2025屆廣東省茂名市五大聯(lián)盟學校數學高二上期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆廣東省茂名市五大聯(lián)盟學校數學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓與拋物線的準線相切，則實數p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或62．已知拋物線內一點，過點的直線交拋物線于，兩點，且點為弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C D.3．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．已知向量與向量垂直，則實數x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.65．已知雙曲線E的漸近線為，則其離心率為（）A. B.C. D.或6．復數的共軛復數的虛部為（）A. B.C. D.7．已知，，則下列結論一定成立的是（）A. B.C. D.8．直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.C.2 D.39．某綜合實踐小組設計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉一周，得到花瓶的側面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關數據：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結果如下表所示學生甲乙丙丁估算結果（）其中估算結果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁10．某種產品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為萬元（殘差=真實值-預測值）A.40 B.30C.20 D.1011．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.12．已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某部門計劃對某路段進行限速，為調查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進行檢測，將所得數據按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.14．已知點是拋物線的焦點，點分別是拋物線上位于第一、四象限的點，若，則的面積為__________.15．已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線為切點，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點.16．兩姐妹同時推銷某一商品，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數為14，姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三角形內角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數的值19．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.20．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積21．（12分）如圖，AC是圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點，平面ABC，點E在棱PB上，且，，.（1）求證：；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.22．（10分）已知在等差數列中，，（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由拋物線準線與圓相切，結合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準線方程為，即可求參數p.【詳解】圓的標準方程為：，故當時，有或，所以或，得或6故選：D2、B【解析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.3、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.4、B【解析】根據數量積的坐標計算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數量積的坐標公式可得：，解得，故選：【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，以及數量積的坐標公式，屬于基礎題5、D【解析】根據雙曲線標準方程與漸近線的關系即可求解.【詳解】當雙曲線焦點在x軸上時，漸近線為，故離心率為；當雙曲線焦點在y軸上時，漸近線為，故離心率為；故選：D.6、B【解析】先根據復數除法與加法運算求解得，再求共軛復數及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復數為，其虛部為故選：B7、B【解析】根據不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以.故選：B.8、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：C.9、D【解析】根據幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學的估算，故選：D10、D【解析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應的銷售額，這是一個預測值，再求出與真實值之間有一個誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當時，50，當廣告費支出5萬元時，由表格得：，故隨機誤差的效應（殘差）為萬元.故選D.點睛：本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查預測y的值，是一個綜合題11、A【解析】由，可得，再計算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A12、B【解析】構造利用導數判斷函數在上單調遞減，利用單調性比較大小【詳解】設恒成立，函數在上單調遞減，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據個小矩形面積之和為1即可求出的值；根據頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為：；14、42【解析】由焦半徑公式求得參數，得拋物線方程，從而可求得兩點縱坐標，再求得直線與軸的交點坐標后可得面積【詳解】因為，所以，拋物線的方程為，把代入方程，得（舍去），即.同理，直線方程為，即．所以直線與軸交于點，所以.故答案為：4215、①.②.【解析】根據切線的相關性質將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設出點坐標，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點.詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當垂直直線時，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當時，，故直線過定點.故答案為：；.16、13【解析】先根據妹妹的銷售量的平均數為14，求得y,進而得到其眾數，然后再根據姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，得到姐姐的銷售量的中位數.【詳解】因為妹妹的銷售量的平均數為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數是14，因為姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，所以姐姐的銷售量的中位數是16，所以，解得，所以，故答案為：13三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關系結合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因為，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，所以小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=18、（1）；當時，切線方程為；當時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據題意可知P在圓上，據此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當面積最大時，．即，據此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當且僅當，即時取等號(下同)19、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據集合關系求解.詳解：(1),.則(2)，因為“”是“”的必要不充分條件，所以且.由，得，解得.經檢驗，當時，成立，故實數的取值范圍是.點睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關系是解題關鍵，屬于基礎題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質可得、，再根據線面垂直的判定即可證結論.（2）若，構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及其對應的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問2詳解】由題設，若，可構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個法向量，則，令，則，又面的一個法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由圓的性質可得，再由線面垂直的性質可得，從而由線面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再結合已知條件可得平面PBC，由線面垂直的性質可得結論；（2）由已知條件結合基本不等式可得當三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，，從而以OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：因為AC是圓O的直徑，點B是圓O上不與A，C重合的一個動點，所以.因為平面ABC，平面ABC，所以.因為，且AB，平面PAB，所以平面PAB.因為平面PAB，所以.因為，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因為平面PBC，所以.【小問2詳解】解：因為，，所以，所以三棱錐的體積，（當且僅當“”時等號成立）.所以當三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，.所以以