函數的極值課件 高二數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

復習引入1.函數單調性與導數的關系在某個區(qū)間(a,b)內，f'(x)>0→f(x)

在(a,b)內單調遞增f'(x)<0→f(x)

在(a,b)內單調遞減f(x)

在(a,b)內單調遞增

→f'(x)≥0f(x)在(a,b)內單調遞減

→f'(x)≤0探究(圖一)

(圖二)一般地，設函數y=fx)在x?及其附近有定義，如果fx?)的值比

x?附近其他點的函數值都大，我們說Ax?)是函數y=fx)的一個極大

值；并把x?

稱為函數fx)的一個極大值點.問題(1)函數)=H)在點ac的函數值與這些點附近的函數值有什么大小關系?(3)在點a,c附近，y=f(x)的導數的符號有什么規(guī)律?對于可導函數fx),若x?滿足f'(x?)=0,

在

x?附近的左側f'(x)

>0

,

右

側

f(x)<0,那么x?是函數fx)

的一個極大值點，fx?)

是函數fx)

的一個極大值；問題：(2)函數y=fx)

在點a,c的導數值是多少?↑yf(x,)=0f(x)0

f'(x)<0a

Xo

b(圖三)0(圖一)x問題：

(圖一)(

4

)

函

數y=fx)

在點b,d的函數值與這些點附近的函數值有什么大小關系?(

5

)

函

數y=f(x)

在點b,d的導數值是多少?(

6

)

在

點b,c

附近，y=f(x)的導數的符號有什么規(guī)律?函數的極值：概念生成一般地，設函數y=fx)

在x?及其附近有定義，如果fx?)

的值比x?附近其他點的函數值都小，

我們說x?是函數fx)

的一個極小值點，fx?)是函數y=fx)的一個極小值.對于可導函數y=f(x),

若

x?

滿足f'(x?)=0,

在

x?附近的左側f(x)<0,

右

側f'(x)>0,

那

么x?

是函數fx)

的極小值點，fx?

)是函數fx)

的極極《值值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值

.在定義中，極值點是自變量的值，極值指的是對應的函數值。(1

)極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數值，與它附近點的函數值比較它是最大值或最小值，但并不意味著它在函數的整個定義域內是最大值或最小值；(2)

一個函數在某區(qū)間上或定義域內的極大值或極小值可以不止一個；(3)函數的極大值與極小值之間無確定的大小關系；(4)函數的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點；(5)單調函數一定沒有極值.2.對極值概念的再理解3.y=f

(x)的極值點x。與f(x?)=0

的關系一般來說，

“f'(x?)=0”是“函數y=f(x)在點x=x?處取得極值”的必要不充分條件

.若可導函數y=f(x)

在點x=x?處可導，且在點x=x?處取得極值，則f(x?)=0;反

之，若f'(x?)=0,

則x?

不一定是函數y=f(x)的極值點.可導函數f(x)的極值點x?

一定是導函數f(x)的變號零點.概念辨析

《判斷(正確的打“

√

”,錯誤的打“×”).(1)極大值就是函數的最大值；(×)(2)函數的極大值比極小值大；(×)(

3)一個函數在某區(qū)間上或定義域內的極大值或極小值可以不止一個；(√)(4)函數的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點；(

)(5)若函數Ax)在(a,b)

內有極值，則Ax)在(a,b)

內一定不單調

.

((

6)導數值為0的點一定是函數的極值點

·

×)提示：不一定，如f(x)=x3,f'(0)=0,但f'(x)=3x2≥0,因此0不是f(x)=x3

的極值點

.

典型例題一、函數圖像與極值的關系例

1(

1

)(多選)如圖是函數y=f(x)的圖象，則

(BC)A.

在x=—2時，函數y=f(x)取得極值B.

在

x=1

時，函數y=f(x)取得極值C.y=f(x)的圖象在

x=0

處切線的斜率小于零

D,函

數

y=f(x)在區(qū)間(一2,2)上單調遞增例

1.

(2)(多選)如圖是函數y=f(x)的導函數y=f(x)的圖象，則A.

在x=-2

時，函數

y=f(x)取得極值B.

在x=1

時，函數

y=f(x)取得極值C.y=f(x)

的圖象在x=0

處切線的斜率小于零D.函數y=f(x)在區(qū)間(一2,2)上單調遞增1.函數y

=f(x)的導函數y=f(x)

的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是(

)

CA.在(-2,1)上f(x)是增函數B.在(1,3)上f(x)是減函數C.當x=2

時

，f(x)取得極大值D.當x=4

時

，f(x)取得極大值2.已知函數f(x)的定義域為(a,b),導函數f'(x)在(a,b)上的圖象如圖所示，則函數f(x)在(a,b)

上的極大值點的

個數為(B).A.1

B.2

C.3

D.4[解析]由導函數的圖象可知，f'(x)在(a,b)上

與x軸的交點個數為4,但是在原點附近的導數值恒大于零，故0不是

函數f(x)的極值點.其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿足其附近的導數值左正右負，故極大值點有2個.、

不含參數的函數求極值例2

.求函數

4x+4

的極值.X(-0,-2)-2(-2,2)2(2,+十00十極大極小值二、不含參數的函數求極值例2.求函數

的極值.解：函數的定義域為R,f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2)令f'(x)=0,

解得：x?=-2,x?=2當x變化時，f'(x),f(x),的變化情況如下表所以，當x=-2

時有極大值總結：求可導函數fx)的極值的步驟如下：(1).求函數定義域，導數f'(x);(2).求方程f'(x)=

0的根；(3).討論f'(x)在這些根左右的符號，常常列三行多列的表格進行說明；X(-0,-3)-3(-3,3)1-

3(3,+00)十00十119-9新知運用例

1求函數y=3x3-x+1

的極值.[解析]y

=9x2-1,

令

y'=0,

解得當x變化時，y

'和y的變化情況如表所示：1心時

，y

有極大值，極大值為時y有極小值，極小值為二、不含參數的函數求極值因此當7●

f●四

、不含參數的函數求極值變式訓練求下列函數的極值：(1)f(x)=x2e-×;[解析](1)函數f(X)

的定義域為R,f(x)=2xe-×+x2·e-×.(-x)'=2xe-×-x2e-×=x(2-x)e-×

.

令f'(x)=0,得x(2-x)e-×=0,解得x=0或x=2.當x變化時，f'(x),f(x)

的變化情況如表所示：X(-o,0)0(0,2)2(2,+0)f'(x)一0十0f(x)0入4e-2因時

，f(x)取得極小值，且極小值為f(0)=0;當x=2時，f(x)

取得極大值，且極大值為

心X(0,e)e(e,+0)f'(x)十0f(x)1e(

的定義域為(0,+00),且令f'(x)=0,解得x=e.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如表所示：故當-

時，函數(x)取得極大值，且極大值為●①當a

≤0時，f(x)>0,函數f(x)為(0,+0)上的增函數，函數f(x)無極值；②當a>0

時，令f'(x)=0,解得x=a,

又當x∈(0,a)

時

，f'(x)<0,當x∈(a,+0)時，f'(x)>0,所以函數f(x)在x=a

處取得極小值，且極小值為f(a)=a-aln

a,無極大值綜上所述，當a≤0

時，函數f(x)無極值；當a>0

時，函數f(x)在x=a

處取得極

小值a-alna,

無極大值.《3求含參函數的極值例2

已知函數f(x)=x-alnx(a∈R)

,求函數f(x)的極值.方法總結求解析式中含有參數的函數極值時，有時需要用分類討論的思想才能解決問題.討論的依據有兩種：一是看參數是否對f'(x)的零點有影響，若有影響，則需要分類討論

二

是看f(

x)在其零點附近的符號的確定是否與參數有關，若有關，則需要分類討論.已知函數f(x)=Inx-ax+a.(

1

)

若a=1,求函數f(x)的極值；(2)求函數f(x)的極值.[解析](1

)當a=1

時，f(x)=Inx-x+1(x>0),則令f(x)>0,

解得0<x<1;令f'(x)<0,

解得x>1.所以f(x)

在(0,1)上單調遞增，在(1,+0)上單調遞減，故f(x)

在x=1處取得極大值，極大值為f(1)=0,無極小值.《3求含參函數的極值變式訓練●處取(2)因為(X)=1n6-ax+a(x>0),所當a≤0時，f(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+00)上單調遞增，無極值.當a>0時，令f(x)>0,解得

;令f'(x)<0,

解得因此，f(x)

在上單調遞增，在上單調遞減，所以f(x)在

得極大值，極大值為,無極小值.綜上，當a≤0時

，f(x)無極值；當a>0

時

，f(x)有極大值，極大值為a-Ina-1,無極小值.事探究4函數極值的綜合應用例

3(20

23·云南昆明五華區(qū)質檢)已知曲線x=0

處切線的斜率為-2.(1

)

求a的值及f(x)的極小值；(2)討論方程f(x)=m(m∈R)的實數解的個數.[解析](1)f(x)=x2+x-a,

因為在x=0處切線的斜率為-2

,所以f(0

)=-a

=-2,

解得a=2,所以f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1).

令f'(x)=0,解得x=-2或x=1.當x變化時，f'(x),f(x)的變化情況如表所示.X(一0,-2)-2(-2,1)1(1,+0)f'(x)十00十f(x)入16故f(×的極小值為●綜上所述

時，方程f(x)=m

有1個實數解；當時，方程f(x)=m

有2個實數解；當時，方程f(x)有3個實數解.(2)由(1)知，f(x)在(-00,-2)上單調遞增，在(-2,1)上單調遞減，在(1,+00)上

單調遞增，且當(x→+0)時，(f(x)→+0);當(x→-)

時

，(f(x)→-)方法總結(

1)研究方程根的問題可以轉化為研究相應函數的圖象問題，一般地，方程f(x)=0的根就是函數f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x)=g(x)的根就

是函數f(x)與

g(x)的圖象的交點的橫坐標.(

2)事實上利用導數可以判斷函數的單調性，研究函數的極值情況，并在此基礎上畫出函數的大致圖象，從直觀上判斷函數圖象與x軸的交點或兩個函數圖象的交點的個數，從而為研究方程根的個數問題提供了方便.變式訓練已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2,

當

a=0,b=-3時，討論方程f(x)=m

的根的個數[解析]因

為f(x)=x3+ax2+bx+a2,

所以f'(x)=3x2+2ax+b,

當a=0,b=-3

時，f'(x)=3x2-3,f(x)=x3-3x.

令f'(x)=0,

解得x=-1

或x=1,所以當x

∈(-00,-1)U(1,+0)時

，f(x)>0,f(x)在(-00,-1),(1,+0)上單調遞

增；當

x∈(-1,1)時，f(x)<0,f(x)在(-1,1)上單調遞減.故f(x)的極大值為f(一1)=-1+3=2

,f(x)的極小值為f(1)=1-3=-2.故當m=-2或m=2時

，f(x)=m有兩個根；當m>2

或m<-2時，f(x)=m有一個根；當m∈(-2,2)時，f(x)=m有三個根1.函數的極值點、極值；

2.如何利用導數求極值；(1)求函數定義域，導數f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根；(3)列表討論f'(x)在這些根左右的符號；(4)寫結論

.

3.已知函數的極值，求參數的值或范圍.yf'(x?)=0f'(x)>0課堂小結yf'(x

<0f'(x,)=0

f(x)

>0a

Xo

ba

Xof'(x)<0b

xxX(-0,-2)-2(-2,1)1(1,2)2(2,+0)0十不確定十0極小值不取極值極大值變式T設函數f(x)在R

上可導，其導函數為f(x),且函數

y

=(

x-1f(x)的圖象如