作業(yè)01 等腰三角形與直角三角形-2021年八年級數(shù)學(xué)暑假作業(yè)（北師大版）（解析版）

作業(yè)01等腰三角形與直角三角形

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分120分，完成時(shí)間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

基礎(chǔ)過關(guān)（70分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2020?江蘇蘇州中學(xué)初二期中）一個(gè)三角形分別符合下列條件：①有一個(gè)角等于60°的三角形；②有一

個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也

是這條腰上的高的等腰三角形，其中能判定是等邊三角形的序號有（）

A.①0@B.②④C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定選出正確選項(xiàng).

【解析】解：①不可以，只有一個(gè)角是60°,條件不足；

②可以，一個(gè)角是60°的等腰三角形，即三個(gè)角都是60°,是等邊三角形；

③可以，三個(gè)外角相等，即外角都是120°,則每個(gè)內(nèi)角都是60°,是等邊三角形；

④可以，腰上的中線也是腰上的高，說明另一個(gè)腰和底邊相等，三個(gè)邊都相等，是等邊三角形；

②③④可以.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定方法.

2.（2020?四川成都市?天府七中）AABC中，ZA,DB,NC的對邊分別記為a,b,c,由下列條件不

能判定AABC為直角三角形的是（）

A.NA=NB+NCB.ZA:Zfi:NC=1:1:2C.b2=a2+c1D.a：b：c=\：\：2

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可判斷A和B,根據(jù)勾股定理可判斷C和D.

【詳解】A.；ZA=ZB+NC,ZA+NB+NC=180°,.?.2ZA=180°,二ZA=90°,

.?.△ABC為直角三角形，不符合題意，故A錯(cuò)誤；

B.vZA:Zfi:ZC=l:l:2,,-,ZA=ZB，ZC=2ZA，

又：Z4+NB+NC=180°,.-.ZA+ZA+2ZA=180o,ZA=45°,

.,.NC=2NA=90°,「.△ABC為直角三角形，不符合題意，故B錯(cuò)誤；

..△AB。是直角三角形，不符合題意，故c錯(cuò)誤；

D.?.?a：b：c=l:l:2,:.b=a,c=2a,：.a2+b2^c2<

.?.△ABC不是直角三角形，符合題意，故D正確.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.如

果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，在一個(gè)三角形中.

3.（2020?寧波市海曙區(qū)儲能學(xué)校初二期末）若AABC中剛好有NB=2NC,則稱此三角形為“可愛三角

形”，并且NA稱作“可愛角現(xiàn)有一個(gè)“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角形的“可

愛角”應(yīng)該是（）.

A.45°或36°B.72?；?6°C.45°或72°D.36°或72°或45°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。且等腰三角形的兩個(gè)底角相等，再結(jié)合題中一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍即

可求解.

【解析】解：由題意可知：設(shè)這個(gè)等腰三角形為AABC,且NB=2NC,

情況一：當(dāng)/B是底角時(shí)，則另一底角為NA,且NA=/B=2NC,

由三角形內(nèi)角和為180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,

，5NC=180。，Z.ZC=36°,NA=NB=72。，此時(shí)可愛角為NA=72°,

情況二：當(dāng)NC是底角，則另一底角為/A,且NB=2NA=2NC,

由三角形內(nèi)角和為180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,.,.4ZC=180°,即NC=45。，

此時(shí)可愛角為/A=45。，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題借助三角形內(nèi)角和考查了新定義題型，關(guān)鍵是讀懂題目意思，熟練掌握等腰三角形的兩底角

相等及三角形內(nèi)角和為180°.

4.（2021?保定市第十九中學(xué)初二期中）在△ABC中，ZA=30°,AC=4,BC=2近,那么N/LBC

為（）度.

A.45B.60或120C.45或135D.30

【答案】C

【分析】分NABC為銳角和鈍角兩種情況，運(yùn)用直角三角形的知識進(jìn)行解答即可.

【解析】解：如圖1，當(dāng)NABC為銳角時(shí)，

A

D

圖1D'l圖2

作CDJ_AB于D,VZA=30°,ACD=AC=2,又BC=20,

.?.BD=J（20『-22=2，，BD=CD,.?.△BCD是等腰直角三角形，.^.NABC=45。；

如圖2,當(dāng)/ABC為鈍角時(shí)，同理可求出/CBD=45。，；./ABC=135。，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及分

類討論的數(shù)學(xué)思想，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形、靈活運(yùn)用直角三角形的知識求解是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?哈爾濱市第三十九中學(xué)初二月考）如圖，AABC頂角為120。，AB=AC,EC=4,現(xiàn)將△ABC

折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則OE的長為（）

A.1B.2C.夜D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰二角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得/B=NC=30。，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NBAE=

ZB=30°,ED±AB,進(jìn)而可得NEAC=90。，然后分別在直角^AEC和直角4ADE中利用30°角的直角三

角形的性質(zhì)求解即可.

【解析】解：；NBAC=120。，AB^AC,.,.ZB=ZC=30°,

:將AABC折疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)A重合，折痕為OE，

/.ZBAE=ZB=30°,ED1AB,/.ZEAC=120°-30°=90°,

VEC=4,：.AE=-EC=2,在AADE中，；/ADE=90。，ZDAE=30°,：.DE=-AE=\.故選：A.

22

【點(diǎn)睛】本題考查J’折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及30。角的直角三角形的性質(zhì)，

熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?保定市第一中學(xué)分校初二期末）如圖，折疊直角三角形紙片的直角，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E

處，已知8C=12,ZB=30%則。E的長是（)

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得^ADE絲AADC,從而得出AD平分NBAC,NC=/AED=90°,根據(jù)角平

分線的性質(zhì)和30°所對直角邊等于斜邊的一半求解.

【解析】解：折疊的性質(zhì)可得4ADE絲AADC,；.AD平分/BAC,ZC=ZAED=90°,DE=DC,

VZB=30°.-.DE=-BD.-.DC=-BD

22

VBC=12A3DC=12DC=4/.DEM.故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了酬折變換，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是本題關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

6.（2020?江陰市長壽中學(xué)初二月考）如圖，ZiABC中，AB=8,AC=6,NABC和/ACB的平分線交于

點(diǎn)O,過O點(diǎn)作MN〃BC,分別交AB、AC于M、N點(diǎn)，則AAMN的周長為.

【答案】14.

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得NABO=NOBC,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NOBC=NBOM,

從而得到/ABO=/BOM,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后求出AAMN的

周長=AB+AC,代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】解：YOB平分NABC,.,.ZABO=ZOBC,

VMN//BC,AZOBC=ZBOM,六NABO=NBOM,，BM=OM,

同理可得CN=ON,.?.△AMN的周長=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

VAB=8,AC=6,...△AMN的周長=8+6=14.故答案是：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及平行線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)是等角對等邊，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?河南商丘市?八年級期末）如圖，在小人笈。中，乙4cB=90。,4。=8。,。七_(dá)18及。后與43相

交于點(diǎn)凡且CD=BE,則NACD、NCBA、NOA尸之間的數(shù)量關(guān)系是

【答案】ZACD=ZCBA+ZDAF

【分析】先利用同角的余角相等得到NACD=NCBE,再通過證AAC*ACBE，得到

NADC=NCEB=9O。即NADP=NCE3=90。，再利用三角形內(nèi)角和得

180°-ZA77）-ZADF=180°-NEFB-NFEB可得ND4E=ZEB/，最后利用角的和差即可得到答案,

ZACD=NCBE=NCBA+NEFB=NCBA+NDAF.

【詳解】證明：???NACB=90°，CELBE

：.ZACD+NECB=90°,NCBE+NECB=90°；,ZACD=ZCBE

又AC=BC，CD=BE:.AAC哈ACBE：.NADC=NCEB=90。即NADF=NCEB=90。

,//AFD=ZEFB1800-ZAFD-ZADF=1800-ZEFB-ZFEB即/DAF=ZEBF

：.ZACD=NCBE=NCBA+NEFB=ZCBA+ZDAF故答案為：ZACD=ZCBA+ZDAF.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，能通過性質(zhì)找到角與

角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

9.（2020?山東招遠(yuǎn)?初一期末）已知NAOB=60。，OC是NAOB的平分線，點(diǎn)D為OC上一點(diǎn)，過D作直

線DE_LOA,垂足為點(diǎn)E,且直線DE交OB于點(diǎn)F,如圖所示，若DE=4,則DF=—.

【答案】8

【分析】根據(jù)角平分線求出NEOOuNbOOuBO。，在30°的吊AEOD中易求8和OE的長，同理在

R?AEO尸求出EF的長,即可得出答案.

【解析】?.?NAQB=60°，OC是NAOB的平分線.?.NEOD=NR9D=30°

在R^EOD中,NEOD=30°,DE=4-QD=S,OE=yJOD2-ED1=

在Rt^EOF中，/EOF=60°,OE=4石/.ZEFO=30°,OF=8百

/.EF=y]OF2-OE2=12，09=瓦'一。后=12—4=8故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、含30。的直角三角形的解法，掌握30。直角三角形的特征是解題關(guān)鍵.

10.（2020?內(nèi)蒙古涼城?初二期末）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若

【解析】設(shè)NA=x,

AP產(chǎn)P|P2=P2P3j..=P|3P14=P14A,NA=NAP2P尸NAP|3P|4=X.

...NP2Plp3=/P|.lP14Pl2=2X,/P2P3P4=/Pl3P12Pl0=3X,.......,ZP?PftP8=Z?8?9?7=7X.

...NAP7P8=7X,NAP8P7=7X.

在AAP7P8中，ZA+ZAP7P8+ZAPSP7=180°,即X+7X+7X=180°.

解得x=12°,即NA=12°.

三、解答題（本大題共5小題，共40分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

11.（2020?河北安平?初二期末）如圖，在AA8C和ADC8中，NA=NO=90°,AC=BD,AC與BD

相交于點(diǎn)。.（1）求證：MBgADCB；（2）A03C是何種三角形？證明你的結(jié)論.

【答案】（I）見解析；（2）AOBC是等腰三角形，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件，用HL直接證明RtAABC^RtADCB即可;

（2）利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到NACB=NDBC,即可證明AOBC是等腰三角形.

【解析】證明：(1)在AA3C和ADCB中，NA=ND=90°

AC=BD，BC為公共邊，；.Rt^BC當(dāng)RtADCB(HL)

(2)AOBC是等腰三角形

,；Rt^ABC絲Rt^DCB：.ZACB=ZDCB

：.OB=OC，AOBC是等腰三角形

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對直角三角形全等的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟練掌

握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

12.(2020?河北初三其他)己知等腰三角形ABC,AB=AC，。為射線8C上一點(diǎn)，以AO為一邊作等

腰三角形，且=連接DE，/BAC=ZDAE,CD=2,BC=3.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上時(shí)，求線段CE的長.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在8。延長線上時(shí)，若Nl=40。，求N2的值.

【答案】140°

【分析】(1)利用“SAS”可證△ABDg/XACE,可得BD=CE,即可解題；

(2)利用“SAS”可證△ABDgaACE,可得NACE=NB,即可解題.

【解析】(1)VZDAE=ZBAC,ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在4ABD和4ACE中，＜ZBAD=ZCAE,.?.△ABD絲ZXACE(SAS),

AD=AE

，CE=BD=BC-CD=3-2=1；故答案為：1；

(2)；NDAE=NBAC,NBAD=NCAE,

AB=AC

在AABD和4ACE中，ABAD=ZCAE,.,.AABD^AACE(SAS),.\ZACE=ZB,

AD^AE

1800-40°

VAB=AC,Zl=40°,.\ZACE=ZB=---------------=70°,AZ2=180°-70o-70o=40°；故答案為：40°.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解本題的

關(guān)鍵是判斷出△△ABD絲Z\ACE.

13.（2021?吉林永吉?期中）如圖所示，4ABD和AAEC都是等邊三角形，連接BE和CD,BE和CD相交

于點(diǎn)O.（1）猜想線段DC與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）求/BOC的度數(shù).

【答案】（I）DC=BE,詳見解析；（2）120°

【分析】（1）要證明DC=BE,只要證明AZMC=ABAE（SAS）即可；

（2）由AZMCMM4E，推出NADC=NABE,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；

【解析】解：（1）DC=BE,理由如下：???AABD,AAEC都是等邊三角形，

:,AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZABD=^ZADB=ZCAE=60°,

ZDAB+ZBAC=ZCAE+ZBAC，即NZMC=NB4E，

AD=AB

在ADAC和AJRAE中，-ZDAC=ZBAE,:.\DAC\BAE（SAS）,;.CD=BE.

AC=AE

（2）-.■ADAC=ABAE,:.ZADC=ZABE,

ZBOC=NOBD+NODB=ZABD+ZABE+ZODB=ZABD+ZADC+ZODB=ZABD+ZADB=120°.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全

等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

14.（2020?珠海市文園中學(xué)初二期中）已知：△ABC中，AB=13,AC=9,8c=4如，BOLAC于。.

（1）求線段2。的長；（2）點(diǎn)P為射線8c上一動(dòng)點(diǎn)，若aBOP為等腰三角形，求BP的長.

【答案】（1）12；（2）12或吧"6或2M

5

【分析】（1）設(shè)AD=x,則CD=9-x,在HFAAC心和汝ABOC中應(yīng)用勾股定理即可求解；

（2）分三種請討論，分別為BD=BP或DP=DB或PD=PB,應(yīng)用等角對等邊和勾股定理即可求解.

【解析】（1）設(shè)MCD=9-x,'：BD±AC,：.ZADB=ZBDC=90°,

由勾股定理得：AB--AD^BD^BC1-CD2,A132一V=(4癡/-(9-，

解得：x=5,/.BD=7AB2-AD2=12：

(2)?.?△8DP為等腰三角形，.?.分三種情況：①若則8尸=12,

②若。P=QB,過點(diǎn)。作?！阓LBC于點(diǎn)E,如圖1所示：

BD￡D12x4

S人"=1BD'CD=-BC.DE,：.DE=

△戚22BC47105

：.BE=4BD2-DE2==而,,.?8。=皿）且?！辏?.8。，：.BP=2BE=—J1O,

55

③若PD=PB,如圖2所示:

圖2

?：PD=BP,.\Z1=Z2,VZBDC^90°,.*.Z2+Z3=9O°且/l+N4=90°,

二/3=N4.,.?￡>=尸C,：.BP=PC,：.BP=-BC^2y110>

Q/2

綜上所述：當(dāng)△8/9P為等腰三角形時(shí)，8p=12或吧而■或2M.

5

Q/7

故答案為(1)12；(2)12或及JIF或2加.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論是解決第二個(gè)間的關(guān)鍵，一定不要忘

記討論某一種情況，圍繞三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊分別討論即可.

15.(2020?廣州市第九十七中學(xué)期中)如圖，AABC和ZiCDE都是等邊三角形，點(diǎn)E在BC上，AE的延長

線交BD于點(diǎn)F.(1)求證：AACE絲ABCD；(2)探究/CFD的度數(shù)；(3)探究EF、DF、CF之間的

關(guān)系.

D

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）CF=EF+DF,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“SAS”即可證明4ACE絲ABCD；

（2）延長AF到Q,使FQ=DF,連接DQ,先證明ADFQ是等邊三角形，再根據(jù)“SAS”證明△CDF?A

EDQ,即可求出NCFD的度數(shù)；（3）由4CDF絲可得CF=EQ,進(jìn)而可得到EF、DF、CF之間的

關(guān)系.

【解析】解：（1）:△ABC和ACDE都為等邊三角形，.?.NACE=NBCD=60。，AC=BC,CE=CD,

AC=BC

在AACE和ABCD中|NACE=N8C。..,.AACE^ABCD；

CE=CD

(2)延長AF到Q,使FQ=DF,連接DQ,VAACE^ABCD,ZCAE=ZCBD,

又；/AEC=/BEF,.,.ZAFB=ZACB=60°./.ZDFQ=60°,Z\DFQ是等邊三角形，

AZFDQ=ZFQD=60°,DF=DQ,AZCDF=ZEDQ,

CD=DE

在ACDF和AEDQ中＜NCOEnNEOQ,.'△CDF絲ZXEDQ,AZCFD=ZDQF=60°；

DF=DQ

⑶VACDF^AEDQ,，CF=EQ,：EQ=DF+FQ=EF+DF,；.CF=EF+DF.

【點(diǎn)睛】本題考杳了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即

SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題

的關(guān)鍵.

能力培優(yōu)（50分）

一、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2020?保定市第三中學(xué)分校初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1/），在》軸上確

定點(diǎn)P，使AAOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（）

"I

?A

-----------o---------------

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】先計(jì)算的長，再以0A為腰或底分別討論，進(jìn)而得出答案.

【解析】解：如圖，。4=爐不=0，當(dāng)4。=。乃，AO=O尸3時(shí)，P（-拒，0）,Pi（0,0）,

當(dāng)AP?=OP2時(shí)，Pi（1,0）,當(dāng)AO=AR時(shí)，PA（2,0）,故符合條件的點(diǎn)有4個(gè).故選：C.

【點(diǎn)睛】本題以平面直角坐標(biāo)系為載體，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定義，屬于?？碱}型，全面

分類、掌握解答的方法是關(guān)鍵.

2.（2021?北京房山區(qū)?八年級期末）如圖甲，直角三角形AABC的三邊a,b,c,滿足/+〃=/的關(guān)系.利

用這個(gè)關(guān)系，探究下面的問題：如圖乙，AOAB是腰長為1的等腰直角三角形，/。鉆=90°,延長。4至

用，使,以。片為底，在AOAB外側(cè)作等腰直角三角形。44，再延長0A至星，使4B?=，

以。為底，在AOA4外側(cè)作等腰直角三角形。按此規(guī)律作等腰直角三角形OA“紇（〃？1,

〃為正整數(shù)），則&與的長及A。4）?乃2021的面積分別是（)

甲乙

A.2,22020B.4,22021C.2應(yīng)，22020D.2,22019

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可判斷出4打的長，再進(jìn)一步推出一般規(guī)律，利用規(guī)律

求解AOAOZBM的面積即可.

【詳解】由題意可得：OA^AB=AB]=\,?，?2,

：AOA4為等腰直角三角形，且“直角三角形AABC的三邊小b,c,滿足的關(guān)系”，

.?.根據(jù)題意可得：。41=44=應(yīng)，，。耳:=2。41=2及，，。4=&坊=（女『=2,

…，.?.總結(jié)出04=（夜『，

?；S^QAB=]Xlxl=/,SAO4iB|=-X>/2XA/2=1,SAOAiBi=-x2x2=2,

202

二歸納得出一般規(guī)律：5.0AA=gx（四）夜）"=2"T’...，。&偈儂，：？。，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形變化類的規(guī)律探究問題，立即題意并靈活運(yùn)用等腰直角三

角形的性質(zhì)歸納一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

3.（2020?浙江嘉興市?八年級期末）如圖，在等腰RMABC中，NACB=90°,點(diǎn)P是△A6C內(nèi)一點(diǎn)，

且CP=1,BP=6,AP=2,以CP為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，作等腰下列結(jié)論：①點(diǎn)

A與點(diǎn)D的距離為&；②AP_LPC；③AB=26；④S.WB=2,其中正確結(jié)論有是（）

D

A.①②③B.(2X4)C.①@D.②③④

【答案】C

【分析】連結(jié)AD,由等腰，可得AC=BC,等腰，可得CD=CP,由余角性質(zhì)可/DCA=

/PCB,可證aADC〈ABPC(SAS)AO=BP=0可判斷①，由勾股定理DP=JcD?+Cp2=J5,再

I1JAD2+DP2=(^)2+(^)2=4=AP2,可證aADP為等腰直角三角形，可判斷②，由PB與PD可求

BD=20,由勾股定理AB=JAD?+BD2=JF5,可判斷③，由面積==l可

判斷④即可

【詳解】連結(jié)AD,在等腰RhABC中，ZACB=9Q°,；.AC=BC,

：RMOCP是等腰三角形，；.CD=CP,AZACD+ACP=90°,ZACP+ZPCB=90°,AZDCA=ZPCB,

在aADC和aBPC中，AC=BC,NDCA=NPCB,DC=PC,

.,.△ADC^ABPC(SAS),；.AD=BP=B①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為&正確，

在RtADCP中，由勾股定理DP=JCD?+CP2=近，

在4ADP中，AD?+DP2=(&『+(、5『=4=AP，.?.△ADP為等腰直角三角形，

.?.AD_LDP,②AP_Lj°C正確;

BD=BP+PD=20,在RtaADB中，由勾股定理，AB=VAD2+BD2=72+8=710-③AB=2&不正確：

S^APB=PB?AD=>/2xy/2=1,④Sa”8=2不正確.故選擇：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形面積，勾股定理的應(yīng)

用，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形面積，勾股定理的應(yīng)用是解題

關(guān)鍵.

4.（2020?山東昌樂二中月考）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC,并以O(shè)C為一

邊向外作等邊三角形OCD,連接AD.若/AOB=110°,ZBOC=I50°,則NOAD的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)已知易證4ACD-BCO,得出/ADC=NBOC=150。，又因AOCD是等邊三角形，易證N

ADO=90°,又由/AOB+/BOC+/AOC=360。，求出NAOC=100。，從而得/AOD=40。，再根據(jù)直角三角形

的兩個(gè)內(nèi)角互余即可求出NOAD的度數(shù).

【解析】:△ABC和AOCD是等邊三角形，.,.AC=BC,OC=CD,ZODC=ZDCO=ZCOD=ZACB=60°,

ZDCO-ZACO=ZACB-ZACOB|IZACD=ZBCO.

'AC=BC

在AACD和△BCO中《ZACZ）=NBCO.-.AACD^ABCO.AZADC=ZBOC=150°./.ZADO=90°,

DC=OC

VZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,/.ZAOC=100°,AZAOD=40°,AZOAD=90°-40°=50°.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共3小題，每小題4分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

3.（2020?浙江紹興市?九年級其他模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC=4,NA=30。，點(diǎn)D為

AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,將4ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處.當(dāng)直線

EF與直線AC垂直時(shí)，則AE的長為.

EB

【答案】2叵或2c

【分析】當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí)，如圖1,如圖2,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到和等腰三角形的判定和性質(zhì)

定理以及直角三角形的性質(zhì)健康得到結(jié)論.

【詳解】解：；AC=4,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，；.AD=!AC=2,

2

①當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí)，如圖1,

?.?將4ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，二/F=NA=30。，/AED=/FED,

VZAGE=90°,/.ZAEG=60°,/AED=/FED=30°,.\AD=DE=2,

爭2=2"

過D作DM_LAE與M,/.AE=2AM=2x

當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí)，如圖2,

?.?將4ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，二/F=/A=30。，ZADE=NFDE,

ZAGE=ZFGE=90°,/.NFGD=60°,ZADE=ZFDE=30°,

.*.ZA=ZADE,；.AE=DE,.\AG=—AD=1,；.AE=^^,

23

綜上所述，斗或2道故答案為：半或26.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的

作出圖形是解題的關(guān)鍵.

6.（2020?哈爾濱市實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考）如圖，AA3C,點(diǎn)。在A3上，點(diǎn)E在AC■上，連接C￡）,OE,

若NEDA=2NANCDE=2ZACD,30:AO=1:3,BC=01,3。=石，則線段AC的長為

E

ADB

【答案】9

【分析】根據(jù)根據(jù)三角形角和是180。，由NEDA=2N4NCDE=2ZACD,可求得NADC=120。，過

點(diǎn)C作CFJ_AB于F,在RtZXDCF中，NDCF=30°,設(shè)DF=x,CF=￡c，由班)：4)=1：3求得AD,

在Rt^DCF和RdACF中，利用勾股定理先求DF,CF,最后求得AC長，問題可解.

【解析】解：如圖過點(diǎn)C作CF1ABTF，

?//F.DA7/A.ZCDE=2ZACD,：.ZADC=ZEDA+ZCDE=2（ZA+ZACD）

ZA+ZACD+ZADC=180°，，3（ZA+ZAC￡>）=180°,ZA+ZACD=60°

ZADC=120°ADCF=ZADC—NF=120°-90°=30°

BD:AD=1.3,BD=6:.AD=36在RtZ\CDF中，ZDCF=30°,=

設(shè)DF=x,DC=2x,CF=y/DC2-DF2=y/3x>

在RtaBCF中，BF=X-5根據(jù)勾股定理，可列方程（0T『=（x—指）2+（、&）2，

解得，x.=,x,——\/3（舍去）.1.DF=-,CF=—>

1222

在a/XAC/中，AF=AD+DF=3A^+.

22

...AC=7AF2+CF?=J（券]+（￡=9.故答案為：9

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中的角和線段的計(jì)算問題，熟練應(yīng)用三角形內(nèi)角定理及勾股定理是解決本題的

關(guān)鍵.

7.（2020?四川青白江祥福中學(xué)期中）如圖，在AABC中，AB=AC=2,點(diǎn)P在BC上；若點(diǎn)P為BC的中

點(diǎn)，則加=AP2+8PPC的值為.若BC邊上有2020個(gè)不同的點(diǎn)，PHP2,P3,…，P2020.且

相應(yīng)的有叫=A/]?+WC,m2=AP;+BP2-P2C,■■-,牡（⑶=A為20+呂乙磔,￡020。，則

m,+/n,+m,+?■?+/M,020的值為

【答案】48080

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及題意可進(jìn)行求解；

22

（2）過點(diǎn)A作ADLBC交于點(diǎn)D,根據(jù)勾股定理可得432=4）2+8。2,AP；=AD+PtD,根據(jù)平

方差公式可得Al—A邛=5/52—[。）=片根據(jù)等式的性質(zhì)可得

m[=AP；+BPcP,C=AB-=4,由此規(guī)律可進(jìn)行求解.

【解析】解：①???AB=AC=2,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，...APLBC,BP=PC,

..在RtaABP中，AB2=BP2+AP2=4-AP2+BP-PC=AP2+BP2

②如圖過點(diǎn)A作AD±BC交BC于點(diǎn)D,

vAB=AC=2,，BD=DC,在RtZ^ABD中，AB2BD2+AD2'①

在RtAAR。中，AP；=P.D2+AD2,②

①-②得：AB?_A《2=92_弓02=（30+qo）（BO_qo）=《c

2

m,=AP；+BP{P,C=AB=4,

同理可得：a?=4尸+8鳥鳥。=4,/4=A廳+3月月。=4.....

.■.町+，4+加,+…+?mo=4x2020=8080；故答案為4；8080.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及平方差公式，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定

理及平方差公式是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共3小題，共26分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

8.（2021?上海九年級專題練習(xí)）已知，在Rt^ABC中，NB4C=90°,點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，AE1CD

分別交CD,BC于點(diǎn)F，E.

（1）如圖1,①若A8=AC,請直接寫出NE4C—NBCD=；

②連接￡>E，若AE=2DE,求證：NDEB=ZAEC；

（2）如圖2,連接FB，若FB=AC,試探究線段。尸和。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）①45。；②見解析：（2）CF=2DF,理由見解析

【分析】（1）①利用直角三角形兩個(gè)銳角相加得90°和三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和的性質(zhì)結(jié)合

題干已知即可解題.②延長或）至點(diǎn)G,使得￡>G=￡>E,連接AG,從而可證明AADG也ABDE（SAS）,

再利用全等的性質(zhì)，可知即可知道AG//BC,所以NG4E=NAEC,根據(jù)題干又可得

到AE=￡G,所以NOG4=NGA￡，從而得出結(jié)論.

（2）延長8至點(diǎn)H,使得DH=DF，連接BH，從而可證明△HD8嶺△EQ4（SAS）,再利用全等

的性質(zhì)，可知BH=AF，NH=ZAFD=ZAFC=90°，根據(jù)題干即可證明RtA/ZBF絲RtAE4C（WD,

即得出結(jié)論.

【詳解】（I）①???N￡AC+ZAGD=90°,ZAEC+ZBCD=90°/.ZEAC-ZBCD=ZAEC-ZACD

?：ZEAC+4BAE=90°/.ZACD=NBAE

又???ZAEC=N5+ZBAE：.ZEAC-/BCD=NB+ZBAE-ZACD

：.ZEAC-ZBCD=ZB=450故答案為45°.

②如圖，延長。至點(diǎn)G，使得。G=DE,連接AG,

?.?點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，,B￡>=4），

又,：AADG=/BDE、：,AADGGABDE，：?^DGA=4DEB,：.AGHBC，：./GAE=ZAEC，

又,：AE=2DE，：,AE=EG,：?/DGA=4GAE,：.4DEB=ZAEC.

（2）CF=2DF.如圖，延長CD至點(diǎn)H，使得DH=DF，連接5H，

?/AD=BD,ZADF=ZBDH，:.AHDB空△FDA,

BH=AF，N〃=ZAFD=ZAR:=90°，

VBF=AC./.RtAHBFRtAE4C，ACF=HF=IDF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線

的性質(zhì).綜合性較強(qiáng)，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AABC中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié)交于瓦。0//48,4口，8。交5。于

F,BHLAE交AE于H，交AF于點(diǎn)、N.（1）若BE=2CE=4,AE=y/H,AB=5，求AABC的面積;

（2）若AE=BN,AN=CE,求證：BC=-J1CM+2CE.

【答案】（1）12（2）見解析

【分析】（1）利用直角三角形AFE與直角三角形4?尸，用勾股定理列方程求EF,再求AF即可得到面

積；（2）連接EN,先證明M/W也AAFE,得到EF="NE，再證明八6任四AECM,得到

2

EF=舁CM，從而得到答案.

2

【詳解】解：（1）設(shè)稗=%，由3E=4,所以BE=4—x,

因?yàn)锳FJ_BC，AE=4ii,AB=5,所以他2—砂2=.2一8/2,