北師版九年級數(shù)學(xué) 第四章 圖形的相似（單元綜合測試卷）

第四章圖形的相似（單元重點綜合測試）班級___________姓名___________學(xué)號____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：120分鐘；總分：120分一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．若，則等于（）A． B． C． D．2．如果兩個相似三角形的面積之比為，那么這兩個三角形的周長之比為（

）A． B． C． D．3．已知，點P是線段的黃金分割點（），若線段，則線段的長是（）A．cm B．（）cm C．（）cm D．（）cm4．如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（）A． B． C．5 D．95．如圖，下列條件不能判定的是（

）

A． B．C． D．6．如圖，在中，E是的中點，交于點F，那么與的比是（

）A． B． C． D．7．如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面的距離為1.6米，車頭近似看成一個矩形，且滿足，若盲區(qū)的長度是6米，則車寬的長度為（）米．A． B． C． D．28．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，已知，與位似，原點是位似中心．若，則長為（

）

A．4.5 B．6 C．7.5 D．99．如圖，是等邊三角形，點、分別在、上，且，，，則的長等于（

）

A．1 B． C． D．210．如圖，在正方形的對角線上取一點．使得，連接并延長到，使，與相交于點，若，有下列結(jié)論：①；②；③；④．則其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)是．12．如圖，在中，，分別與相交于點D、E，若，，則的值為．13．如圖，在中，點為上一點，連接.若再添加一個條件，使，則需添加的一個條件是.14．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊米，米，測得邊離地面的高度米，米，則樹高為米．

15．如圖，已知和是以點為位似中心，位似比為的位似圖形，若點的對應(yīng)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為．16．如圖，是的中線，E是的中點，的延長線交于點F，那么．17．如圖，菱形的邊長為5，對角線、相交于點O，E為邊的中點，連接交于點F．若，則的長為．18．如圖，在矩形中，，，點E是的中點，點M是的動點．將沿翻折至．再將沿翻折至，使點M，P，Q在同一直線上，折痕交射線于點F．則：（1）°；（2）當(dāng)點M是的中點時，的長為．

三、解答題（本大題共9小題，共66分）19．（1）若，且，求的值；（2）若，則______．20．如圖，已知直線，，分別截直線于點，，，截直線于點，，，且．若，，，求的長．21．如圖，在中，點D，E在上，點G在上，連接，．求證：22．如圖，線段、是的兩條高．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．23．小琛周末去檢查視力，發(fā)現(xiàn)該店老板利用平面鏡來解決房間小的問題．已知正常情況下，人與視力表之間的距離應(yīng)為米，而測得該店兩面墻的距離為米，如圖，根據(jù)平面鏡成像原理作出光路圖，視力表的上下邊沿，上發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊反射后射入人眼處．已知視力表的全長為米，要使墻面上的鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，請計算出鏡長至少為多少米？24．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，其頂點稱為格點，的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中，在的邊上找一點D，連結(jié)，使；(2)在圖②中，在的邊上找一點P，在邊上找一點Q，連結(jié)，使，且相似比為；(3)在圖③中，在的邊上找一點E，連結(jié)，使．25．在正方形網(wǎng)格中，的頂點分別為，，．

(1)以點為位似中心，以位似比在位似中心的異側(cè)將放大為，放大后點B，C兩點的對應(yīng)點分別為，，請畫出；(2)在（1）中，若點為線段上任一點，直接寫出變化后點M的對應(yīng)點的坐標(biāo)．（用含a，b的代數(shù)式表示）26．已知四邊形的一組對邊的延長線相交于點E．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2．若，的面積為6，求四邊形的面積．27．如圖1，在等腰直角三角形中，以為邊在右側(cè)作正方形．(1)問題提出：圖I中線段與線段的數(shù)量關(guān)系為（直接寫出答案）；(2)深入探究：如圖2，將正方形繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接．判斷線段與線段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)拓展延伸：若，正方形繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點A，E，請直接寫出線段的長．28．如圖，在菱形中，，點E為邊上一點，將沿翻折得到，連接并延長交于點F，交于點G．(1)設(shè)，探究的大小是否為定值，請說明理由；(2)在上截取，連接，求證：；(3)若，，求菱形的邊長．

第四章圖形的相似（單元重點綜合測試）班級___________姓名___________學(xué)號____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時間：120分鐘；總分：120分一、單選題1．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積用b表示出a，然后代入比例式進(jìn)行計算即可得解．【解析】∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟記“兩內(nèi)項之積等于兩外項之積”，并用b表示出a是解題的關(guān)鍵．2．如果兩個相似三角形的面積之比為，那么這兩個三角形的周長之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解此題的關(guān)鍵．【解析】解：∵兩個相似三角形的面積之比為，∴兩個相似三角形的相似比為，∵相似三角形的周長比等于相似比，∴這兩個三角形的周長之比為，故選：D．3．已知，點P是線段的黃金分割點（），若線段，則線段的長是（）A．cm B．（）cm C．（）cm D．（）cm【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AP是較長線段，則，代入數(shù)據(jù)即可得出的長度．【解析】解：由于P為線段的黃金分割點，且是較長線段，則．故選：B【點睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．熟記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長的線段＝原線段的是解題的關(guān)鍵．4．如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（）A． B． C．5 D．9【答案】A【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【解析】解：，，，，，，，解得：，故選：A．5．如圖，下列條件不能判定的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，分別判斷得出即可．【解析】解：A、∵，，∴，故此選項不合題意；B、∵，，∴，故此選項不合題意；C、∵，∴，又∵，∴，故此選項不合題意；D、不能判定，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.6．如圖，在中，E是的中點，交于點F，那么與的比是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而推得，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即得答案．【解析】四邊形是平行四邊形，，，E是的中點，，，，，．故選C．7．如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面的距離為1.6米，車頭近似看成一個矩形，且滿足，若盲區(qū)的長度是6米，則車寬的長度為（）米．A． B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查視點、視角、盲區(qū)的意義，此類問題可以轉(zhuǎn)化為相似三角形的知識進(jìn)行解答．通過作高，利用相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比，列方程求解即可．【解析】解：如圖，過點P作，垂足為M，交于點N，則，設(shè)米，由得，，∵四邊形是矩形，，，，即，，，，解得，，故選：B．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)中，已知，與位似，原點是位似中心．若，則長為（

）

A．4.5 B．6 C．7.5 D．9【答案】A【分析】由得出，由位似圖形的性質(zhì)可得，即可求出長．【解析】解：，與位似，原點是位似中心，，，，故選：A．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出是解此題的關(guān)鍵．9．如圖，是等邊三角形，點、分別在、上，且，，，則的長等于（

）

A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，推出，列出比例式進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，且，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴；故選B．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．10．如圖，在正方形的對角線上取一點．使得，連接并延長到，使，與相交于點，若，有下列結(jié)論：①；②；③；④．則其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①由正方形的性質(zhì)可以得出，，通過證明，就可以得出．②在EF上取一點G，使，連接，再通過條件證明就可以得出．③過作交于，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出高，根據(jù)三角形的面積公式即可求得．④解直角三角形求得，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到，然后通過證得，求得．【解析】證明：①四邊形是正方形，，，．在和中，，，，故①正確；②在EF上取一點G，使，連接CG，，．，，，．，，．，是等邊三角形．，，，．，，．在和中，，，．，，故②正確；③過D作交于M，在中，根據(jù)勾股定理求出，由面積公式得：，，，，中，中，在中，，中，，，．．，故③正確；④在中，，是等邊三角形，，，，∴．，故④錯誤；綜上，正確的結(jié)論有①②③．故答案選：A．【點睛】本題主要考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)以及三角形相似性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)是．【答案】/100度【分析】利用相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例即可求解．【解析】解：四邊形四邊形，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等．12．如圖，在中，，分別與相交于點D、E，若，，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握該定理是解題的關(guān)鍵，根據(jù)，由平行線分線段成比例定理可得，將已知條件代入即可求解．【解析】解：∵，，，∴．故答案為．13．如圖，在中，點為上一點，連接.若再添加一個條件，使，則需添加的一個條件是.【答案】∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP：AC=AC：AB【分析】利用相似三角形的判定可求解．【解析】解：①當(dāng)∠ACP=∠B，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加∠ACP=∠B；②當(dāng)∠APC=∠ACB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加∠APC=∠ACB；③當(dāng)AP：AC=AC：AB，∠A=∠A，可得△APC∽△ACB，故可添加AP：AC=AC：AB；故答案為∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP：AC=AC：AB．【點睛】本題考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；③兩角相等的兩個三角形相似；④兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似判定即可；⑤三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.14．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊米，米，測得邊離地面的高度米，米，則樹高為米．

【答案】【分析】先判定和相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出的長，再加上即可得解．【解析】解：在和中，，，，即，解得：，，，即樹高．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，比較簡單，判定出和相似是解題的關(guān)鍵．15．如圖，已知和是以點為位似中心，位似比為的位似圖形，若點的對應(yīng)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵．設(shè)點橫坐標(biāo)為，過作軸于點，過作軸于點N，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，計算即可．【解析】設(shè)點橫坐標(biāo)為，如圖，過作軸于點，過作軸于點N，，，∵和是位似比為的位似圖形，即，解得，點橫坐標(biāo)為．16．如圖，是的中線，E是的中點，的延長線交于點F，那么．【答案】【分析】根據(jù)題意先過D作的平行線，交邊于G，得出，再根據(jù)D為中點可得出，；同理求得，從而得出，即可得出的值．【解析】解：過D作的平行線，交邊于G，如圖所示：∵D為中點，，∴，即：，又E為的中點，的延長線交于F，，∴，即：，∴，∴.故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．17．如圖，菱形的邊長為5，對角線、相交于點O，E為邊的中點，連接交于點F．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而證明得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【解析】解：∵菱形的邊長為，，∴，，，∴，∵為邊的中點，∴，∵，∴∴∴，則，在中，，∴故答案為：．18．如圖，在矩形中，，，點E是的中點，點M是的動點．將沿翻折至．再將沿翻折至，使點M，P，Q在同一直線上，折痕交射線于點F．則：（1）°；（2）當(dāng)點M是的中點時，的長為．

【答案】/90度/【分析】（1）由折疊知，.根據(jù)圖中角的位置，求得；（2）如圖，,由折疊可得兩點重合．中，，勾股定理得，可證，得，求得，于是，所以．【解析】解：（1）如圖，由折疊知，.∴．∴．

（2）如圖，點M是的中點時，,由折疊知，∴,即兩點重合．中，，∴．∵，

∴．∴．∴．∴．∴．∴．

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；由折疊得到角相等，線段相等是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（1）若，且，求的值；（2）若，則______．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查比例的性質(zhì)，（1）設(shè)，然后用含的代數(shù)式表示出、、，再代入求出的值，即可得解；（2）由，得，，再代入，即可得解；解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)：比例的內(nèi)項之積與外項之積相等．【解析】解：（1）設(shè)，∴，，，∴，解得：，∴，，，∴，∴的值為；（2）∵，∴，，∴，∴，故答案為：．20．如圖，已知直線，，分別截直線于點，，，截直線于點，，，且．若，，，求的長．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例；根據(jù)平行線分線段成比例列式求出，再根據(jù)計算即可．【解析】解：∵，∴，即，∴，∴．21．如圖，在中，點D，E在上，點G在上，連接，．求證：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得和，即得【解析】證明：∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查比例線段，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例．22．如圖，線段、是的兩條高．

(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)高線的定義，得到，再根據(jù)，即可得證；（2）證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：∵線段、是的兩條高，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．23．小琛周末去檢查視力，發(fā)現(xiàn)該店老板利用平面鏡來解決房間小的問題．已知正常情況下，人與視力表之間的距離應(yīng)為米，而測得該店兩面墻的距離為米，如圖，根據(jù)平面鏡成像原理作出光路圖，視力表的上下邊沿，上發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上下邊反射后射入人眼處．已知視力表的全長為米，要使墻面上的鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，請計算出鏡長至少為多少米？【答案】鏡長至少為米．【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用；首先作，垂足為，并延長交于，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知；接下來由相似三角形的判定定理可得，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．【解析】解：作，垂足為，并延長交于，如圖：∵，，，，，，，，（米），答：鏡長至少為米．24．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，其頂點稱為格點，的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，并保留作圖痕跡．(1)在圖①中，在的邊上找一點D，連結(jié)，使；(2)在圖②中，在的邊上找一點P，在邊上找一點Q，連結(jié)，使，且相似比為；(3)在圖③中，在的邊上找一點E，連結(jié)，使．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】（1）在上取一點D，使得即可；（2）取的中點P，取格點T，連接交于點Q，線段即為所求；（3）取格點P，Q，連接交于點E，連接即可，本題考查作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【解析】（1）解：如圖①中，線段即為所求；（2）解：如圖2中，線段即為所求；（3）解：如圖③中，點E即為所求．25．在正方形網(wǎng)格中，的頂點分別為，，．

(1)以點為位似中心，以位似比在位似中心的異側(cè)將放大為，放大后點B，C兩點的對應(yīng)點分別為，，請畫出；(2)在（1）中，若點為線段上任一點，直接寫出變化后點M的對應(yīng)點的坐標(biāo)．（用含a，b的代數(shù)式表示）【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）利用位似變換的性質(zhì)，，，再結(jié)合，，，即可分別作出B，C的對應(yīng)點，，再連接即可作答；（2）探究坐標(biāo)變化規(guī)律，可得結(jié)論．【解析】（1）解：如圖，即為所求：

（2）解：因為，，且由（1）的圖可知，，所以變化后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查作圖?位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．26．已知四邊形的一組對邊的延長線相交于點E．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2．若，的面積為6，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形以及勾股定理等知識點，熟記相關(guān)定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．（1）證即可；（2）過C作于F，于G．可求出；證得，即可求解；【解析】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴；（2）解：如圖2中，過C作于F，于G．在中，，∴°，∵，∴∵，∴，∴，∴∵，∴，在中，∴∵∴，∵∴，∴∴∴∴∴27．如圖1，在等腰直角三角形中，以為邊在右側(cè)作正方形．(1)問題提出：圖I中線段與線段的數(shù)量關(guān)系為（直接寫出答案）；(2)深入探究：如圖2，將正方形繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接．判斷線段與線段的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)拓展延伸：若，正方形繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點A，E，請直接寫出線段的長．【答案】(1)(2)，理由見解答過程(3)或【分析】（1）根據(jù)是等腰直角三角形，得，再由正方形的性質(zhì)即可解答；（2）連接，根據(jù)和都是等腰直角三角形，可證明，然后根據(jù)線段比例即可解答；（3）分當(dāng)點F在線段上或點F在線段的延長線兩