福建省龍巖市高級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析_第1頁
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福建省龍巖市高級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足,,,前項和()A. B.C. D.2.下列四個命題中,為真命題的是()A.若a>b,則ac2>bc2B.若a>b,c>d,則a﹣c>b﹣dC.若a>|b|,則a2>b2D.若a>b,則3.如圖,在平行六面體中,AC與BD的交點為M.設(shè),則下列向量中與相等的向量是()A. B.C. D.4.已知,那么函數(shù)在x=π處的瞬時變化率為()A. B.0C. D.5.若動點在方程所表示的曲線上,則以下結(jié)論正確的是()①曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形;②動點到坐標原點的距離的取值范圍為;③動點與點的最小距離為;④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④6.用數(shù)學歸納法證明時,第一步應驗證不等式()A. B.C. D.7.若,,則有()A. B.C. D.8.已知是拋物線的焦點,是拋物線的準線,點,連接交拋物線于點,,則的面積為()A.4 B.9C. D.9.若是等差數(shù)列的前項和,,則()A.13 B.39C.45 D.2110.已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=()A.2 B.3C.6 D.911.三棱柱中,,,,若,則()A. B.C. D.12.某商場開通三種平臺銷售商品,五一期間這三種平臺的數(shù)據(jù)如圖1所示.該商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如圖2所示.下列說法正確的是()A.樣本中對平臺一滿意的消費者人數(shù)約700B.總體中對平臺二滿意的消費者人數(shù)為18C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費者總?cè)藬?shù)為60D.若樣本中對平臺三滿意消費者人數(shù)為120,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知命題恒成立;,若p,均為真,則實數(shù)a的取值范圍__________14.函數(shù)的圖象在點P()處的切線方程是,則_____15.一條直線經(jīng)過,并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍,則直線的方程為__________16.已知橢圓:的右焦點為,且經(jīng)過點(1)求橢圓的方程以及離心率;(2)若直線與橢圓相切于點,與直線相交于點.在軸是否存在定點,使?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.18.(12分)已知圓C經(jīng)過點,,且圓心C在直線上(1)求圓C的標準方程;(2)過點向圓C引兩條切線PD,PE,切點分別為D,E,求切線PD,PE的方程,并求弦DE的長19.(12分)設(shè)函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù),.(1)若,求的最小值;(2)若,證明:恒成立.20.(12分)已知橢圓:的左、右焦點分別為,,離心率等于,點,且的面積等于(1)求橢圓的標準方程;(2)已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A,B兩點,當點A關(guān)于y軸的對稱點在直線PB上時,直線是否過定點?若過定點,求出此定點;若不過,請說明理由21.(12分)已知斜率為的直線與橢圓:交于,兩點(1)若線段的中點為,求的值;(2)若,求證:原點到直線的距離為定值22.(10分)在平面直角坐標系中,圓外的點在軸的右側(cè)運動,且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為(1)求的方程;(2)過點的直線交于,兩點,以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點,線段交于點,證明:是的中點

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù),利用對數(shù)運算得到,再利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】解:因為,所以,則,所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以,故選:C2、C【解析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可【詳解】當c=0時,A不成立;2>1,3>-1,而2-3<1-(-1),故B不成立;a=2,b=1時,,D不成立;由a>|b|知a>0,所以a2>b2,C正確故選:C3、B【解析】根據(jù)代入計算化簡即可.【詳解】故選:B.4、A【解析】利用導數(shù)運算法則求出,根據(jù)導數(shù)的定義即可得到結(jié)論【詳解】由題設(shè),,所以,函數(shù)在x=π處瞬時變化率為,故選:A5、A【解析】將原方程等價變形為,將方程中的換為,換為,方程不變,可判斷①;利用兩點間的距離公式,結(jié)合二次函數(shù)知識可判斷②和③;取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于,即,對于①,將方程中的換為,換為,方程不變,所以曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形,故①正確;對于②,設(shè),則動點到坐標原點的距離,因為,所以,故②正確;對于③,設(shè),動點與點的距離為,因為函數(shù)在上遞減,所以當時,函數(shù)取得最小值,從而取得最小值,故③不正確;對于④,當時,因為,所以,故④不正確.綜上所述:結(jié)論正確的是:①②.故選:A6、B【解析】取即可得到第一步應驗證不等式.【詳解】由題意得,當時,不等式為故選:B7、D【解析】對待比較的代數(shù)式進行作差,利用不等式基本性質(zhì),即可判斷大小.【詳解】因為,又,,故,則,即;因為,又,,故,則;綜上所述:.故選:D.8、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為,由,得到為的中點,得到,代入拋物線方程,求得,進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線,可得,即,所以拋物線的方程為,其焦點為,因為,可得可得三點共線,且為的中點,又因為,,所以,將點代入拋物線,可得,所以的面積為.故選:D.9、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出,然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,則.故選:B.10、C【解析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,由拋物線的定義知,即,解得.故選:C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑,考查學生轉(zhuǎn)化與化歸思想,是一道容易題.11、A【解析】利用空間向量線性運算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解:由,,,若,得.故選:A.12、C【解析】根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【詳解】對于A:樣本中對平臺一滿意的人數(shù)為,故選項A錯誤;對于B:總體中對平臺二滿意的人數(shù)約為,故選項B錯誤;對于C:樣本中對平臺一和平臺二滿意的總?cè)藬?shù)為:,故選項C正確:對于D:對平臺三的滿意率為,所以,故選項D錯誤故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)題意得到命題為真命題,為假命題,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求解.【詳解】根據(jù)題意,命題,均為真命題,可得命題為真命題,為假命題,由命題恒成立,可得,解得;又由命題為假命題,可得,解得,所以,即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為:.14、【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義,結(jié)合切線方程,即可求解.【詳解】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知,,且,所以.故答案為:15、【解析】先求出直線傾斜角,從而可求得直線的傾斜角,則可求出直線的斜率,進而可求出直線的方程【詳解】因為直線的斜率為,所以直線的傾斜角為,所以直線的傾斜角為,所以直線的斜率為,因為直線經(jīng)過,所以直線的方程為,即,故答案為:16、(1),;(2)存在定點,為【解析】(1)利用,,求解方程(2)設(shè)直線方程為,與橢圓聯(lián)立利用判別式等于0得,并求得切點坐標及,假設(shè)存在點,利用化簡求值【詳解】(1)由已知得,,,,橢圓的方程為,離心率為;(2)在軸存在定點,為使,證明:設(shè)直線方程為代入得,化簡得由,得,,設(shè),則,,則,設(shè),則,則假設(shè)存在點解得所以在軸存在定點使【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查切線的應用,利用判別式等于0得坐標是解決問題的關(guān)鍵,考查計算能力,是中檔題三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)題意,通過解方程求出公比,即可求解;(2)根據(jù)題意,求出,結(jié)合組合法求和,即可求解.小問1詳解】根據(jù)題意,設(shè)公比為,且,∵,,∴,解得或(舍),∴.【小問2詳解】根據(jù)題意,得,故,因此.18、(1)(2)或,【解析】(1)設(shè)圓心,根據(jù)圓心在直線上及圓過兩點建立方程求解即可;(2)分切線的斜率存在與不存在分類討論,利用圓心到切線的距離等于半徑求解,再根據(jù)圓的切線的幾何性質(zhì)求弦長即可.【小問1詳解】設(shè)圓心,因為圓心C在直線上,所以①因為A,B是圓上的兩點,所以,所以,即②聯(lián)立①②,解得,所以圓C的半徑,所以圓C的標準方程為【小問2詳解】若過點P的切線斜率不存在,則切線方程為若過點P的切線斜率存在,設(shè)為k,則切線方程為,即由,解得,所以切線方程為綜上,過點P的圓C的切線方程為或設(shè)PC與DE交于點F,因為,,PC垂直平分DE,所以,所以所以19、(1)(2)證明見解析【解析】(1)當時,,求出,可得答案;(2)設(shè),,,,,設(shè),求出利用單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】當時,,則,所以單調(diào)遞增,又,當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,所以.【小問2詳解】設(shè),若,則,若,則,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,又,當時,,上單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,所以,所以,綜上,恒成立.【點睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問題,一般都需要通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來處理,特別的要根據(jù)所求問題,適時構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù),再利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題是常用方法,考查了學生分析問題、解決問題的能力.20、(1)(2)【解析】(1)用待定系數(shù)法求出橢圓的標準方程;(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出和.表示出直線PB,把A關(guān)于y軸的對稱點為帶入后整理化簡,即可得到,從而可以判斷出直線恒過定點.【小問1詳解】由題意可得:,解得:,所以橢圓的標準方程為:.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,設(shè)設(shè)點A關(guān)于y軸的對稱點為.聯(lián)立方程組,消去y可得:,所以.因為直線PB的方程為,且點D在直線PB上,所以則,所以,則,故,因為k≠0,所以,則直線l的方程為,所以直線恒過定點.21、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)設(shè)出兩點的坐標,利用點差法即可求出的值;(2)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,寫韋達;根據(jù),求出,從而可證明原點到直線的距離為定值【小問1詳解】設(shè),則,,兩式相減,得,即,所以,即,又因為線段的中點為,所以,即;【小問2詳解】設(shè)斜率為的直線為,,由,得,所以,,因為,所以,即,所以,所以,即,所以,原點到直線的距離為.所以原點到直線的距離為定值.22、(1)(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)點,求得到圓上的最小距離為,根據(jù)題意得到,整理即可求得曲線的方程;(2)當直線的斜率不存在時,顯然成立;當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程,聯(lián)立方程組求得和,得到,結(jié)合拋物線的定義和方程求得,,結(jié)

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