2025屆浙江省錢清中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆浙江省錢清中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.32．向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.1C. D.3．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（）A.14 B.28C.36 D.484．橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|=4，則∠F1PF2的余弦值為A. B.C. D.5．設(shè)，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.6．已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（）A B.C. D.7．已知平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B.C. D.18．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.129．將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實(shí)數(shù)λ值為()A.－3或7 B.－2或8C0或10 D.1或1110．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點(diǎn)，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．若函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍（）A. B.C. D.12．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.14．隨機(jī)抽取某社區(qū)名居民，調(diào)查他們某一天吃早餐所花的費(fèi)用（單位：元），所獲數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則這個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_________15．過點(diǎn)，且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______16．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點(diǎn)，動(dòng)圓，且點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交曲線于點(diǎn)，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.18．（12分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O為原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，設(shè)向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.19．（12分）已知公比的等比數(shù)列和等差數(shù)列滿足：，，其中，且是和的等比中項(xiàng)（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若當(dāng)時(shí)，等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知拋物線C的對(duì)稱軸是y軸，點(diǎn)在曲線C上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過拋物線焦點(diǎn)的傾斜角為直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度.21．（12分）已知等差數(shù)列中，，，等比數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求的最小值22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最大項(xiàng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由雙曲線定義結(jié)合通徑公式、化簡(jiǎn)得出，最后得出離心率.【詳解】，，，解得故選：B2、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量，若，則，解得：，故選：C.3、D【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的計(jì)算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較易題.4、B【解析】根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中則，則有|F1F2|=2，若a=3，則|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，則|PF2|=6-|PF1|=2，則cos∠F1PF2==.故選B5、C【解析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進(jìn)行計(jì)算.【詳解】時(shí)，容易驗(yàn)證兩直線不平行，當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.6、B【解析】利用韋達(dá)定理結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于方程，，由韋達(dá)定理可得，故，則，所以，.故選：B.7、B【解析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出【詳解】∵，∴，又平面的一個(gè)法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B8、C【解析】設(shè)兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點(diǎn)弦，同理得：，所以，因?yàn)椋?，故選：C9、A【解析】根據(jù)直線平移的規(guī)律，由直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位得到平移后直線的方程，然后因?yàn)榇酥本€與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圓心坐標(biāo)為（﹣1，2），半徑為，直線2x﹣y+λ=0沿x軸向左平移1個(gè)單位后所得的直線方程為2（x+1）﹣y+λ=0，因?yàn)樵撝本€與圓相切，則圓心（﹣1，2）到直線的距離d==r=，化簡(jiǎn)得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故選A考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系10、D【解析】由離心率求得，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關(guān)系得結(jié)論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設(shè)，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D11、A【解析】分析可知對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意可知，對(duì)任意的恒成立，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，故.故選：A.12、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，所以故答案為：1014、【解析】將個(gè)數(shù)據(jù)寫出來，可得出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).【詳解】這個(gè)數(shù)據(jù)分別為、、、、、、、、、、、、、、，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.故答案為：.15、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，由線段的中點(diǎn)為圓心，其長(zhǎng)一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長(zhǎng)最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即圓心為線段的中點(diǎn)，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16、【解析】根據(jù)，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，列方程求出，再由，能求出【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，解得，，，解得，故答案為：10三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解析】（1）通過幾何關(guān)系可知，且,由此可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，即，，，則點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點(diǎn)，∴，由已知條件得直線和直線關(guān)于對(duì)稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當(dāng)，直線方程為，此直線過定點(diǎn)，應(yīng)舍去，故直線的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當(dāng)時(shí)，，，即，，，解得或，但是當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)舍去，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，即，，，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，直線方程為,故直線的方程為或.18、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐標(biāo)先求出，，，由向量的夾角公式可得答案.（2）由題意可得，從而求出參數(shù)的值【小問1詳解】由題，，，故，，，所以故與夾角余弦值為.【小問2詳解】由與的互相垂直知，，，即19、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于方程，解出的值，可求得的值，即可得出數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得，分析可知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合參變量分離法可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，，且是和的等比中?xiàng)，所以，整理可得，解得或.若，則，可得，不合乎題意；若，則，可得，合乎題意.所以，;；（2）因?yàn)?，①，②②①得因?yàn)?，即?duì)恒成立，所以當(dāng)且，，故數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，即.綜上可得20、（1）（2）16【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，再代入求解即可.（2）根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求解即可.【小問1詳解】由題意知拋物線C的對(duì)稱軸是y軸，點(diǎn)在曲線C上，所以拋物線開口向上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得：，解得則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】焦點(diǎn)，則直線的方程是，設(shè)，，由得，，所以，則，故.21、（1）（2）0【解析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算可求得，進(jìn)而利用等比數(shù)列的基本量的計(jì)算即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）