2023年《直線(xiàn)交圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《直線(xiàn)交圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向1.圓錐曲線(xiàn)及其性質(zhì)學(xué)習(xí)理解能力觀(guān)察記憶概括理解說(shuō)明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問(wèn)題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問(wèn)題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀(guān)想象數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】1.掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程2.掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷方法,能利用直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題【考查題型】解答題2.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象直觀(guān)想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模一、本節(jié)內(nèi)容分析直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系是圓錐曲線(xiàn)知識(shí)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容,在學(xué)習(xí)了三大圓錐曲線(xiàn)之后,安排這一節(jié)課,旨在鞏固曲線(xiàn)和方程的理論,并能熟練運(yùn)用.同時(shí)有關(guān)圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題,特別是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題,也是解析幾何中的主體內(nèi)容,這些問(wèn)題的解決既豐富了圓錐曲線(xiàn)知識(shí),同時(shí)也有力地印證前面學(xué)習(xí)的直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系所用的基本思想方法.因此在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí),使學(xué)生充分掌握這單元的知識(shí)和方法.在學(xué)習(xí)中使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力,是鞏固所學(xué)的圓錐曲線(xiàn)知識(shí)的好方法,具有相當(dāng)重要的意義.另外,本部分的學(xué)習(xí)是通過(guò)由特殊到一般逐步展開(kāi)的,可以進(jìn)一步發(fā)展的學(xué)生觀(guān)察、歸納、類(lèi)比、概括等能力,發(fā)展有層次的思維及靈活處理問(wèn)題的能力.本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.圓錐曲線(xiàn)及其性質(zhì)2.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系直觀(guān)想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析本節(jié)課之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓錐曲線(xiàn),因此,學(xué)生比較熟悉這些曲線(xiàn),而且,每一種曲線(xiàn)都有和直線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題,加上之前又學(xué)習(xí)了建立平面直角坐標(biāo)系求直線(xiàn)方程的方法,這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ).同時(shí),高二學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法有了較好的體驗(yàn)和了解,具備了一定的觀(guān)察、類(lèi)比、歸納、概括、表達(dá)能力.通過(guò)三大圓錐曲線(xiàn)方程的學(xué)習(xí),對(duì)坐標(biāo)系下建立方程進(jìn)行了反復(fù)訓(xùn)練,這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了能力和方法上的準(zhǔn)備.當(dāng)然,由于學(xué)生對(duì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系認(rèn)識(shí)還不深刻,在探究知識(shí)的形成與方法的運(yùn)用時(shí)可能會(huì)遇到一些困難,在教學(xué)中一定要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生反饋的信息,循序漸進(jìn)地開(kāi)展教學(xué).學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專(zhuān)題設(shè)計(jì)】1.點(diǎn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系2.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系3.直線(xiàn)交圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)4.中點(diǎn)弦問(wèn)題【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.能用直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系有關(guān)知識(shí),解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.2.在探索直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的過(guò)程中,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】新課程下的教學(xué),力求知識(shí)的形成過(guò)程,為克服課堂時(shí)間不足,需要學(xué)生做好課前預(yù)習(xí),在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生已經(jīng)具備一定探究與研究問(wèn)題的能力.所以在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)應(yīng)考慮周全和靈活性,采用啟發(fā)式、探索式等教學(xué)策略,師生共同探討,共同研究,讓學(xué)生積極思考,主動(dòng)學(xué)習(xí).在教學(xué)過(guò)程中采用討論法,向?qū)W生提供具備啟發(fā)式和思考性的問(wèn)題.因此,要求學(xué)生在課上討論,提高學(xué)生的探索、推理、想象、分析和總結(jié)歸納等方面的能力,使學(xué)生在問(wèn)題的指引下、教師的指導(dǎo)下,把探究活動(dòng)層層展開(kāi)、步步深入,力求體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問(wèn)題教學(xué)法,還有__________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)1.體會(huì)解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的步驟.2.通過(guò)具體問(wèn)題的解決歸納直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交、相切、相離的定義,體會(huì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為方程組的解.3.了解直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系中封閉曲線(xiàn)與不封閉曲線(xiàn)的差異.4.理解圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)斜率的意義,為后續(xù)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ).5.體會(huì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系是后續(xù)復(fù)雜問(wèn)題的突破口,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類(lèi)討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.難點(diǎn)1.圓錐曲線(xiàn)的定義在解題中的運(yùn)用.2.平面幾何知識(shí)在解題中的簡(jiǎn)化功能.3.根與系數(shù)的關(guān)系在解題中“設(shè)而不求”的意義.4.曲線(xiàn)的幾何特征與方程的代數(shù)特征的統(tǒng)一.5.設(shè)點(diǎn)、設(shè)參數(shù)及參數(shù)方程在解題中的作用.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、_________________________________________2.其他材料______________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)(課時(shí)建議:1課時(shí))探究1直線(xiàn)交圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題師:直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn),這兩個(gè)公共點(diǎn)的端點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的一條弦,線(xiàn)段的長(zhǎng)就是弦長(zhǎng),弦長(zhǎng)如何去求解,下面我們一起來(lái)探究,先看一道例題.【典型例題】探究弦長(zhǎng)公式例1已知直線(xiàn)l:y=x-2與拋物線(xiàn)C:x2=-6y相交于A,B兩點(diǎn),且O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求弦長(zhǎng)|AB|;(2)判斷店是否成立,并說(shuō)明理由.【以學(xué)定教】熟練掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的方法,將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的解,為直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)提供示范,提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合及方程思想的應(yīng)用能力.師:若直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)F(x,y)=0相交于A,B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng),用什么方法？生:把直線(xiàn)的方程與圓錐曲線(xiàn)的方程聯(lián)立,解得點(diǎn)A,B的坐標(biāo),然后用兩點(diǎn)間距離公式,便得到弦AB的長(zhǎng).師:求交點(diǎn)坐標(biāo)比較麻煩,可否不求交點(diǎn)？生:可以嘗試用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)求解.生解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因?yàn)锳(x1,y1),B(x2,y2)都是直線(xiàn)y=x-2上的點(diǎn),所以第二式減去第一式可得y2-y1=x2-x1,從而|AB|2=(x2-x1)2+(x2-x1)2=2(x2-x1)2,又因?yàn)閺姆匠探M中消去y,整理可得x2+6x-12=0,而且x1,x2是該方程的兩個(gè)根,因此根與系數(shù)的關(guān)系可知所以(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-6)2-4×(-12)=84,因此|AB|2=2×84=168,從而可知|AB|=2.【分析計(jì)算能力】通過(guò)例題鞏固所學(xué)結(jié)論,加強(qiáng)思維意識(shí)的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的能力.提升分析計(jì)算能力.【綜合問(wèn)題解決能力】設(shè)計(jì)弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體,由被動(dòng)地接受變成主動(dòng)地獲取.通過(guò)討論,讓學(xué)生互相交流,互相學(xué)習(xí),教師引導(dǎo)學(xué)生初步建立“設(shè)而不求”的解題策略,提升綜合問(wèn)題解決能力.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x1,y1),=(x2,y2),因此·=x1x2+y1y2,將y1=x1-2,y2=x2-2代入上式可得·=x1x2+(x1-2)(x2-2)=2x1x2-2(x1+x2)+4.又因?yàn)閤1+x2=-6,x1x2=-12,所以·=2×(-12)-2×(-6)+4=-8≠0,所以不成立.師:例1的第(1)問(wèn)沒(méi)有直接求交點(diǎn)坐標(biāo).用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解,使用了“設(shè)而不求”的方法.對(duì)于一般方程而言,設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+m(k≠0)與圓錐曲線(xiàn)F(x,y)=0相交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則或,當(dāng)k=0時(shí),直線(xiàn)平行于x軸,所以|AB|=|x1-x2|.以上就是弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo).【概括理解能力】使學(xué)生深刻理解弦長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程,強(qiáng)化記憶,提高自我獲取知識(shí)的能力.比較求弦長(zhǎng)的兩種方法差異,提升對(duì)“設(shè)而不求”的解題策略的理解,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及概括理解的能力.【要點(diǎn)知識(shí)】弦長(zhǎng)公式當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),斜率為k的直線(xiàn)l與圓錐曲線(xiàn)C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩個(gè)不同的點(diǎn),則弦長(zhǎng)(k≠0).【以學(xué)定教】通過(guò)例2,逐步探求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)建立的方程組中根與系數(shù)的關(guān)系,把弦中點(diǎn)問(wèn)題也利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決,進(jìn)一步強(qiáng)化“設(shè)而不求”的思想,也為后面的中點(diǎn)弦問(wèn)題打下基礎(chǔ).師:下面看一道例題.【典型例題】弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用例2已知拋物線(xiàn)C:y=2x2,直線(xiàn)l:y=kx+2交C于A,B兩點(diǎn),M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn),過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)交C于點(diǎn)N.(1)證明:拋物線(xiàn)C在點(diǎn)N處的切線(xiàn)與AB平行;(2)是否存在實(shí)數(shù)k使=0,若存在,求k的值;若不存在,說(shuō)明理由.【分析計(jì)算能力】通過(guò)例2引出本節(jié)重點(diǎn)知識(shí),通過(guò)學(xué)生思考和分析比較,把相切問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程等根問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生分析計(jì)算能力.生:因?yàn)槭菕佄锞€(xiàn),可以利用方程來(lái)設(shè)點(diǎn).師:解析幾何的本質(zhì)就是用坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn).生:中點(diǎn)坐標(biāo)可以利用根與系數(shù)的關(guān)系解決.生證明:(1)如圖,設(shè)A(x1,2x).B(x2,2x).把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得.∴,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為.【說(shuō)明論證能力】學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,學(xué)會(huì)用根與系數(shù)的關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中的平行問(wèn)題,在解題的過(guò)程中提升說(shuō)明論證能力和邏輯推理核心素養(yǎng).設(shè)拋物線(xiàn)在點(diǎn)N處的切線(xiàn)的方程為,將代入上式得.∵直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切,∴即l//AB.師:解析幾何中的垂直平行總是利用斜率來(lái)表示,有時(shí),為了更加方便,回避討論,通常利用向量來(lái)表示.生解:(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使=0,則NA⊥NB.又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴|MN|=|AB|.由(1)知4)=+2.∵M(jìn)N⊥x軸,∴.又|AB|=∴,解得k=±2,即存在k=±2,使得=0.師:我們?cè)倬氁坏老议L(zhǎng)公式的應(yīng)用例題.【深度學(xué)習(xí)】體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,將直線(xiàn)平行、垂直關(guān)系用斜率和向量表示,充分體現(xiàn)解析法的思想,讓學(xué)生體會(huì)解析幾何的本質(zhì)就是坐標(biāo)法,從而降低思維難度.【典型例題】弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用例3己知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線(xiàn)y=x+1與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,|PQ|=,求橢圓的方程.【少教精教】教師步步提問(wèn),逐步提示學(xué)生如何解決問(wèn)題和解決題目過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題,學(xué)生在教師引導(dǎo)下逐漸清晰解題思路并能獨(dú)立解題,通過(guò)教師少教精教,學(xué)生完成題目要求,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).師:求橢圓方程的方法有哪些？生:(1)定義法;(2)待定系數(shù)法.師:這里運(yùn)用待定系數(shù)法,設(shè)出橢圓方程,然后呢？生:P,Q的坐標(biāo)顯然是求不出來(lái)的,可以設(shè)出來(lái),利用設(shè)而不求的思想方法計(jì)算.師:要不要分類(lèi)設(shè)方程？生:如果設(shè)為橢圓系方程可以不用分類(lèi).師:很好！設(shè)出橢圓方程,將橢圓方程和直線(xiàn)方程聯(lián)立消去y,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)向量數(shù)量積和弦長(zhǎng)公式建立方程組求解.生解:設(shè)橢圓方程為mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n),P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去y,得.因?yàn)?由OP⊥OQ,得,∴.∴m+n=2,①又,將m+n=2代入得.②由①②式,得,或故橢圓方程為或.【意義學(xué)習(xí)】引領(lǐng)學(xué)生從不同的角度探索解決問(wèn)題的方法和途徑,一方面進(jìn)一步幫助學(xué)生體驗(yàn)求直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系;另一方面,讓學(xué)生在不同的解法的探討和交流中,建立起知識(shí)之間的聯(lián)系,深化對(duì)弦長(zhǎng)公式的理解.【以學(xué)定教】以求橢圓方程為載體將垂直、弦長(zhǎng)問(wèn)題融合到方程組中,充分利用根與系數(shù)的關(guān)系,強(qiáng)化“設(shè)而不求”的思想方法,使直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題得到深化.探究2中點(diǎn)弦問(wèn)題師:下面看例4題.【典型例題】中點(diǎn)弦問(wèn)題例4已知橢圓,求:(1)以P(2,-1)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)的方程;(2)斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程;(3)過(guò)Q(8,2)的直線(xiàn)被橢圓截得的弦中點(diǎn)的軌跡方程.【簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力】學(xué)生在解決中點(diǎn)弦的過(guò)程中,能夠想到用平方差的方法解決問(wèn)題,設(shè)而不求,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,提升了簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力,鍛煉了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).師:中點(diǎn)弦問(wèn)題如何求解？生:可利用平方差法求解師:什么是平方差法？生:就是設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo),代入方程,相減,利用平方差公式得到中點(diǎn)和斜率的關(guān)系式,也叫“點(diǎn)差法”.師:此法要注意什么？生:最重要的是取值范圍.師:對(duì),當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)時(shí),“點(diǎn)差法”也能用,顯然是不合理的,原因就是缺少取值范圍的支撐.因此在求軌跡方程時(shí)要注意變量的范圍.師解:設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)為R(x,y),則2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B兩點(diǎn)均在橢圓上,故有x+4y=16,x+4y=16.兩式相減,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).故.(1)由,得所求直線(xiàn)方程為x-2y-4=0.(2)由,得所求軌跡方程為x+8y=0(-4≤x≤4).(3)由,得所求軌跡方程為(x-4)2+4(y-1)2=20(-4≤x≤4).【歸納總結(jié)】點(diǎn)差法對(duì)中點(diǎn)弦問(wèn)題,常用的解題方法——平方差法(點(diǎn)差法),其解題步驟為:(1)設(shè)點(diǎn),即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo);(2)代入,即代入圓錐曲線(xiàn)方程;(3)作差,即兩式相減,然后用平方差公式把上式展開(kāi),整理.【猜想探究能力】通過(guò)解決例4,師生共同歸納出解決中點(diǎn)問(wèn)題的一類(lèi)方法即點(diǎn)差法也是平方差法,在解決問(wèn)題和歸納的過(guò)程中提升猜想探究能力.師:下面進(jìn)行鞏固訓(xùn)練.【鞏固練習(xí)】求中點(diǎn)弦的長(zhǎng)度已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為()A.B.2C.D.師:如何思考本題？生:用“點(diǎn)差法”.師:要不要考慮取值范圍？生:應(yīng)該考慮,但是,由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,因此,這條弦一定存在,可以不求,但是要說(shuō)明一下.生解:依題設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=2,∵點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,因此,這條弦一定存在.又x+2y=4,x+2y=4,∴x-x=-2(y-y),∴此弦所在直線(xiàn)的斜率,∴此弦所在的直線(xiàn)方程為.代入,整理得,∴,∴.答案C師:直線(xiàn)與雙曲弦的中點(diǎn)弦問(wèn)題是否也可以用“點(diǎn)差法”解決,請(qǐng)看下題.【少教精教】弦中點(diǎn)問(wèn)題解法一般為設(shè)而不求,關(guān)鍵是求出弦所在直線(xiàn)方程的斜率利用點(diǎn)差法,列出有關(guān)弦的中點(diǎn)及弦斜率之間關(guān)系求解.【鞏固練習(xí)】中點(diǎn)弦問(wèn)題已知雙曲線(xiàn)2x2-y2=2,過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線(xiàn)l,使l與所給雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)Q1,Q2,且點(diǎn)B是弦Q1,Q2的中點(diǎn),若存在這樣的直線(xiàn)l,求出它的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.師:如何思考本題？生:用“點(diǎn)差法”.師:如何判斷這條直線(xiàn)是否存在？生:不同于封閉曲線(xiàn),難以判斷.師:可以先嘗試著先做出來(lái),再檢驗(yàn).生解:設(shè)Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn),則x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2,由兩式相減并變形得,若存在,則直線(xiàn)l為y-1=2(x-1),即y=2x-1聯(lián)立得,由于?=-8<0,方程無(wú)實(shí)根,即直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn),故不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn).【教師總結(jié)】(1)利用“點(diǎn)差法”解題,其過(guò)程是無(wú)法保證直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的,因此必須對(duì)所求得直線(xiàn)方程的存在性進(jìn)行驗(yàn)證.【綜合問(wèn)題解決能力】通過(guò)對(duì)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交時(shí)的中點(diǎn)弦問(wèn)題的解決,使學(xué)生加深對(duì)點(diǎn)差法的掌握以及對(duì)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知,使學(xué)生學(xué)會(huì)從理性的角度思考問(wèn)題、優(yōu)化思維,從而提升綜合問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀(guān)想象核心素養(yǎng).(2)確定好運(yùn)算方法,形成運(yùn)算程序的完備性,有利于培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)素養(yǎng).(3)中點(diǎn)弦問(wèn)題用直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立成方程組來(lái)求解更好,“點(diǎn)差法”有自身的弱點(diǎn),一般地,當(dāng)題目中同時(shí)出現(xiàn)中點(diǎn)和斜率時(shí)才會(huì)使用.師:已知弦AB的中點(diǎn),我們可以用點(diǎn)差法去研究AB的斜率和方程.(1)AB是橢圓(a>b>0)的一條弦,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則AB的斜率為,運(yùn)用“點(diǎn)差法”求AB的斜率.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).A,B都在橢圓上,則兩式相減得,即,即,故.(2)運(yùn)用類(lèi)比的方法可以推出:①已知AB是雙曲線(xiàn)(a>0,b>0)的一條弦,弦中點(diǎn)M(x0,y0),則.②已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則.【深度學(xué)習(xí)】通過(guò)對(duì)中點(diǎn)弦問(wèn)題的探究和對(duì)點(diǎn)差法的學(xué)習(xí),師生共同歸納推導(dǎo)出當(dāng)直線(xiàn)與三大圓錐曲線(xiàn)相交時(shí),已知弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)的弦斜率的通用公式,使學(xué)生的推測(cè)解釋等數(shù)學(xué)能力和邏輯推理等核心素養(yǎng)得到進(jìn)一步的提升.【課堂小結(jié)】直線(xiàn)交圓推曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦問(wèn)題1.連接圓錐曲線(xiàn)上兩個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng).直線(xiàn)l:f(x,y)=0,曲線(xiàn)C:F(x,y)=0,l與C的兩個(gè)不同的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)是方程組,的兩組解,方程組消元后化為關(guān)于x(也可以是y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)或(ay2+by+c=0).判別式?=b2-4ac,應(yīng)有?>0,所以x1,x2是方程ax2+bx+c=0的解.由根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)求出,,則A,B兩點(diǎn)間的距離,即為弦長(zhǎng)公式,也可以寫(xiě)成關(guān)于y的形式,弦長(zhǎng)公式為(k≠0).2.注意點(diǎn)(1)如果在設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)涉及斜率,要注意斜率不存在的情況,為了避免討論,過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)可設(shè)為x=my+c.(2)涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng);涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算:涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題,可考慮利用圓錐曲線(xiàn)的定義求解.3.圓錐曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題,是解析幾何的主要內(nèi)容之一,也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題一般有以下三種類(lèi)型:(1)求中點(diǎn)弦所在直線(xiàn)方程;(2)求弦中點(diǎn)的軌跡方程;(3)弦長(zhǎng)為定值時(shí),弦中點(diǎn)的坐標(biāo).其解法有設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對(duì)稱(chēng)變換法等.【設(shè)計(jì)意圖】在解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題時(shí),沒(méi)有統(tǒng)一的套路可尋,必須仔細(xì)分析題目的特點(diǎn),充分利用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),一步一步探求解題方法,將數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程的思想融合在解題過(guò)程中.教學(xué)評(píng)價(jià)本節(jié)所涉及的知識(shí)是平面解析幾何中最重要的內(nèi)容.它們滲透在三大圓錐曲線(xiàn)的各個(gè)部分,正是這一部分內(nèi)容構(gòu)成了解析幾何的主體,又最能體現(xiàn)解析法的思想.本部分具體知識(shí)如下:(1)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題,首先是幾何問(wèn)題,因此在解答這些問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的運(yùn)用,如定義、范圍、對(duì)稱(chēng)性、漸近線(xiàn)、離心率等這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化.(2)對(duì)本章中介紹的主要的數(shù)學(xué)方法——坐標(biāo)法要引起足夠重視.要注意學(xué)習(xí)如何借助于坐標(biāo)系,用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題,體會(huì)這種數(shù)形結(jié)合的思想.(3)首先將幾何問(wèn)題代數(shù)化,最核心的思想就是將點(diǎn)坐標(biāo)化,然后用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系,進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,處理代數(shù)問(wèn)題,分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義,最終解決幾何問(wèn)題.這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下題:【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的學(xué)習(xí),解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷、弦長(zhǎng)問(wèn)題和中點(diǎn)弦問(wèn)題.發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀(guān)想象等核心素養(yǎng).(2021·山東泰州期末)如圖,已知橢圓C:,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在x軸上,C,D在橢圓C上,點(diǎn)D在第一象限.CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交橢圓C于點(diǎn)E,直線(xiàn)AE與橢圓C,y軸分別交于點(diǎn)F,G,直線(xiàn)CG交橢圓C于點(diǎn)H,DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交FH于點(diǎn)M.(1)設(shè)直線(xiàn)AE,CG的斜率分別為k1,k2,求證:為定值;(2)求直線(xiàn)FH的斜率k的最小值;(3)證明:動(dòng)點(diǎn)M在一個(gè)定曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).【深度學(xué)習(xí)】求范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍.在建立函數(shù)的過(guò)程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示,有時(shí)為了運(yùn)算的方便,在建立關(guān)系的過(guò)程中也可以采用多個(gè)變量,只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可,同時(shí)要特別注意變量的取值范圍.解析:題目中出現(xiàn)的點(diǎn)雖多,但彼此之間關(guān)聯(lián)緊密,A,B,C,D,E中任一點(diǎn)確定后,都能確定題中的圖形,因此,以其中一個(gè)點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn),遵循點(diǎn)線(xiàn)形成順序,漸次表示出相關(guān)量是最容易想到的思路.解:(1)設(shè)A(x0,0),D(x0,y0),則B(-x0,0),C(-x0,y0),E(-x0,-y0).則,直線(xiàn)AE方程為y=,即,所以,所以k2=,所以.(2)(方法一)聯(lián)立消去y,整理得(2x+y)x2-2x0yx+x+y-8x=0,解得,由于直線(xiàn)CG方程為,聯(lián)立消去y,整理得(2x+9y)x2+6xyx+xy-8x2=0,解得,所以直線(xiàn)FH的斜率k=====,因?yàn)?x+3y≥2x0y0>0,所以,故k的最小值.【分析計(jì)算能力】探索性問(wèn)題和證明題往往會(huì)涉及定點(diǎn)、定值問(wèn)題,可以通過(guò)特例找尋定點(diǎn)、定值,然后利用邏輯推理的方法去證明.在解題的過(guò)程中提升分析計(jì)算能力.【綜合問(wèn)題解決能力】通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生觀(guān)