，因為，所以利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，y取到最小值.所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.【小問2詳解】將不等式整理為，令，即，解得兩根為與1，因為，當(dāng)時，即時，此時的解集為；當(dāng)時，即時，此時的解集為；當(dāng)時，即時，此時的解集為.綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.20、（1）（2）不一定共線，理由見解析【解析】（1）由橢圓定義可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察軸時的情況，分析可知M，，N不一定共線.【小問1詳解】由題意得，，設(shè)，，代入橢圓C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)軸時，，設(shè)，，則由已知條件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以當(dāng)時，點M，，N共線；所以當(dāng)時，點M，，N不共線.所以點M，，N不一定共線.21、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的基本量，列式，即可求得首項和公比，再求通項公式；（2）由題意轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項和的最大值，即可求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，①，即，得，即，代入①得，解得：，所以；【小