2025屆遼寧省遼陽市高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2025屆遼寧省遼陽市高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，2．橢圓上一點到一個焦點的距離為，則到另一個焦點的距離是（）A. B.C. D.3．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有4．已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.35．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.6．已知正方形的四個頂點都在橢圓上，若的焦點F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.7．中國古代有一道數學題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人分錢，所分得的錢數構成等差數列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文8．某高校甲、乙兩位同學大學四年選修課程的考試成績等級（選修課的成績等級分為1，2，3，4，5，共五個等級）的條形圖如圖所示，則甲成績等級的中位數與乙成績等級的眾數分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，49．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.10．過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.11．①“若，則互為相反數”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個數為（）A.0 B.1C.2 D.312．若雙曲線（，）的一條漸近線經過點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線上一點到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為___________.14．橢圓的右焦點是，兩點是橢圓的左頂點和上頂點，若△是直角三角形，則橢圓的離心率是________.15．已知直線被圓截得的弦長等于該圓的半徑，則實數_____.16．已知點和，M是橢圓上一動點，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值18．（12分）已知函數（1）證明；（2）設，證明：若一定有零點，并判斷零點的個數19．（12分）解下列不等式：（1）；（2）.20．（12分）某品牌餐飲公司準備在10個規(guī)模相當的地區(qū)開設加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個數，先在其中5個地區(qū)試點，得到試點地區(qū)加盟店個數分別為1，2，3，4，5時，單店日平均營業(yè)額（萬元）的數據如下：加盟店個數（個）12345單店日平均營業(yè)額（萬元）10.910.297.871（參考數據及公式：，，線性回歸方程，其中，.）（1）求單店日平均營業(yè)額（萬元）與所在地區(qū)加盟店個數（個）的線性回歸方程；（2）根據試點調研結果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預計值總和不低于35萬元，求一個地區(qū)開設加盟店個數的所有可能取值；（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據公司規(guī)定，他們只能分別從其他五個地區(qū)（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.21．（12分）已知空間內不重合的四點A，B，C，D的坐標分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點B到直線CD的距離22．（10分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面不計剪裁和拼接損耗，設矩形的邊長|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.【詳解】根據全稱命題與存在性命題的關系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.2、B【解析】利用橢圓的定義可得結果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個焦點的距離是.故選：B.3、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C4、B【解析】由直徑所對圓周角是直角，結合雙曲線的幾何性質和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即所以故選：B5、C【解析】根據四種命題的關系求解.【詳解】因為否命題是否定原命題的條件和結論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C6、C【解析】如圖由題可得，進而可得，即求.【詳解】如圖根據對稱性，點D在直線y=x上，可設，則，∴，可得，，即，又解得.故選：C.7、C【解析】設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為，，，，，，，再根據題意列方程組可解得結果.【詳解】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.8、C【解析】將甲的所有選修課等級從低到高排列可得甲的中位數，由圖可知乙的選修課等級的眾數.【詳解】由條形圖可得，甲同學共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5，6門的成績等級分別為3，4，故中位數為，乙成績等級的眾數為5.故選：C.9、D【解析】由雙曲線的定義可設，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結合雙曲線性質可以得到，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結合離心率滿足，即可得出，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于?？碱}型.10、D【解析】利用斜率公式可得出關于實數的等式與不等式，由此可解得實數的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.11、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數”的逆命題為：“若互為相反數，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因為當時，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因為當時，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B12、A【解析】先求出漸近線方程，進而將點代入直線方程得到a,b關系，進而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點，則，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由拋物線的方程求出準線的方程，然后根據點到準線的距離可求，進而可得拋物線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，點到其準線的距離為，由題意可得，解得，故拋物線的標準方程為.故答案為：.14、【解析】由題設易知，應用斜率的兩點式及橢圓參數關系可得，進而求橢圓離心率.【詳解】由題設，，，，又△是直角三角形，顯然，所以，可得，則，解得，又，所以.故答案為：.15、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關系，即可求出結果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.16、【解析】由題設條件可知，.當M在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時有，在第三象限交點時有.顯然當M在直線與橢圓第三象限交點時有最大值，其最大值.由此能夠求出的最大值.【詳解】解：A為橢圓右焦點，設左焦點為，則由橢圓定義，于是.當M不在直線與橢圓交點上時，M、F、B三點構成三角形，于是，而當M在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時，有，在第三象限交點時有.顯然當M在直線與橢圓第三象限交點時有最大值，其最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的基本性質，解題時要熟練掌握基本公式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據向量數量積的坐標表示即可得解；（2）求出，再根據空間向量的模的坐標表示即可得解；（3）由，可得，再根據數量積的運算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因為，所以，即，解得.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析，1個零點.【解析】(1)求導同分化簡，構造新函數判斷導數正負即可；(2)令g(x)＝0，化簡方程，將問題轉化為討論方程解的個數問題.【小問1詳解】,設，則，時，遞減，時，遞增，而，所以時，，所以；小問2詳解】有零點，則有解，即有解，又，則只要，因為，方程可以化為，現在證明有解，令，則，可知在遞減，在遞增，所以，因為，所以，在內恒有，而在遞增，當x＝時，h()＝，故根據零點存在性定理知在存在唯一零點.所以有且只有一個零點，所以有零點，有一個零點【點睛】本題關鍵是是將方程零點問題轉化為方程解的問題，通過討論單調性和最值（極值）的正負即可判斷零點的有無和個數.19、（1）（2）【解析】（1）利用十字相乘解題即可（2）利用分子分母同號為正，異號為負思想，注意討論分母不為0【小問1詳解】由題，即，解得或，即；【小問2詳解】由題，解得或，即20、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，進而得到b，a求解；（2）根據題意，由求解；（3）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）由題可得，，，設所求線性回歸方程為，則，將，代入，得，故所求線性回歸方程為.（2）根據題意，，解得：，又，所以的所有可能取值為5，6，7.（3）設其他5個地區(qū)分別為，他們選擇結果共有25種，具體如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中他們在同一個地區(qū)的有5種，所以他們選取地區(qū)相同的概率.21、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實數，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設直線與所成的角為，求出，再根據點B到直