天津市四校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期7月期末考試數(shù)學

2023～2024學年度第二學期期末考試高二數(shù)學一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）1.已知集合，，則（）A. B.C.或 D.或2.使不等式成立一個充分不必要的條件是（）A. B. C. D.3.已知具有線性相關關系的變量x，y，設其樣本點為（），經(jīng)驗回歸方程為，若，，則（）A.20 B. C. D.24.2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負責語言服務、人員引導、應急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負責語言服務工作，則不同的選法種數(shù)共有（）A102種 B.105種 C.210種 D.288種5.定義在上的函數(shù)導函數(shù)為，若對任意實數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.6.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.7.已知，，若對，總，使成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）10.若命題“使”是假命題，則實數(shù)取值范圍為_____，11.某考生回答一道四選一考題，假設他知道正確答案的概率為，知道正確答案時，答對的概率為，而不知道正確答案來時猜對的概率為，那么他答對題目的概率為______12.已知展開式中的常數(shù)項是，則實數(shù)的值為______13.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，是公比為3的是等比數(shù)列，且，設，則______14.設為正數(shù)，且，則的最小值為______15.若有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為______三、解答題（本題共5題，共75分）16.本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分，每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時.（1）求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；（2）求甲所付的租車費用比乙所付的租車費用多2元的概率；（3）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量X，求X的分布列、均值、方差17.如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，且.（1）求證：平面DEC；（2）求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）求點D到平面BEF的距離.18已知，，其中（1）令（i）求的單調區(qū)間和極小值；（ii）若存在大于0的零點，且方程恰有三個實根，求實數(shù)a的取值范圍（2）若對，，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.19.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，求，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，若對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設，求的值.20.已知.（1）若在處的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）當時，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若有零點，求證：.2023～2024學年度第二學期期末考試高二數(shù)學一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）1.已知集合，，則（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分別解出集合中的不等式，再運用集合交運算即可求解.【詳解】由，得或，即或，故或，，即，解得或，故或，則或.故選：.2.使不等式成立的一個充分不必要的條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解分式不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.詳解】由等價于，即，解得，因為真包含于，所以不等式成立的一個充分不必要的條件是．故選：B．3.已知具有線性相關關系的變量x，y，設其樣本點為（），經(jīng)驗回歸方程為，若，，則（）A.20 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】求出樣本中心點，代入求解出.【詳解】由于，，所以，.將代入，即，解得：.故選：D.4.2024年湯姆斯杯需招募志愿者，現(xiàn)從某高校的8名志愿者中任意選出3名，分別負責語言服務、人員引導、應急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能負責語言服務工作，則不同的選法種數(shù)共有（）A.102種 B.105種 C.210種 D.288種【答案】C【解析】【分析】先算從8名志愿者中任意選出3名的方法數(shù)，再減去甲、乙、丙3人有一人負責語言服務工作的方法數(shù)，即可得解.【詳解】先從8名志愿者中任意選出3名，分別負責語言服務、人員引導、應急救助工作，有種，其中甲、乙、丙3人有一人負責語言服務工作，有種，故符合條件的選法共有種.故選：C5.定義在上的函數(shù)導函數(shù)為，若對任意實數(shù)x，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造，根據(jù)導數(shù)研究單調性，結合已知將問題化為，再根據(jù)的單調性即可求出結果.【詳解】設，則，對任意實數(shù)x，有，所以，則在上單調遞減.因為為奇函數(shù)，且的定義域為R，所以，所以，所以.因為，所以求不等式的解集，即求的解集，即求的解集，因為在上單調遞減，所以的解集為，所以不等式的解集為.故選：B【點睛】關鍵點點睛：構造函數(shù)，根據(jù)題意，可得其單調性，從而求解不等式.6.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先和特殊值比較大小，再根據(jù)函數(shù)的單調性比較和的大小.【詳解】，所以，即，，，且，所以，即.故選：D7.已知，，若對，總，使成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，求出兩函數(shù)的值域，列不等式組可求得結果.【詳解】由，得，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為，所以，所以的值域為，由，得，當時，，所以在上遞增，所以，，所以的值域為，因對，總，使成立，所以，所以，解得.故選：A8.已知，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù)，判斷出函數(shù)的奇偶性，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調性解不等式即可.【詳解】令，，所以函數(shù)在上單調遞減，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由，得，即，所以，解得,所以不等式的解集為.故選：B.9.已知函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意轉化為存在，使，參變分離后，轉化為求函數(shù)的最值問題，即可求解.【詳解】，，由題意可知，存在，使，即，則，，當時，取得最小值，即，得.故選：B二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分）10.若命題“使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為_____，【答案】【解析】【分析】原命題等價于命題“，”是真命題【詳解】由題意得若命題“”是假命題，則命題“，”是真命題，則需,故本題正確答案為．【點睛】本題主要考查全稱量詞與存在量詞以及二次函數(shù)恒成立的問題．屬于基礎題．11.某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為，知道正確答案時，答對的概率為，而不知道正確答案來時猜對的概率為，那么他答對題目的概率為______【答案】##【解析】【分析】由全概率公式計算可得.【詳解】依題意，他答對題目的概率.

故答案為：12.已知展開式中的常數(shù)項是，則實數(shù)的值為______【答案】【解析】【分析】利用二項式定理求出的展開式的通項，令的指數(shù)為，求出常數(shù)項，建立關于的方程，即可求解.【詳解】由題意得，的展開式的通項為，令，解得，，所以的展開式中的常數(shù)項為，解得.故答案為：.13.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，是公比為3的是等比數(shù)列，且，設，則______【答案】【解析】【分析】先求出數(shù)列，的通項，再利用分組求和法出，即可得解.【詳解】由題意，，則，所以.故答案為：.14.設為正數(shù)，且，則的最小值為______【答案】##5.8【解析】【分析】由題意，原式可化簡為：，由，得，即，再利用基本不等式“1”的代換即可求解.【詳解】由題意，，因為，所以，所以，所以，當且僅當，即，時，等號成立，所以，所以，即的最小值為.故答案為：.15.若有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】令，，將函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)與的圖象交點問題，分類討論時，函數(shù)與圖象的交點個數(shù)，即可求解.【詳解】由，得，即，令，，則函數(shù)有四個零點等價于函數(shù)與的圖象有四個交點，若，則，由，解得，僅有兩個零點，不滿足題意；若，由，解得或，由，解得或，當，即時，如圖①所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個交點；在上，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點；同理，在上，有且僅有一個交點，所以函數(shù)與的圖象有四個交點，函數(shù)有四個零點，滿足題意；當，即時，如圖②所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個交點；上，函數(shù)與函數(shù)有一個交點；同理，在上，沒有交點，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，函數(shù)有兩個零點，不滿足題意；當，即時，如圖③所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個交點；在上，函數(shù)與函數(shù)有一個交點；同理，在上，沒有交點，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，函數(shù)有兩個零點，不滿足題意；當，即時，當時，可化為，即，因為判別式，所以無解所以函數(shù)與的圖象在上沒有交點，如圖④所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個交點；在上，函數(shù)與函數(shù)沒有交點；同理，在上，有且僅有一個交點，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，函數(shù)有兩個零點，不滿足題意；若，當，即時，如圖⑤所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個交點；在上，函數(shù)與函數(shù)有兩個交點；同理，在上，有且僅有一個交點，所以函數(shù)與的圖象有四個交點，函數(shù)有四個零點，滿足題意；當，即時，如圖⑥所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故沒有交點；在上，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個交點；同理，在上，有且僅有一個交點，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，函數(shù)有兩個零點，不滿足題意；當，即時，如圖⑦所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故沒有交點；在上，函數(shù)與函數(shù)有且僅有一個交點；同理，在上，有且僅有一個交點，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，函數(shù)有兩個零點，不滿足題意；當，即時，當時，可化為，即，因為判別式，即無解所以函數(shù)與的圖象在上沒有交點，如圖⑧所示，在上，由于函數(shù)的增長速度大于函數(shù)的增長速度，故有且僅有一個交點；在上，函數(shù)與函數(shù)沒有交點；同理，在上，有且僅有一個交點，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，函數(shù)有兩個零點，不滿足題意；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了函數(shù)的零點問題，關鍵在于將零點問題轉化為直線與曲線的交點問題，應用數(shù)形結合、分類討論思想判斷交點個數(shù).三、解答題（本題共5題，共75分）16.本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分，每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）.設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時.（1）求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；（2）求甲所付的租車費用比乙所付的租車費用多2元的概率；（3）設甲、乙兩人所付租車費用之和為隨機變量X，求X的分布列、均值、方差【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）首先求出兩個人租車時間在三小時以上且不超過四小時的概率，則甲、乙兩人所付的租車費用相同：都不超過兩小時，都在兩小時以上且不超過三小時和都在三小時以上且不超過四小時三類求解即可；（2）根據(jù)題意分為甲兩小時以上且不超過三小時還車，且乙不超過兩小時還車，或者甲三小時以上且不超過四小時還車，且乙兩小時以上且不超過三小時還車兩種情況，求解即可；（3）列出隨機變量X的分布列，再利用期望、方差公式求值.小問1詳解】由題意可知，甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為，，設甲、乙兩人所付的租車費用相同為事件A，則，所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為；【小問2詳解】若甲所付的租車費用比乙所付的租車費用多2元，則分為甲兩小時以上且不超過三小時還車，且乙不超過兩小時還車，或者甲三小時以上且不超過四小時還車，且乙兩小時以上且不超過三小時還車兩種情況，甲所付的租車費用比乙所付的租車費用多2元的概率為；【小問3詳解】X的可能取值為0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：X02468P數(shù)學期望，.17.如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，且.（1）求證：平面DEC；（2）求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）求點D到平面BEF的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出，平面的一個法向量為，則由，即可證得平面DEC；（2）分別求出平面與平面的一個法向量，則利用向量坐標運算，求得平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；（3）由平面的一個法向量為，，利用點到平面的距離公式即可求得點D到平面BEF的距離.【小問1詳解】

由已知，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，由平面ABCD，所以，又，，平面，所以平面，以D為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，已知，則，所以，易知平面的一個法向量為，得，又平面，所以平面.【小問2詳解】由上坐標系可知，則，設平面與平面的一個法向量分別為，則有，，取，則，即，設平面與平面的夾角為，則.【小問3詳解】由（2）得平面的一個法向量為，又，所以點D到平面的距離.18.已知，，其中（1）令（i）求的單調區(qū)間和極小值；（ii）若存在大于0的零點，且方程恰有三個實根，求實數(shù)a的取值范圍（2）若對，，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（i）答案見解析；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i），求出導函數(shù)，然后分，，，四種情況分別討論即可求解；（ii）由（1）可知只能，此時，通過分析的極值，可得方程恰有三個實根，只需，求解即可；（2）將不等式變形為，設，則問題等價于對任意恒成立，故只需函數(shù)在R上單調遞增，即恒成立，從而求出a的最小值.【小問1詳解】（i）根據(jù)題意，，，所以當時，

00單調遞減極小值單調遞增當時，

000單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增當時，在R上單調遞增，當時，

000單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增綜上可得：當時，在上單調遞減，上單調遞增，當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，當時，在R上為增函數(shù)，當時，在單調遞增，上單調遞減，上單調遞增；（ii）因為方程恰有三個實根，由（1）可知和兩種情況顯然不符合題意，當時，，而時，單調遞增，無大于0的零點，不符合題意，所以只能，此時，由于在單調遞減，，在單調遞增，，在上單調遞增，，令，則，令，則，所以在單調遞增，則，即，所以在單調遞增，則，所以，即在從最小值增大到大于0，所以方程恰有三個實根，只需，即，化簡為，而，，則，則，故實數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】由題意可得原不等式可化為，故不等式在R上恒成立．

設，則上式等價于，要使對任意，恒成立，由，只需函數(shù)在上單調遞增，在上恒成立．即恒成立，令，則當時，則單調遞增，當時，則單調遞減，所以，故，則實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，求，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，若對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出，從而可求出數(shù)列和的通項公式；（2）由（1），利用并項求和法可求出，則將問題轉化為對恒成立，令，求出的最大值即可；（3）由（1）可得，然后利用裂項相