2025屆湖北鄂州市數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆湖北鄂州市數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．，則（）A. B.C. D.2．在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線3．已知動點在直線上，過點作圓的切線，切點為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.4．如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.6．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.7．橢圓的焦點坐標為（）A.， B.，C.， D.，8．設，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.9．數(shù)列，，，，…，是其第（）項A.17 B.18C.19 D.2010．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為（）A. B.C. D.11．（2017新課標全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.12．圓關于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點（A在B的上方），且l與準線交于點C，若，則_________.14．函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________.15．橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是___________.16．雙曲線的離心率為2，寫出滿足條件的一個雙曲線的標準方程__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點是圓上任意一點，是圓內(nèi)一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設不經(jīng)過坐標原點，且斜率為的直線與曲線相交于、兩點，記、的斜率分別是、，以、為直徑的圓的面積分別為、當、都存在且不為時，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由18．（12分）某消費者協(xié)會在3月15號舉行了以“攜手共治，暢享消費”為主題的大型宣傳咨詢服務活動，著力提升消費者維權意識，組織方從參加活動的群眾中隨機抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中m的值；（2）估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)（結果精確到0.1）；（3）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機抽取2名群眾組成維權志愿者服務隊，求恰有一名女性的概率.19．（12分）已知橢圓）過點A（0，），且與雙曲線有相同的焦點（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上異于A的兩點，且滿足，試判斷直線MN是否過定點，并說明理由20．（12分）已知復數(shù)，是實數(shù).（1）求復數(shù)z；（2）若復數(shù)在復平面內(nèi)所表示的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值22．（10分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B2、A【解析】首先建立平面直角坐標系，然后結合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設，可得：，從而：，結合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.4、B【解析】建立空間直角坐標系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，設正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5、B【解析】令，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B6、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據(jù)復合命題的真假關系，即可得出結論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.7、A【解析】由題方程化為橢圓的標準方程求出c，則橢圓的焦點坐標可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點為故選：A.8、C【解析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進行計算.【詳解】時，容易驗證兩直線不平行，當時，根據(jù)兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.9、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數(shù)列的第20項；故選：D.【點睛】此題考查了由數(shù)列的項歸納出數(shù)列的通項公式，考查歸納能力，屬于基礎題.10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式直接得出結果.【詳解】因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B11、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.12、D【解析】先根據(jù)圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，由可求.【詳解】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，設，，則，∴，∴.故答案為：2.14、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導函數(shù)并且通過導數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到原函數(shù)的極值，因為函數(shù)僅有一個零點，所以結合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于，即可得到答案.【詳解】解：由題意可得：函數(shù)，所以，令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為所以當時函數(shù)有極大值，當時函數(shù)有極小值，，因為函數(shù)僅有一個零點，，所以或，解得或.所以實數(shù)的取值范圍是故答案為：15、【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.16、（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）【解析】根據(jù)離心率和的關系，可得到，只要滿足以上關系的即可【詳解】由題可知，又，所以，只要滿足以上關系即可.,答案不唯一例如：等故答案為：（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由條件可得點軌跡滿足橢圓定義，設出橢圓方程，由，的值可得的值，從而求得軌跡方程；(2)設出直線的方程，結合韋達定理，分別求得為定值，也為定值，從而可得是定值【小問1詳解】由題意知，，根據(jù)橢圓的定義知點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設橢圓的方程為，則，，曲線的方程為；【小問2詳解】由題意知直線的方程為且m≠0)，設直線與橢圓的交點為，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，為．18、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1求出；（2）求出概率對應的值即為中位數(shù)；（3）求出第一組中總人數(shù)，得女性人數(shù)，然后求得恰有一名女性的方法數(shù)和總的方法數(shù)后可得概率【小問1詳解】解：因為頻率分布直方圖的小矩形面積和為1，所以，解得，【小問2詳解】解：前2組頻率和為，前3組頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設中位數(shù)為，則，；【小問3詳解】解：第一組總人數(shù)為，男性人2人，則女性有4人，不妨記兩名男性為，四名女性為，則隨機抽取2名群眾的可能為，，，共15種方案，其中恰有一名女性的方法數(shù)，共8種，所以第1組中隨機抽取2名群眾組成維權志愿者服務隊，求恰有一名女性的概率為19、（1）（2）直線過定點；理由見解析【解析】（1）根據(jù)題意可求得，進而求得橢圓方程；（2）考慮直線斜率是否存在，設直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關系式，然后利用，將根與系數(shù)的關系式代入化簡得到，結合直線方程,化簡可得結論.【小問1詳解】依題意，，所以，故橢圓方程為：【小問2詳解】當直線MN的斜率不存在時，設M（），N（，），則，,此時M，N重合，不符合題意；當直線MN的斜率存在時，設MN的方程為：，M（，），N（），與橢圓方程聯(lián)立可得：，即，∴，即，∴，∴，∴，當時，,直線MN：，即，令，則，∴直線過定點【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時過定點的問題，解答時要注意解題思路的順暢，解答的難點在于運算量較大且復雜，需要十分細心.20、（1）（2）【解析】（1）先將代入化簡，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復數(shù)，（2）先對化簡，再由題意可得從而可求得結果【小問1詳解】因為，所以，因為是實數(shù)，所以，解得.故.【小問2詳解】因為，所以.因為復數(shù)所表示的點在第二象限，所以解得，即實數(shù)m的取值范圍是.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結論.（2）構建空間直角坐標系，設，結合已知確定相關點坐標，進而求面、面的法向量，結合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標表示求與平面所成角的正弦值【小問1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問2詳解】分別以，，為，，軸