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文檔簡介
江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知平面內(nèi)有一點(diǎn),平面的一個法向量為,則下列四個點(diǎn)中在平面內(nèi)的是()A. B.C. D.2.在中,,滿足條件的三角形的個數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.無數(shù)多3.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上兩人與下三人等,問各得幾何?”其意思為:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同,且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代一種重量單位),這個問題中戊所得為()A.錢 B.錢C.錢 D.錢4.命題“,”的否定是A., B.,C., D.,5.若圓與圓有且僅有一條公切線,則()A.-23 B.-3C.-12 D.-136.命題“存在,使得”的否定為()A.存在, B.對任意,C對任意, D.對任意,7.已知空間向量,則()A. B.C. D.8.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足,若不等式對任意的實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.9.若方程表示雙曲線,則()A. B.C. D.10.已知直線l與圓交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)滿足,若AB的中點(diǎn)為M,則的最大值為()A. B.C. D.11.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A., B.,C., D.,12.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于()A.40 B.42C.43 D.45二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)滿足,則_____14.若函數(shù),則_______15.若、是雙曲線的左右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于,兩點(diǎn).若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為________.16.達(dá)?芬奇認(rèn)為:和音樂一樣,數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”,從年輕時起,他就本能地把這些主題運(yùn)用在作品中,布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚,在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案(如圖1),把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合,這個組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的邊長為1,則點(diǎn)到直線的距離是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在等差數(shù)列中,已知公差,前項(xiàng)和(其中)(1)求;(2)求和:18.(12分)已知A(-3,0),B(3,0),四邊形AMBN的對角線交于點(diǎn)D(1,0),kMA與kMB的等比中項(xiàng)為,直線AM,NB相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)若點(diǎn)N也在C上,點(diǎn)P是否在定直線上?如果是,求出該直線,如果不是,請說明理由.19.(12分)如圖,在四棱錐中,面ABCD,,且,,,,,N為PD的中點(diǎn).(1)求證:平面PBC;(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在,求出的值,若不存在,說明理由.20.(12分)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,,.(1)求角B;(2)求a,c的值及的面積.21.(12分)在△中,內(nèi)角所對的邊分別為,已知(1)求角的大??;(2)若的面積,求的值22.(10分)在數(shù)列中,,,數(shù)列滿足(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列前項(xiàng)和為,且滿足,求的表達(dá)式;(3)令,對于大于的正整數(shù)、(其中),若、、三個數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列,求符合條件的數(shù)組.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量為,所以,,對于選項(xiàng)A,,對于選項(xiàng)B,,對于選項(xiàng)C,,對于選項(xiàng)D,故選:A2、B【解析】利用正弦定理得到,進(jìn)而或,由,得,即可求解【詳解】由正弦定理得,,或,,,故滿足條件的有且只有一個.故選:B3、D【解析】根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決【詳解】解:由題意,可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為,,,,則,,,,成等差數(shù)列,設(shè)公差為,整理上面兩個算式,得:,解得,故選:4、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題,改量詞,且否定結(jié)論,故命題的否定是“”.本題選擇C選項(xiàng).5、A【解析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線,得到兩圓內(nèi)切,從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A,圓心為,半徑為;圓可化為,圓心為,半徑,又圓與圓有且僅有一條公切線,所以兩圓內(nèi)切,因此,即,解得.故選:A.6、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解,改變量詞,否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在,使得”的否定為“對任意,”.故選:D.7、A【解析】求得,即可得出.【詳解】,,,.故選:A.8、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16,分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時取等號由題意,得,即對任意的實(shí)數(shù)x恒成立,又,所以,即故選:D9、C【解析】根據(jù)曲線方程表示雙曲線方程有,即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè),,可得.故選:C.10、A【解析】設(shè),,則、,由點(diǎn)在圓上可得,再由向量垂直的坐標(biāo)表示可得,進(jìn)而可得M的軌跡為圓,即可求的最大值.【詳解】設(shè),中點(diǎn),則,,又,,則,所以,又,則,而,,所以,即,綜上,,整理得,即為M的軌跡方程,所以在圓心為,半徑為的圓上,則.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:由點(diǎn)圓位置、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的軌跡方程.11、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c,則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為,所以所以焦點(diǎn)為故選:A.12、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?,,所以,則.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè),則,利用復(fù)數(shù)相等,求出,的值,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè),則,則由得,即,則,得,則,故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算,利用待定系數(shù)法,結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵14、1【解析】先對函數(shù)求導(dǎo),然后令可求出的值【詳解】因?yàn)?,所以,則,解得故答案為:15、【解析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°,利用余弦定理算出c=a,結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形,可知,A為雙曲線上一點(diǎn),,B為雙曲線上一點(diǎn),則,即,∴由,則,已知,在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得:,得c2=7a2,則e2=7?e=故答案為:【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求雙曲線的離心率,常常不能經(jīng)過條件直接得到a,c的值,這時可將或視為一個整體,把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程,從而得到離心率的值.16、【解析】根據(jù)題意,求得△的三條邊長,在三角形中求邊邊上的高線即可.【詳解】根據(jù)題意,延長交于點(diǎn),連接,如下所示:在△中,容易知:;同理,,滿足,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,由等面積法可知:,解得,即點(diǎn)到直線的距離是.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)12(2)18【解析】(1)根據(jù)已知的,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可列式求解;(2)由第(1)問中求解出的的通項(xiàng)公式,要求前12項(xiàng)絕對值的和,可以發(fā)現(xiàn),該數(shù)列前6項(xiàng)為正項(xiàng),后6項(xiàng)為負(fù)項(xiàng),因此在算和的時候,后6項(xiàng)和可以取原通項(xiàng)公式的相反數(shù)即可計(jì)算,即為,然后再加上前6項(xiàng)和,即為要求的前12項(xiàng)絕對值的和.【小問1詳解】由題意可得,在等差數(shù)列中,已知公差,前項(xiàng)和所以,解之得,所以n=12【小問2詳解】由(1)可知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,所以即18、(1);(2)點(diǎn)P在定直線x=9上.理由見解析.【解析】(1)設(shè)點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式和等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的應(yīng)用列出方程,整理方程即可;(2)設(shè)直線MN方程為:,點(diǎn),聯(lián)立雙曲線方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理寫出,利用兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線PA、PB,聯(lián)立方程組,解方程組即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn),則,又,所以,整理,得,即軌跡M的方程C為:;【小問2詳解】點(diǎn)P在定直線上.由(1)知,曲線C方程為:,直線MN過點(diǎn)D(1,0)若直線MN斜率不存在,則,得,不符合題意;設(shè)直線MN方程為:,點(diǎn),則,消去x,得,有,,,,所以直線PA方程為:,直線PB方程為:,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為方程組的解,有,即,整理,得,解得,即點(diǎn)P在定直線上.19、(1)證明見解析(2)存在,且【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證得平面.(2)設(shè),利用直線與平面所成角的正弦值列方程,化簡求得.【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn),連接,由于,所以四邊形是矩形,所以,由于平面,所以,以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,,,設(shè)平面的法向量為,則,故可設(shè).,且平面,所以平面.【小問2詳解】,設(shè),則,,,設(shè)直線與平面所成角為,則,,兩邊平方并化簡得,解得或(舍去).所以存在,使直線與平面所成角的正弦值是,且.20、(1)(2),,【解析】(1)利用正弦定理化簡已知條件,求得,進(jìn)而求得.(2)利用余弦定理求得和,由此求得三角形的面積.【小問1詳解】由于,∴.又∵,∴.∴.【小問2詳解】∵,且,,,∴,解得或(舍).∴,.∴.21、(1);(2)【解析】(1)由正弦定理,將條件中的邊化成角,可得,進(jìn)而可得的值;(2)由三角形面積公式可得,再由余弦定理可得,得最后結(jié)論試題解析:(1),又∴又得(2)由,∴又得,∴得考點(diǎn):正弦定理;余弦定理【易錯點(diǎn)睛】解三角形問題的兩重性:①作為三角形問題,它必須要用到三角形的內(nèi)角和定理,正弦、余弦定理及其有關(guān)三角形的性質(zhì),及時進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化,有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路;②它畢竟是三角變換,只是角的范圍受到了限制,因此常見的三角變換方法和原則都是適用的,注意“三統(tǒng)一”(即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”)是使問題獲得解決的突破口22、(1)證明見解析,;(2);(3).【解析】(1)由已知等式變形可得,利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立,確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,然后分、兩種情況討論,結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式;(3)求得,
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