2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.5旋轉(zhuǎn)體學(xué)案新人教B版必修第四冊

PAGE11.1.5旋轉(zhuǎn)體必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.圓柱、圓錐、圓臺及球是怎樣形成的?2.通過圓柱、圓錐、圓臺的旋轉(zhuǎn)軸的截面是什么圖形?3.用一個平面去截球所得的截面是什么圖形?1.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)概念2.側(cè)面積公式(1)S圓柱側(cè)=2πrl.

(2)S圓錐側(cè)=πrl.

(3)S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l.

3.旋轉(zhuǎn)體的表面積(1)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與底面積之和稱為旋轉(zhuǎn)體的表面積.(2)圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式4.球的結(jié)構(gòu)特征5.球的表面積S=4πR2(R為球的半徑).

1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)圓柱上底面圓周上任一點與下底面圓周上任一點的連線是圓柱的母線. ()(2)圓臺有多數(shù)條母線,它們相等,延長后相交于一點. ()(3)用一個平面去截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺. ()(4)用隨意一個平面去截球,得到的是一個圓面. ()(5)圓臺的高就是相應(yīng)母線的長. ()提示:(1)×.圓柱的母線與軸是平行的.(2)√.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分是圓臺,由此可知此說法正確.(3)×.用與底面平行的平面去截圓錐,才能得到一個圓錐和一個圓臺.(4)√.因為球是一個幾何體,包括表面及其內(nèi)部,所以用一個平面去截球,得到的是一個圓面.(5)×.圓臺的高是指兩個底面之間的距離.2.圓錐的母線長為10,底面半徑為6,則其高等于 ()A.6 B.8 C.10 D.不確定【解析】選B.由圓錐的軸截面可知,圓錐的母線、底面半徑與高構(gòu)成直角三角形,所以其高為QUOTE=8.3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知兩個球的半徑之比為1∶2,則這兩個球的表面積之比為 ()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8【解析】選B.設(shè)大、小兩球的半徑分別為R1,R2,表面積分別為S1,S2,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.關(guān)于圓臺,下列說法正確的是.(填序號)

①兩個底面平行且全等;②圓臺的母線有多數(shù)條;③圓臺的母線長大于高;④兩底面圓心的連線是高.【解析】圓臺的上底面和下底面是兩個大小不同的圓,則①不正確,②③④正確.答案:②③④關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)概念(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【典例】(多選題)下列命題中正確的是 ()A.圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,圓臺的軸截面是等腰梯形B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺D.通過圓臺側(cè)面上一點,有多數(shù)條母線【思路導(dǎo)引】依據(jù)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念逐項推斷.【解析】選AC.A正確.B錯誤,沒有說明這兩個平行截面與底面的位置關(guān)系,當(dāng)這兩個平行截面與底面平行時正確,其他狀況則是錯誤的.C正確.D錯誤,通過圓臺側(cè)面上一點,只有一條母線.故選AC.1.推斷旋轉(zhuǎn)體形態(tài)的步驟(1)明確旋轉(zhuǎn)軸.(2)確定平面圖形中各邊(通常是線段)與旋轉(zhuǎn)軸的位置關(guān)系.(3)依據(jù)圓柱、圓錐、圓臺、球的定義和一些結(jié)論來確定形態(tài).2.與簡潔旋轉(zhuǎn)體的截面有關(guān)的結(jié)論(1)圓柱、圓錐、圓臺平行于底面的截面都是圓面.(2)圓柱、圓錐、圓臺的軸截面(即過旋轉(zhuǎn)軸的截面)分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形.下列幾種說法:①圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上隨意一點這三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形;②圓錐的頂點與底面圓周上隨意一點的連線是圓錐側(cè)面的母線;③圓柱的軸截面是過側(cè)面的母線的截面中最大的一個;其中說法正確的是.

【解析】由圓錐的定義及母線的性質(zhì)知①②正確,圓柱的軸截面過上下底的直徑,所以是過母線的截面中最大的一個.答案:①②③類型二球的有關(guān)概念(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【典例】1.一個正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,作正方體的對角面,所得截面圖形是下圖中的 ()2.長方體的一個頂點上三條棱分別是3,4,5,且它的8個頂點都在同一球面上,則這個球的表面積是 ()A.25π B.50π C.125π D.以上都不對【思路導(dǎo)引】1.留意球與正方體的各個面都相切,該截面是正方體的對角面.2.留意球與長方體的關(guān)系,此時球的直徑等于長方體的體對角線.【解析】1.選B.由組合體的結(jié)構(gòu)特征知,球與正方體各面相切,與各棱相離.2.選B.由于長方體的體對角線的長是球的直徑.所以可求得這個球的直徑是5QUOTE,然后代入球的表面積公式S=4πR2即可.常見的有關(guān)球的一些性質(zhì)(1)長方體的8個頂點在同一個球面上,則長方體的體對角線是球的直徑;球與正方體的六個面均相切,則球的直徑等于正方體的棱長;球與正方體的12條棱均相切,則球的直徑是正方體的面對角線.(2)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切,則球的直徑等于圓柱的高,也等于圓柱底面圓的直徑.下列三個結(jié)論中,錯誤的個數(shù)為 ()①經(jīng)過球面上隨意兩點,可以作且只可以作一個球的大圓;②球面積是它大圓面積的四倍;③球面上兩點的球面距離,是這兩點所在截面圓上以這兩點為端點的劣弧的長.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解析】選C.當(dāng)球面上的兩點與球心共線時可作多數(shù)個球的大圓,①錯;S球=4πR2,S大圓=πR2.所以S球=4S大圓,②正確;球面上兩點的球面距離是球面上的兩點之間的最短距離,就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度,并非在隨意截面圓上,所以③錯.【補償訓(xùn)練】設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為 ()A.3πa2 B.6πa2C.12πa2 D.24πa2【解析】選B.長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,長方體的體對角線的長就是外接球的直徑,所以球的直徑為QUOTEa,所以球的半徑為QUOTEa,所以球的表面積是4πQUOTE=6a2π.類型三旋轉(zhuǎn)體中的計算問題(數(shù)學(xué)運算)角度1旋轉(zhuǎn)體的簡潔計算問題

【典例】1.母線長為12cm,兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2,求圓臺的高.2.已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π,它們位于球心的同一側(cè),且距離為1,那么這個球的半徑是.

【思路導(dǎo)引】1.作出圓臺的軸截面,是一個等腰梯形,計算等腰梯形的高即為圓臺的高.2.作出球的大圓,留意球心與截面的圓心連線垂直于截面,留意在直角三角形中求解即可.【解析】1.截面是等腰梯形ABCD(如圖所示).由已知可得O1A=2cm,OB=5cm又由題意知,腰長為12cm,所以高AM=QUOTE=3QUOTE(cm).2.如圖所示,因為兩個平行截面的面積分別為5π、8π,所以兩個截面圓的半徑分別為r1=QUOTE,r2=2QUOTE.因為球心到兩個截面的距離d1=QUOTE,d2=QUOTE,所以d1-d2=QUOTE-QUOTE=1,所以R2=9,所以R=3.答案:3與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略求解有關(guān)圓錐的基本量的問題時,一般先畫出圓錐的軸截面,得到一等腰三角形,進而可得到直角三角形,將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)直角三角形的問題進行求解.通常在求圓錐的高、母線長、底面圓的半徑長等問題時,都是通過取其軸截面,化歸求解.奇妙之處就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.角度2旋轉(zhuǎn)體表面上兩點間的最短距離問題

【典例】圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長AB=20cm,從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(B在下底面),求:(1)繩子的最短長度;(2)在繩子最短時,上底面圓周上的點到繩子的最短距離.【思路導(dǎo)引】(1)由題意須要畫出圓臺的側(cè)面綻開圖,并還原成圓錐綻開的扇形,則所求的最短距離是平面圖形上兩點連線的距離;(2)將側(cè)面綻開,在平面中求解.【解析】(1)畫出圓臺的側(cè)面綻開圖,并還原成圓錐綻開的扇形,且設(shè)扇形的圓心為O.由圖得:所求的最短距離是MB′,設(shè)OA=R,圓心角是θ,則由題意知10π=θR①,20π=θ(20+R)②,由①②解得θ=QUOTE,R=20cm,所以O(shè)M=30cm,OB′=40cm,則MB′=50cm.故繩子最短的長度為50cm.(2)作OC⊥B′M交弧AA′于D,交MB′于C,OC是頂點O到MB′的最短距離,則DC是MB′與弧AA′的最短距離,DC=OC-OD=QUOTE-20=4cm,即上底面圓周上的點到繩子的最短距離是4cm.“化曲為直”解決旋轉(zhuǎn)體表面上的距離最短問題幾何體表面最短路徑問題一般是把側(cè)面綻開,轉(zhuǎn)化為平面學(xué)問求解,這點與多面體的“化折為平”相像,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想,即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決.1.用與球心距離為1的平面去截球,所得截面圓的面積為π,則球的表面積為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.8πD.QUOTE【解析】選C.設(shè)球的半徑為R,則截面圓的半徑為QUOTE.所以截面圓的面積為S=πQUOTE=(R2-1)π=π,所以R2=2,所以球的表面積S=4πR2=8π.2.某圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4,母線長為10,則該圓臺的表面積為 ()A.81π B.100π C.168π D.169π【解析】選C.該圓臺的軸截面如圖所示.設(shè)圓臺的上底面半徑為r,則下底面半徑r′=4r,高h=4r,則它的母線長l=QUOTE=QUOTE=5r=10,所以r=2,r′=8.所以S側(cè)=πQUOTEl=π(8+2)×10=100π,S表=S側(cè)+πr2+πr′2=100π+4π+64π=168π.3.如圖,始終立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P動身,繞圓錐表面爬行一周后回到點P處,若該小蟲爬行的最短路程為4QUOTE【解析】作出圓錐的側(cè)面綻開圖,如圖所示,該小蟲爬行的最短路程為PP′,在△OPP′中,OP=OP′=4m,PP′=4QUOTE取線段PP′的中點A,連接OA.在Rt△POA中,PA=QUOTEPP′=2QUOTEm,OP=4m,所以sin∠POA=QUOTE=QUOTE,所以∠POA=60°,∠P′OP=2∠POA=120°.設(shè)底面圓的半徑為r,則有2πr=QUOTEπ·4,所以r=QUOTE(m).備選類型簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征(直觀想象、數(shù)學(xué)運算)【典例】始終角梯形ABCD如圖所示,分別以AB,BC,CD,DA所在直線為軸旋轉(zhuǎn),試說明所得幾何體的大致形態(tài).【思路導(dǎo)引】依據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念及結(jié)構(gòu)特征推斷.【解析】以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個圓臺;以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個圓柱和圓錐的組合體;以CD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得到一個圓臺,下底挖去一個小圓錐,上底增加一個較大的圓錐;以AD所在直線為軸旋轉(zhuǎn)可得一個圓柱,上面挖去一個圓錐,如圖所示.旋轉(zhuǎn)體的形態(tài)推斷技巧(1)推斷旋轉(zhuǎn)體形態(tài)的關(guān)鍵是軸的確定,看是由平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得,同一個平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn),所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的.(2)在旋轉(zhuǎn)過程中視察平面圖形的各邊所形成的軌跡,可利用空間想象實力,或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉(zhuǎn)體的形態(tài).1.如圖所示,是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱平面圖形,若將它繞l軸旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體,下面說法不正確的是 ()A.該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體B.該組合體仍舊關(guān)于軸l對稱C.該組合體中的圓錐和球只有一個公共點D.該組合體中的球和半球只有一個公共點【解析】選A.該平面圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體由上到下是:倒置的圓錐、球、半球、圓柱、圓臺,故A是錯誤的.2.如圖所示,從底面半徑為2a,高為QUOTEa的圓柱中,挖去一個底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐,求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比.【解析】由題意,知S1=2π·2a·QUOTEa+2π·(2a)2=(4QUOTE+8)πa2,挖去圓錐的母線長為QUOTE=2a,S2=S1+πa·(2a)-πa2=(4QUOTE+9)πa2.所以S1∶S2=(4QUOTE+8)∶(4QUOTE+9).課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1.下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是 ()①圓柱;②六棱錐;③正方體;④球體;⑤四面體.A.①和⑤ B.① C.③和④ D.①和④【解析】選D.依據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念可知,①和④是旋轉(zhuǎn)體.2.下列結(jié)論中:①等腰梯形的紙片可以卷成一個沒有兩底的圓臺;②一個圓臺存在兩條母線的延長線不相交于一點;③過圓臺的任何兩條母線的截面都是等腰梯形.其中錯誤的結(jié)論個數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.一個扇環(huán)可以卷成一個沒有兩底的圓臺,故①錯誤;圓臺的任何母線的延長線都相交于一點,故②錯誤;簡潔推斷③正確.3.若一個圓錐的軸截面是面積為9的等腰直角三角形,則這個圓錐的底面圓的半徑為 ()A.4 B.2 C.1 D.3【解析】選D.設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則軸截面的面積為QUOTE×2r·r=9,解得r=3.4.若兩球的表面積之差為48π,兩球面上的兩個大圓周長之和為12π,則這兩個球的半徑之差為 ()A.12 B.2 C.12π D.2π【解析】選B.設(shè)大球的半徑為R,小球的半徑為r,依題意得QUOTE?QUOTE,所以R-r=QUOTE=QUOTE=2.5.已知一個圓柱的軸截面是一個正方形且其面積是Q,求此圓柱的底面半徑.【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為l,則由題意得QUOTE解得r=QUOTE.所以此圓柱的底面半徑為QUOTE.十二旋轉(zhuǎn)體(15分鐘30分)1.正方形繞其一條對角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體是 ()A.圓柱 B.圓錐 C.圓臺 D.兩個圓錐【解析】選D.連接正方形的兩條對角線知,對角線相互垂直,故繞對角線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個圓錐.2.如圖所示的幾何體是從一個圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面,下底面圓心為頂點的圓錐而得到的.現(xiàn)用一個平面去截這個幾何體,若這個平面平行于底面,那么截面圖形為 ()【解析】選C.截面圖形應(yīng)為圖C所示的圓環(huán)面.3.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r,R,則球的表面積為 ()A.4π(r+R)2 B.4πr2R2C.4πRr D.π(R+r)2【解析】選C.如圖,設(shè)球的半徑為r1,則在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=AB=BF+AF=R+r.由勾股定理得4QUOTE=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=QUOTE,故球的表面積為S球=4πQUOTE=4πRr.4.一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形,則它們的表面積之比為.

【解析】因為圓柱的軸截面是邊長為a的正方形,故圓柱的底面半徑R=QUOTEa,母線長l′=a,故圓柱的表面積S=2πR(R+l′)=QUOTEa2π,因為圓錐的軸截面是邊長為a的正三角形,故圓錐的底面半徑r=QUOTEa,母線長l=a,故圓錐的表面積S=πr(r+l)=QUOTEa2π,故它們的表面積之比為:2∶1.答案:2∶15.已知一圓錐的側(cè)面綻開圖為半圓,且面積為S,則圓錐的底面面積是.

【解析】如圖,設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為l,由題意得QUOTE解得r=QUOTE,所以底面積為πr2=π×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為.

【解析】正方體的對角線即為球的直徑,直徑d=QUOTE=QUOTE=3QUOTE,由d=3QUOTE?R=QUOTE?S=4πR2=27π.答案:27π6.一個球放在墻角且與墻角的三個面都相切,球心到墻角的距離是3,求球的表面積.【解析】設(shè)球心為A,墻角為O,則OA=3,過A分別作三個墻面的垂線AB,AD,AA1,垂足為B,D,A1,以AB,AD,AA1為棱可畫出一個正方體ABCD-A1B1OD1,則OA為正方體的體對角線,AB為球的半徑,設(shè)為R,于是QUOTE=3,所以R=QUOTE,故S球=4πR2=4π×(QUOTE)2=12π.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.圓錐的中截面把圓錐的側(cè)面分成兩部分,這兩部分側(cè)面積的比為 ()A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4【解析】選C.如圖所示,PB為圓錐的母線,O1,O2分別為中截面與底面的圓心.因為O1為PO2的中點,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.①因為S圓錐側(cè)=π·O1A·PA,S圓臺側(cè)=π(O1A+O2B)·AB,所以QUOTE=QUOTE.由①得PA=AB,O2B=2O1A所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.圓臺的一個底面圓周長是另一個底面圓周長的3倍,母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84π,則圓臺較小底面圓的半徑為 ()A.3 B.5 C.6 D.7【解析】選D.設(shè)圓臺較小底面圓的半徑為r,則另一底面圓的半徑為3r,而圓臺的側(cè)面積公式為π(r+3r)l=π×4r×3=84π,r=7.3.(2024·聊城高一檢測)在一個實心圓柱中挖去一個內(nèi)接直三棱柱洞后,剩余部分幾何體如圖所示.已知實心圓柱底面直徑為2,高為3,內(nèi)接直三棱柱底面為斜邊長是2的等腰直角三角形,則剩余部分幾何體的表面積為 ()A.8π+6+6QUOTE B.6π+6+6QUOTEC.8π+4+6QUOTE D.6π+4+6QUOTE【解析】選C.由題意、棱柱和圓柱的側(cè)面積公式以及三角形和圓的面積公式,可得剩余幾何體的底面積為:2QUOTE=2π-2,側(cè)面積為QUOTE×3+2π×3=6QUOTE+6+6π,所以剩余幾何體的表面積為:8π+4+6QUOTE.4.若兩平行平面截表面積為100π的球,若截面面積分別為9π,16π,則這兩個平行平面之間的距離為 ()A.1 B.7 C.3或4 D.1或7【解析】選D.如圖,圓O為球的一個大圓,半徑R=QUOTE=5,A2B2,A1B1分別為兩截面圓的直徑,截面面積分別為9π,16π,則O2B2=3,O1B1=4,在Rt△O1OB1中OO1=QUOTE=3,在Rt△O2OB2中OO2=QUOTE=4.當(dāng)O1,O2在球心O的同側(cè)時,兩截面的距離O1O2=OO2-OO1=1;當(dāng)O1,O2在球心O的兩側(cè)時,兩截面的距離O1O2=O1O+OO2=7.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列說法正確的是 ()A.以直角三角形的一條邊所在直線為軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐B.以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸,將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐C.經(jīng)過圓錐隨意兩條母線的截面是等腰三角形D.圓錐側(cè)面的母線長有可能大于圓錐底面圓的直徑【解析】選BCD.A不正確,直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐;B正確,以等腰三角形底邊上的中線所在直線為軸,將三角形旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐;C正確,因為圓錐的母線長都相等,所以經(jīng)過圓錐隨意兩條母線的截面是等腰三角形;D正確,如圖所示,圓錐側(cè)面的母線長l有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍(即直徑).6.(2024·煙臺高一檢測)等腰直角三角形直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的表面積可以為 ()A.QUOTEπ B.QUOTEπC.2QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選AB.假如是繞直角邊旋轉(zhuǎn),形成圓錐,圓錐底面半徑為1,高為1,母線就是直角三角形的斜邊QUOTE,所以所形成的幾何體的表面積是S=πrl+πr2=π×1×QUOTE+π×12=QUOTEπ.假如繞斜邊旋轉(zhuǎn),形成的是上下兩個圓錐,圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高QUOTE,兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊,母線長是1,所以形成的幾何體的表面積S=2×πrl=2×π×QUOTE×1=QUOTEπ.綜上可知形成的幾何體的表面積是QUOTEπ或QUOTEπ.【補償訓(xùn)練】用一張長為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面,則相應(yīng)圓柱的底面半徑可能是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選AD.設(shè)底面半徑為r,若矩形的長恰好為圓柱的底面周長,則2πr=8,所以r=QUOTE;若矩形的寬恰好為圓柱的底面周長,則2πr=4,所以r=QUOTE.故圓柱的底面半徑為QUOTE或QUOTE.三、填空題(每小題5分,共10分)7.圓錐的底面直徑為6,高是4,則它的側(cè)面積為.

【解析】作圓錐軸截面如圖,高AD=4,底面半徑CD=3,則母線AC=5,得S側(cè)=π×3×5=15π.答案:15π8.(2024·臨沂高一檢測)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上,AB=AC,側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形,則側(cè)面ABB1A1的面積為,直三棱柱ABC-A1B1C1【解析】球心在面BCC1B1的中心O上,BC為△ABC外接圓的直徑,且外接圓圓心N位于BC中點,所以∠BAC=90°,△A1B1C1的外心M在B1C1中點上,設(shè)正方形BCC1BRt△OMC1中,OM=QUOTE,MC1=QUOTE,OC1=R=1,所以QUOTE+QUOTE=1,即x=QUOTE,則AB=AC=1,所以QUOTE=QUOTE×1=QUOTE,QUOTE=QUOTE×1=QUOTE,QUOTE=QUOTE×QUOTE=2,S△ABC=QUOTE×1×1=QUOTE,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的表面積為QUOTE+QUOTE+2+QUOTE+QUOTE=3+2QUOTE.答案:QUOTE3+2QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知圓臺內(nèi)有一表面積為144πcm2的內(nèi)切球,假如圓臺的下底面與上底面半徑之差為5cm,求圓臺的表面積.【解析】其軸截面如圖所示,設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,母線長為l,球半徑為R,則r2-r1=5,母線l=r1+r2.因為4πR2=144π,所以R=6.又l2=(2R)2+(r2-r1)2,所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(2×6)2+52=132.所以r1+r2=13.結(jié)合r2-r1=5得r1=4,r2=9,所以l=13.所以S圓臺表=πQUOTE+πQUOTE+π(r1+r2)l=π·42+π·92+π(4+9)·13=266π(cm2).10.如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積.(其中∠BAC=30°)【解析】所得幾何體如圖所示,過點C作CO1⊥AB于點O1.在半圓中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,所以AC=QUOTER,BC=R,CO1=QU