2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用新人教B版

空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、選擇題

1.(2021?廣西柳州高三期末)向量a=(2,4,5),向量6=(1,2,t),若a_L6,則實(shí)數(shù)

t=()

58

A.7;B.1C.-2D.-T

C[因?yàn)橄蛄縜=(2,4,5),向量b=(l,2,t),若々_1_。，

則a?b=2Xl+4X2+5￡=Q,解得￡=一2,故選C.]

2.(2021?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三期末)已知空間三點(diǎn)4(—2,0,8),P(勿，勿，加，8(4,一

4,6),若向量為與南的夾角為600,則實(shí)數(shù)加=()

A.1B.2C.-1D.-2

B[VJ(—2,0,8),P(m,m,勿)，6(4,—4,6),

:?PA=(-2—m,一見8—而,PB=(4—ZP,-4一見6—加，

4的*士…\7A-'PB\

由題盡有cos60=~^一二~

國II法

________3序一129+40_______

43“一12/ff~F68q3,-126+68

即—12/TT+40,整理得病-4R+4=0,解得勿=2.]

3.若平面明￡的一個(gè)法向量分別為—1),n=(2,—3,0),則()

A.a"B

B.a

C.。與萬相交但不垂直

I).?！ㄈf或。與￡重合

B「?"?〃=：X2+；X(―3)+(―1)X0=0,.???_!_〃，萬，故B正確，C不正

乙13

確；不存在入，使得皿=入〃,則A,D均不正確.]

4.對(duì)于空間一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4B,C,有6蘇=5+2為+3懣則()

A.0,力,B,。四點(diǎn)共面

B.P,A,B,。四點(diǎn)共面

C.0,P,B,。四點(diǎn)共面

D.0,P,A,B,。五點(diǎn)共面

R［由6四為+2而+R正

得方—而=2（而一冽+3（應(yīng)一冽，

即誦=2兩+3訖

故正港元共面，又它們有公共點(diǎn)只

因此，尸，4B,。四點(diǎn)共面，故選B.］

5.已知茄=&赤=兒如圖，在平行六面體力筋■4打G"中，刀尸c,則用向量a,b,

c可表示向量能為（）

A.a+6+c

C.a-\-b~c0.-a+b+c

D［在平行六面體力灰力〃中，BR=BA+AD+。隊(duì)=-AB+A葉AA\=-a+b+c.］

6.（2021?重慶南開中學(xué)高三期末）如圖，ALL平面486〃四邊形川吩為矩形，其中

AD=2AB,￡是切的中點(diǎn)，尸是4?上一點(diǎn)，當(dāng)BF工PE時(shí),AF：FD={）

D［以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,/尸所在的直線分別為必y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示，設(shè)月8=1,貝IJ49=2,設(shè)HP=a,

所以1(0,0,0),Ml,o,0),〃(0,2,0),2,0j,尸(0,0,血，

設(shè)產(chǎn)(0,必0),則比一弓，2,一，，必0),

因?yàn)锽RLPE,所以即?PE=Q,所以-5+27=0,解得y=),

乙T

(1A]1717

所以《0,Oj,所以"'=[,則功=2—彳=彳，所以"<:&>=彳：[=1：7,故選D.]

二、填空題

7.在正三棱柱力僅7-484中，月8=44=2,點(diǎn)〃滿足礪=](耘+就)，貝UI而I

乙

2[因?yàn)槿庵?G46G是正三棱柱，所以平面48。，且△加。為等邊三角形，

如圖建立以力為原點(diǎn)，”>所在的直線為y軸，過點(diǎn)力垂直于〃?的直線為x軸，44i所

在的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),B(木,1,0),4(0,0,2),6,(0,2,0),』(木,1,0),就=(0,0,2),

所以而=:(孤就)1,2)=停.1)即《當(dāng),.1)

所以I⑺=+7-2+1-02=2.]

8.已知a=(4,—2,6)?b—(—1,4?—2),c—(7,5,4),若a,b,c三向量共面,

貝I]X=________

—[因?yàn)閍,b,c三向量共面，所以存在力，〃￡R,使得。=儂+〃6,

4/?-72=7,

則c=(7,5,A)=(4/?—/?,—2勿+44,6加一2〃)，即,一2曠F4〃=5,解得

6/7?—2/7=4,

⑴??,川為度的中點(diǎn)，.:V(0,2,1),

則嬴=(一2,0,1),~AD=(-?.,0,0),~AF=(0,0,2),

：.BM=AD+-AF,故BM,AD,4/英面.

又B出平面ADEF,，颯〃平面/應(yīng)冗

(2)而=(-2,2,0),~DR=(2,2,0),~DE=(0,0,2),

???詼?防=-4+4=0,：.BCA.DB,

又訪?應(yīng)=0,C.BCVDE.

又DECDB=D,DB,DEu平面BDE,；.BC工平面8M.

11.如圖，在直三棱柱力4G月由G的面力比中，CA=CB=3/BCA=90°,棱力4=2,

M,N,〃分別是48,M,8G的中點(diǎn).

⑴求向量質(zhì)的模;

⑵點(diǎn)，是線段施上一點(diǎn)，且箭4口求證：械平面。氏

［解］由題意，CA,CB,CG兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0),8(0,1,0),61(0,0,0),4(1,0,2),8(0,1,2),6(0,0,2).

(1)因?yàn)镸，分別為44笈。中點(diǎn)，

因此40,之,2j,Ml,0,1),

即於(1,-1,-lj,

?麻=q1+O+-i2=|.

⑵證明：由題意得小，o,D，4,看2),

設(shè)平面G肝的法向量為〃=(x,y,z),GJ/=&上，oj,GP=(1,0,—g

n?6;j/=-^+-y=0,

令x=l,y=-1,z=2.

一!

(n?G-L]z=0,

,*.n=(1,—1,2),又加9=(—1,1,—2)=~n,

???46_L平面CxMP.

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

1.如圖所示的平行六面體例⑦■4笈C〃中，已知力8=44=49,/BAQNDAAi=60°,

N胴4=30°,N為44上一點(diǎn)，且4小J44兒

(1)若即_L4V,則4的值為；

⑵若時(shí)為棱?！ǖ闹悬c(diǎn)，8必/平面48M則4的值為.

(1)V3-1(2)|[⑴取空間中一組基底：~AB=a,~AD=b,而尸c,因?yàn)槠L/1M

O

所以礪?就J=0.

因?yàn)锽D=AD—AB=b—a,zt￥=/4+4N=c+九b,

所以(b—a)?(c+九5)=0,

所以J+x—噂-J=0,所以4=小一1.

乙乙乙

(2)在月〃上取一點(diǎn)朗使得4AJ/W5,連接用Y,機(jī)機(jī)MB因?yàn)?;V〃4M且4人44,所

以四邊形44陽為平行四邊形，又AA4盼,所以M力幺44,所以四邊形.陽能為平行

四邊形，所以NBJ/探B,NB\=M\B,

又因?yàn)殛柶矫嫒?V,仍u(píng)平面仍A。

D、

所以〃平面ARN,

又因?yàn)椤ㄆ矫媪?W,且BMCM4B,

所以平面M.如〃平面A氏N,

所以捌〃平面AByN.

又因?yàn)槠矫嫫矫嫒訵=4V；且MMu平面AAiBO,

所以林加4V,所以△AUSA.MM,

刎二她二4〃2

所以所以八=『

麗=礪1-4~~MT2]

2.如圖所示，在平行四邊形力及⑵中，AB=AC=CD=\1ZACD=90°,把△力先沿對(duì)角

線/折起，使仍與切成60°角，則即的長為.

D

B

2或添廠?,力6與切成60°角,

:.(BA,6=60°或120°.

又,：AB=AC=CD=\,AC工CD,ACLAB,

????勵(lì)=y1^=q后+元+而2

=、/函十病十力十2防?病+2位7?訪+2蕩?元?

=v1+1+1+0+0+2X1XIXcos〈BA,CEf)

=v3+2cos〈加，C6,

???|筋1=2或的長為2或］

3.（2021?黑龍江哈師大附中高三三模）如圖，四棱錐產(chǎn)川陽9的底面力版是矩形，PD

J_平面力比2PD=AB=2BC=4,E,F地板PC,加上的點(diǎn)，而=3擊PF=2FB.

(1)求證：肝'〃平面BDE；

⑵棱川上是否存在點(diǎn)機(jī)使CWJ_平面及/？若存在，求出士的值；不存在，請(qǐng)說明理

由.

［解］(1)證明：???W_L平面力比〃AD,C上平面加徽

:.PDLAD,PD1CD,在矩形四儀?中，ADVCD.

:?DA,DC,如三條線兩兩垂直，

如圖，分別以的，DC,〃戶所在直線為x軸、丁軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則力(2,0,0),6(2,4,0),

。(0,4,0),尸(