2025屆云南省新平縣一中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆云南省新平縣一中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，4．設(shè)P是雙曲線上的點(diǎn)，若，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則（）A.4 B.5C.8 D.105．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，，則（）A. B.4C. D.16．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.97．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.8．在正方體中，下列幾種說(shuō)法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為9．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)有一條弦是左焦點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)為（）A.28 B.C. D.10．已知，滿足，則的最小值為（）A.5 B.-3C.-5 D.-911．設(shè)函數(shù)的圖象為C，則下面結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)D.圖象C可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到12．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若數(shù)列滿足，則稱為“追夢(mèng)數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.14．雙曲線的焦距為____________15．已知雙曲線：，斜率為的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線AP交E于另一點(diǎn)C，直線BP交E于另一點(diǎn)D．若直線CD的斜率為，則E的離心率為___________16．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)34567402.5-0.50.5-2得到的回歸方程為若，則的值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在二項(xiàng)式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問(wèn)題：（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式的常數(shù)項(xiàng).18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)19．（12分）如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的水槽，水面高度恰為正方體棱長(zhǎng)的一半，在該正方體側(cè)面有一個(gè)小孔（小孔的大小忽略不計(jì)）E，E點(diǎn)到CD的距離為3，若該正方體水槽繞CD傾斜（CD始終在桌面上）.（1）證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成的角的大小.20．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說(shuō)明理由.21．（12分）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知拋物線過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過(guò)定點(diǎn).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結(jié)合判別式與二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D2、B【解析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以，，因?yàn)?，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.3、D【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.4、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得：，結(jié)合雙曲線的方程可得答案.【詳解】由雙曲線可得根據(jù)雙曲線的定義可得：故選：C5、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，故，即，解得故選：D6、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C7、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.8、D【解析】在正方體中，利用線面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，連接AC，則AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正確；對(duì)于B，∵B1C∥D，即B1C與BD所成的角為∠DB，連接△DB為等邊三角形，∴B1C與BD所成的角為60°，故B正確；對(duì)于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B?平面A1BC，AB?平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正確；對(duì)于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D錯(cuò)誤故選D【點(diǎn)睛】本題考查了線面的空間位置關(guān)系及空間角，做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力9、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長(zhǎng)【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長(zhǎng)，故選：C10、D【解析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】解：作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在中，，當(dāng)直線向下平移時(shí)，增大，因此把直線向上平移，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，故選：D11、B【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，求解最小正周期，判斷選項(xiàng)A，利用整體法求解函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間，判斷選項(xiàng)BC，再由圖象變換法則判斷選項(xiàng)D.【詳解】，所以函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)；令，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；由，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，C錯(cuò)；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，D錯(cuò).故選：B12、D【解析】由等比中項(xiàng)轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即得解【詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題意，由“追夢(mèng)數(shù)列”的定義可得“追夢(mèng)數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案【詳解】根據(jù)題意，“追夢(mèng)數(shù)列”滿足，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則.故答案為：.14、【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.15、【解析】分別設(shè)線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法可表示出，由平行關(guān)系易知三點(diǎn)共線，從而利用斜率相等的關(guān)系構(gòu)造方程，代入整理可得到關(guān)系，利用雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)，兩式相減得：…①設(shè)，，線段的中點(diǎn)同理可得：…②，易知三點(diǎn)共線，將①②代入得：，所以，即，由題意可得，故.∴，即故答案為：16、-1.4##【解析】分別求出的值，即得到樣本中心點(diǎn)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在回歸直線上，可求得答案.【詳解】，則得到樣本中心點(diǎn)為，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)一定在回歸直線上，故，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數(shù)公式，計(jì)算即可；選擇②：轉(zhuǎn)化為，計(jì)算即可（1）由于共9項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）寫出展開式的通項(xiàng)，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，，.（2）展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為.18、（1）；（2）見(jiàn)解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即．再由求即可.（2）設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，再運(yùn)算將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)有與k無(wú)關(guān)即可.【詳解】（1）由圓方程中的時(shí)，的兩根不為相反數(shù)，故可設(shè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，令圓方程中的，得，即有又，解得∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，由（1）可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則，，要使為定值，只需，解得∴在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由水的體積得出，進(jìn)而得出，，從而證明圖2中的水面也是平行四邊形；（2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于，由四邊形是平行四邊形，得出側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，再由直角三角形的邊角關(guān)系得出其夾角.【小問(wèn)1詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽傾斜后，水面分別與棱，，，交于，，，，則，水的體積為，，即，，故四邊形為平行四邊形，即，且又，，，四邊形為平行四邊形，即圖2中的水面也是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角，即為所求，而，在中，，側(cè)面與桌面所成角的為20、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長(zhǎng)關(guān)系，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，把面積用和的式子表示出來(lái)，通過(guò)給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問(wèn)2詳解】設(shè)：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.21、（1）（2）【解析】（1）由，構(gòu)造是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消可求.【小問(wèn)1詳解】由，得，