2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

濟(jì)南市2023年九年級(jí)學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共8頁，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.

1.下列幾何體中，主視圖是三角形的為（）

2.2022年我國(guó)糧食總產(chǎn)量再創(chuàng)新高，達(dá)686530000噸.將數(shù)字686530000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.68653x10sB.6.8653xIO8

C.6.8653xIO7D.68.653x107

3.如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上.如果/1=70。，那么N2的度數(shù)是（)

C.30°D.45°

4.實(shí)數(shù)4,〃在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（)

b

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.a+3VZ?+3D.-3ci<—3b

5.下圖是度量衡工具漢尺、秦權(quán)、新莽銅卡尺和商鞅方升的示意圖，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖

形的是（）

k

7.已知點(diǎn)A（T,yJ,6（-2,%），。（3,%）都在反比例函數(shù)），=一（女＜0）的圖象上，則X，%，%的大

九

小關(guān)系為（）

A.y3＜y2＜y,B.y,＜y3＜y2

c.%＜兇＜）’2D.為＜為＜凹

8.從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加圖書節(jié)志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲同學(xué)是女生，乙、丙、

丁同學(xué)都是男生，被抽到的2名同學(xué)都是男生的概率為（）

9.如圖，在■C中，AB=AC,NK4C=36。，以點(diǎn)C為圓心，以為半徑作弧交AC于點(diǎn)。，再

分別以8,。為圓心，以大于工劭的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)?，作射線C9交于點(diǎn)E，連接

2

DE.以下結(jié)論不亞硬的是（）

A

BE>/5-1S：c_布+1

lcz?-----=----------Un.--------------------

AC2S△的2

io.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x，yJ,當(dāng)點(diǎn)滿足2（%+9）=y+必時(shí)，稱點(diǎn)

Q（w，％）是點(diǎn)尸（x，y）的“倍增點(diǎn)”,已知點(diǎn)4（1,0），有下列結(jié)論：

①點(diǎn)2（3,8）,。2（-2,-2）都是點(diǎn)耳“倍增點(diǎn)”；

②若直線y=x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)4的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）；

③拋物線），=/一統(tǒng)一3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”；

④若點(diǎn)E是點(diǎn)々的“倍增點(diǎn)”，則耳8的最小值是竽.

其中，正確結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分,直接填寫答案.

11.因式分解：x2-16=.

12.圍棋起源于中國(guó)，棋子分黑白兩色.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)黑色棋子和若干個(gè)白色棋子，每個(gè)棋

子除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)棋子，摸到黑色棋子的概率是!，則盒子中棋子的總個(gè)數(shù)是_________.

4

13.關(guān)于x的一元二次方程/一4%+2々=0有實(shí)數(shù)根，則。的值可以是（寫出一個(gè)即可）.

求證：DE=BF.

20.圖I是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB=lm，8C=0.6m,NA5C=123。，

該車的高度AO=1.7m.如圖2,打開后備箱，車后蓋A8C落在A8'C'處，AB'與水平面的夾角

ZB,AD=2J°.

（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)8'到地面/的距離；

（2）若小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)?請(qǐng)說明理由.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510,6力1.732）

21.2023年，國(guó)內(nèi)文化和旅游行業(yè)復(fù)蘇勢(shì)頭強(qiáng)勁.某社團(tuán)對(duì)30個(gè)地區(qū)“五一”假期的出游人數(shù)進(jìn)行了調(diào)

查，獲得了它們“五一”假期出游人數(shù)（出游人數(shù)用加表示，單位：百萬）的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整

理.數(shù)據(jù)分成5組：

A組：B組：12Km<23；C組：23Km<34；D組：34<機(jī)<45；E組：

45<ni<56.

下面給出了部分信息：

a.8組的數(shù)據(jù)：12,13,15,16,17,17,18,20.

b.不完整的“五一”假期出游人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：

請(qǐng)根據(jù)以上信息完成下列問題:

(1)統(tǒng)計(jì)圖中E組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為度；

(2)諳補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)這30個(gè)地區(qū)“五一”假期出游人數(shù)的中位數(shù)是百萬;

(4)各組“五一”假期平均出游人數(shù)如下表：

ABCDE

組別

1<m<1212</n<2323<zn<3434<zn<4545</n<56

平均出游人數(shù)(百萬)551632.54250

求這30個(gè)地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù).

22.如圖，AB，。。為OO的直徑，C為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的切線與A5的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,

ZABC=2/BCP,點(diǎn)E是no的中點(diǎn)，弦CE,3。相交于點(diǎn)￡.

(1)求N0C3的度數(shù)；

(2)若所=3,求O。直徑的長(zhǎng).

23.某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了4,3兩種型號(hào)的機(jī)器人模型.A型機(jī)器人模型單價(jià)比8

型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用2()00元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買8型機(jī)器人模型的數(shù)量相同.

(1)求A型，B型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？

(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購買8型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3

倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買A型和B型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最

少?最少花費(fèi)是多少元？

24綜合與實(shí)踐

如圖1,某興趣小組計(jì)劃開墾一個(gè)面積為8m2的矩形地塊48co種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用

木欄圍住，木欄總長(zhǎng)為an?.

D

BC

【問題提出】

小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問題：若4=10,能否圍出矩形地塊？

【問題探究】

小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問題：

設(shè)A5為初，8C為)如.由矩形地塊面積為8m2,得到勾，=8,滿足條色的(x,y)可看成是反比例函數(shù)

Q

y=—的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長(zhǎng)為10m,得到2x+y=10,滿足條件的(x,y)可看成一次函

x

數(shù)y=-2x+10的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的(此日就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)

的坐標(biāo).

Q

如圖2,反比例函數(shù)y=1(x>0)的圖象與直線小y=-2x+10的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8)和,因此,

木欄總長(zhǎng)為10m時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：A8=lm，BC=8m；或AB=機(jī)，BC=

(1)根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空.

【類比探究】

(2)若。=6,能否圍出矩形地塊？請(qǐng)仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由.

【問題延伸】

當(dāng)木欄總長(zhǎng)為am時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)y=-2x+a.發(fā)現(xiàn)直線y=-2欠+?？梢钥闯墒侵本€y=-2x

Q

通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點(diǎn)（2,4）時(shí)，直線），=-2x+a與反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖象有

唯一交點(diǎn).

（3）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出直線丁二-21+。過點(diǎn)（2,4）時(shí)的圖象，并求出。的值.

【拓展應(yīng)用】

8

小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“y=—21+。與》=一圖象在第一象限內(nèi)

X

交點(diǎn)的存在問題”.

（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且A3和8C的長(zhǎng)均不小于1m,請(qǐng)直接寫出。的取值范圍.

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形A3CO的頂點(diǎn)A,8在x軸上，C（2,3）,D（-l,3）.拋物線

y=ax1-2ax+c（〃v0）與％軸交于點(diǎn)￡（一2,0）和點(diǎn)F.

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接b,作直線CE,平移線段b,使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在直線

CE上，點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在拋物線上，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）若拋物線丁=加一2〃+4々<0）與正方形A8CO恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求《的取值范圍.

26.在矩形A3CD中，AB=2,AD=2g，點(diǎn)E在邊3c上，將射線4E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，交.CD

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,以線段AE,AG為鄰邊作矩形AE尸G.

G

G

BECEC

圖3

（1）如圖1,連接80,求N8OC的度數(shù)和——的值；

BE

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在射線8加上時(shí)，求線段班的長(zhǎng)；

（3）如圖3,當(dāng)E4=EC時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸，滿足PE=EF,連接R4，PC,求PA+PC的

最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.

1.下列幾何體中，主視圖是三角形的為（）

【答案】A

【解析】

【分析】分別判斷出各選項(xiàng)中的幾何體的主視圖，即可得出答案.

【詳解】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

B、球的主視圖是圓，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、長(zhǎng)方體的主視圖是長(zhǎng)方形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、三棱柱的主視圖是長(zhǎng)方形，故木選項(xiàng)不符合題意：

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，熟知常見幾何體的主視圖是解本題的關(guān)鍵.

2.2022年我國(guó)糧食總產(chǎn)量再創(chuàng)新高，達(dá)686530000噸.將數(shù)字686530000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.68653xlO8B.6.8653xlO8

C.6.8653xlO7D.68.653xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10'的形式，其中14同〈10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成〃時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>10時(shí)，〃是正數(shù);

當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值vl時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【詳解】解：686530000=6.8653xlO8>

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中n為

整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定〃的值以及〃的值.

3.如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上.如果Nl=70。，那么N2的度數(shù)是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N1=N3,再結(jié)合三角板的特征利用平角定義即可算出N2的度

數(shù).

【詳解】解：如下圖進(jìn)行標(biāo)注,

AB//CD,

/.Zl=Z3=70°,

/.Z2=180°-90°-N3=90°-70°=20°，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，三角形平角的定義，利用三角板的特點(diǎn)求反結(jié)果是解答本題的關(guān)鍵.

4.實(shí)數(shù)〃，匕在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

ba

---------11-----------1------------1---------1，1—a

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.a+3V人+3D.—3ci<—3b

【答案】D

【解析】

［分析］根據(jù)題意可得-3ch<-2,〃=2,然后根據(jù)數(shù)的乘法和加法法則以及不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由題意可得：-3<6<-2,。=2,所以

:.ab<0,a+b<0,a+3>b+3,-3a<-3b,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知：只有選項(xiàng)D的結(jié)論是正確的；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及不等式的性質(zhì)，正確理解題意、得出-3<b<-2,。=2是解題的關(guān)

鍵.

5.下圖是度量衡工具漢尺、秦權(quán)、新莽銅卡尺和商鞅方升的示意圖，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖

形的是（）

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.

【詳解】A、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.將一個(gè)圖形沿著一條直線翻折后，直線兩側(cè)能

完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合的圖形是中心對(duì)稱圖形；軸

對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后

兩部分重合.

6.下列運(yùn)算正確的是()

A.a1a4=asB.a4-a3=a

C.(")=a5D.a4-i-a2=a2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)事的乘除法、合并同類項(xiàng)、幕的乘方等運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即得答案.

【詳解】解：A、故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意;

B、/與-/不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、(/丫=。6,故本選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、故本選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘除法、合并同類項(xiàng)、辱的乘方等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

k

7.已知點(diǎn)A(Y,yJ,3(-2,%)，C。4)都在反比例函數(shù)y=—(女<0)的圖象上，則M，乂，力的大

X

小關(guān)系為()

A.%<>2<必B.乂<%<>2

C.D.3Vx

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù)k確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及函數(shù)

的增減性解答.

k

【詳解】解：」在反比例函數(shù)丁=一(k<0)中，k<0,

X

???此函數(shù)圖象在二、四象限，

,.?-4<一2<0,

.?.點(diǎn)4(-4,yJ,B(-2,%)在第二象限，

y>0,%>°，

,函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)為增函數(shù)，-4<-2<0,

???3>0,???。(3,為)點(diǎn)在第四象限，

\%<0，

???切，為，％的大小關(guān)系為為<y<%?

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，比較

簡(jiǎn)單.

8.從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加圖書節(jié)志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲同學(xué)是女生，乙、丙、

丁同學(xué)都是男生，被抽到的2名同學(xué)都是男生的概率為（）

1I八23

3234

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫樹狀圖，再利用概率公式，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

???一共有12種情況，被抽到的2名同學(xué)都是男生的情況有6種，

U

122

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.

9.如圖，在上45。中，A3=AC,NK4c=36。，以點(diǎn)C為圓心，以3c為半徑作弧交AC于點(diǎn)0,再

分別以8,。為圓心，以大于1川的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P,作射線CP交A3于點(diǎn)E，連接

2

DE.以下結(jié)論不乖硼的是（）

A

B.BC=AE

c.跑0DS4AF.C_布+1

AC2,s2

【答案】C

【解析】

【分析】由題意得，BC=DC,CE平分/ABC,根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線判斷A即可；由角平分

線求出ZACE=36。=NA,得到AE=CE,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出ZBEC=72°=ZB,得到CE=BC,

ADD(~"

即可判斷B：證明得到法二茄，設(shè)A8=l,BC=x,則BE=l—x,求出x,即可

判斷C；過點(diǎn)E作EG_L3。于G,EH_LAC于從由角平分線的性質(zhì)定理推出EG=E”,即可根據(jù)三角

形面積公式判斷D.

【詳解】解：由題意得，BC=DC,CE平分448C，

???在AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,

ZABC=ZACB=12°

???CE平分/ABC,

：.ZBCE=36°,故A正確;

???CF平分N48C,ZACB=72°

???Z4CE=36°=ZA,

/.AE=CE,

VZ4BC=72°,ZBCE=36°,

：.ZBEC=72°=ZB，

:.CE=BC>

ABC=AEf故B正確;

???NA=/BCE,ZABC=NCBE,

：?2BCs/\CBE，

ABBC

??09

BCBE

設(shè)"=l,BC=x,MBE=\-x,

...1—=---x--

x\-x

x2=1-X?

x/5-1

解得/

2

5/5-l3-75

,BE=

2~~

第二。,故c錯(cuò)誤,

過點(diǎn)E作EGJLBC于G,EH上AC于H,

A

???CE平分/AC8,EGLBC.EHLAC,

:?EG=EH

r.—,AC,EHA廠/z?

S^AEC_2_AC_05+1

:故D正確;

3”.EG2

故選：C.

【點(diǎn)晴】此題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角，相似三角形的判定和性質(zhì)，角三分線的作圖及性質(zhì)，解一元

二次方程，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

10.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x”yJ,當(dāng)點(diǎn)。（￡,%）滿足2（玉+%）=,+%時(shí)，稱點(diǎn)

。(天，必)是點(diǎn)尸(％，y)的“倍增點(diǎn)”,已知點(diǎn)4(i,o)，有下列結(jié)論：

①點(diǎn)Q(3,8),Q(—2,-2)都是點(diǎn)4的“倍增點(diǎn)”；

②若直線y=x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)；

③拋物線y=Y—2x—3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)《的“倍增點(diǎn)”；

④若點(diǎn)8是點(diǎn)<的“倍增點(diǎn)”，則耳8的最小值是竽.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點(diǎn)”定義，分別驗(yàn)證2,02即可；②點(diǎn)A(aa+2),根據(jù)“倍增點(diǎn)”定

義，列出方程，求出。的值，即可判斷；③設(shè)拋物線上點(diǎn)。(八產(chǎn)-2/-3)是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”，根據(jù)

“倍增點(diǎn)”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設(shè)點(diǎn)8(山,〃)，根據(jù)“倍增

點(diǎn)”定義可得2(m+1)=〃，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得《82=(加一Ip+/,把〃=2(機(jī)+1)代入化簡(jiǎn)并

配方，即可得出的最小值為日，即可判斷.

【詳解】解:①???耳。,0),2(3,8),

2(占+Xj)=2x(l+3)=8,y+必=0+8=8,

???2(%+w)=y+%，則Q(3,8)是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”；

???4(1,0)，G2(-2,-2),

2(&+/)=2x(1—2)=—2,y+y2=0—2=—2,

??.2(±+W)=凹+%，則。2(-2,-2)是點(diǎn)R的“倍增點(diǎn)”；

故①正確，符合題意；

②設(shè)點(diǎn)A(aa+2),

???點(diǎn)A是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”，

:.2x(1+a)=0+々+2,

解得：a=0,

:.A(0,2),

故②不正確，不符合題意；

③設(shè)拋物線上點(diǎn)?！阂?一3)是點(diǎn)<的“倍增點(diǎn)”，

???2(1+/)=產(chǎn)一2，一3,整理得：一一4/—5=0，

VA=(-4)2-4xlx(-5)=36>0,

??.方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即拋物線y=Y一2r一3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”；

故③正確，符合題意；

④設(shè)點(diǎn)8(“，力),

???點(diǎn)8是點(diǎn)［的“倍增點(diǎn)”，

:.2(加+1)=〃，

???8(團(tuán),〃)，7?(1,0),

???/]B2=(w-l)2+n2

=(?n-l)2+2(/n+l)2]

=5nr+6/W+5

|216

=5.4+,

I5IT

V5>0,

:,府的最小值為*

4x/5

???<5的最小值是

故④正確，符合題意；

綜上：正確的有①@④，共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，解題

的關(guān)鍵是正確理解題目所給“倍增點(diǎn)”定義，根據(jù)定義列出方程求解.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

11.因式分解：X2-16=.

【答案】(x+4)(x-4)

【解析】

【分析】

【詳解】x2-16=(x+4)(x-4),

故答案為：(x+4)(x-4)

12.用棋起源干中國(guó).棋子分黑白兩色.一個(gè)不透明的盒子中裝有3個(gè)黑色棋子和若干個(gè)白色棋子,每個(gè)棋

子除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)棋子，摸到黑色棋子的概率是則盒子中棋子的總個(gè)數(shù)是________.

4

【答案】12

【解析】

【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的數(shù)量除以對(duì)應(yīng)概率，即可算出棋子的總數(shù).

【詳解】解：3+1=12,

4

???盒子中棋子的總個(gè)數(shù)是12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率的相關(guān)計(jì)算，事件出現(xiàn)的概率等于出現(xiàn)的情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

13.關(guān)于x的一元二次方程4x+2a=0有實(shí)數(shù)根，則。的值可以是(寫出一個(gè)即可).

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式△之0,由此可以得到關(guān)于。的不等式，解不等式就可以求出

。的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程工2一?+2々=0有實(shí)數(shù)根，

A=Z?2-4ac=(-4)2-4xlx2a>0,

即16-8。2

解得：。42,

???。的值可以是2.

故答窠為：2（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程加+云+。=0（。00）的根與判別式的關(guān)系，當(dāng)?！?時(shí)，方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)。=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)avO時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

14.如圖，正五邊形ABCQE的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，以AB為半徑作弧跳:，則陰影部分的面積為

（結(jié)果保留萬）.

61

【答案】T

【解析】

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出NA的度數(shù)，利用扇形面積公式計(jì)算即

可.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=（5—2卜180。=540。,

540°

:.ZA=——=108°,

5

_10842?_6乃

崩形配二飛丁二丁

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是

解答本題的關(guān)鍵.

15.學(xué)校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行''，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學(xué)，兩人各自從家同時(shí)同向出

發(fā),沿同一條路勻速前進(jìn).如圖所示，4和，2分別表示兩人到小亮家的距離s（g）和時(shí)間f（h）的關(guān)系，則

出發(fā)h后兩人相遇.

v/km

6

3.5

【答案】0.35

【解析】

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出小明和小亮的速度，從而可以解答本題.

【詳解】解：由題意和圖象可得，小明0.5小時(shí)行駛了6-3.5=2.5（km）,

25

???小明的速度為：V=5（km/h）,

小亮0.4小時(shí)行駛了6km，

???小明的速度為：—=15（km/h）,

設(shè)兩人出發(fā)如后兩人相遇,

???（15—5）x=3.5

解得JC=0.35,

???兩人出發(fā)0.35后兩人相遇，

故答案為：0.35

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的

思想解答.

16.如圖，將菱形紙片A5CO沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)。落在射線C4上的點(diǎn)E處，折痕CP交AD于

點(diǎn)P.若NABC=30。，AP=2,則PE的長(zhǎng)等于.

【答案】y/2+y/6

【解析】

【分析】過點(diǎn)A作AQ_LPE于點(diǎn)Q,根據(jù)菱形性質(zhì)可得"AC=75°,根據(jù)折疊所得

ZE=ZD=30°,結(jié)合三角形的外角定理得出ZE4P=45。，最后根據(jù)PQ=4。＜345。=J5,

EQ=AQ=底即可求解.

tan30°

【詳解】解：過點(diǎn)4作AQ_LPE于點(diǎn)。

???四邊形43co為菱形，ZABC=30°,

:?AB=BC=CD=AC,ZABC=ZD=30°,

???ZDAC=1(180°-30°)=75°,

???△CPE由沿CP折疊所得，

:.NE=NO=30。，

.??NEAP=75。-30。=45。，

VAQ±PEtAP=2,

APg=APcos45°=V2,則AQ=PQ=&,

AQ=瓜,

：?EQ=

tan30°

；?PE=EQ+PQ=C+瓜

故答案為：\f2+5/6?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角

形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質(zhì)，正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解.

三、解答題：本題共10小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計(jì)算：|->/3|+f|+(^-+1)°-tan60°.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義、負(fù)整數(shù)指數(shù)寡、零指數(shù)塞以及特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算后，再根據(jù)二次根

式加減運(yùn)算法則求解即可得到答案.

【詳解】解：卜閩+(g)+(^+l)°-tan60°

=6+2+1-6

=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算、零指數(shù)易運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式加

減運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

2（x+2）＞x+3?

18.解不等式組：xx+2…，并寫出它的所有整數(shù)解.

-＜----②

35

【答案】一1〈無＜3,整數(shù)解為0,1,2

【解析】

【分析】分別求解兩個(gè)不等式，再寫出解集，最后求出滿足條件的整數(shù)解即可.

【詳解】解：解不等式①，得x＞—l,

解不等式②，得xv3,

在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，

-1------------------1-------1--------1--------＞

-3-10123

原不等式組的解集是一1＜工＜3,

???整數(shù)解為0,1，2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式:組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步躲，

以及寫出不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”.

19.已知：如圖，點(diǎn)。為YA5co對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與AD,8C分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).

求證：DE=BF.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=5C，4?！?。，進(jìn)而得出/叢。=/F。0,NOEA=NOFC,

再證明△AOEQACOF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF,再利用線段的差得出

AD-AE=BC-CF,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形A8CZ）是平行四邊形，

；?AD=BC,AD//BC^

???NE40=N/C0,NOEA=NOFC，

???點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

:.AO=CO，

???AE=CF,

：.AD—AE=BC—CF,

；?DE=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

20.圖I是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB=lm,8c=0.6m,ZABC=123°,

該車的高度AO=1.7m.如圖2,打開后備箱，車后蓋A5C落在ABC'處，AB'與水平面的夾角

/區(qū)位＞=27。.

（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)用到地面/的距離；

（2）若小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)?請(qǐng)說明理由.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510,6=1.732）

【答案】（1）車后蓋最高點(diǎn)5,到地面的距離為2.15m

（2）沒有危險(xiǎn)，詳見解析

【解析】

【分析】（1）作3'E_L4），垂足為點(diǎn)E，先求出BE的長(zhǎng)，再求出笈E+AO的長(zhǎng)即可；

（2）過。'作CT_LBE,垂足為點(diǎn)尸，先求得ZABfE=63°,再得到NCB'F=ZA&C-ZARE=60°,

再求得=-05600=0.3,從而得出C到地面的距離為2.15-0.3=1.85,最后比較即可.

【小問1詳解】

如圖，作垂足為點(diǎn)E

在RtZXAB'E中

???N3'AQ=27。，AB,=AB=\

???sin27°=—

AB'

???BE=AB'sin27。b1x0.454=0.454

???平行線間的距離處處相等

??.&E+AO=0.454+1.7=2.154。2.15

答：車后蓋最高點(diǎn)3'到地面的距離為2.15m.

【小問2詳解】

沒有危險(xiǎn)，理由如下：

過C'作CQf,垂足為點(diǎn)尸

VZB,AD=2J°,4E4=90。

:.ZABrE=63°

???ZAB,C=ZABC=\23°

???ZCBfF=ZA&C-ZA&E=60°

在RL.3NC中，B'C'=BC=0.6

???=-cos60°=0.3.

???平行線間的距離處處相等

???C到地面的距離為2.15—0.3=1.85.

V1.85>1.8

???沒有危險(xiǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.2023年，國(guó)內(nèi)文化和旅游行業(yè)復(fù)蘇勢(shì)頭強(qiáng)勁.某社團(tuán)對(duì)30個(gè)地區(qū)“五一”假期的出游人數(shù)進(jìn)行了調(diào)

查，獲得了它們“五一”假期出游人數(shù)(出游人數(shù)用機(jī)表示，單位：百萬)的數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整

理.數(shù)據(jù)分成5組：

A組：1W相<12；B組：124根<23：C組：23Km<34：D組：344mv45：E組：

45K加<56.

下面給出了部分信息：

a.8組的數(shù)據(jù)：12,13,15,16,17,17,18,20.

b.不完整的“五一”假期出游人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：

t地區(qū)個(gè)數(shù)(頻數(shù))

01223344556人數(shù)/仃萬

請(qǐng)根據(jù)以上信息完成下列問題：

(1)統(tǒng)計(jì)圖中E組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為度；

(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)這30個(gè)地區(qū)“五一”假期出游人數(shù)的中位數(shù)是百萬;

(4)各組“五一”假期的平均出游人數(shù)如下表：

ABCDE

組別

\<m<\2[2<m<2323<AW<3434工機(jī)<4545<m<56

平均出游人數(shù)(百萬)5.51632.54250

求這30個(gè)地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù).

【答案】（1）36（2）詳見解析

（3）155（4）20百萬

【解析】

【分析】（1）由七組的個(gè)數(shù)除以總個(gè)數(shù)，再乘以360。即可；

（2）先用。組所占百分比乘以總個(gè)數(shù)得出其個(gè)數(shù)，再用總個(gè)數(shù)減去4、B、。、E組的個(gè)數(shù)得出C組個(gè)

數(shù)，最后畫圖即可；

（3）根據(jù)中位數(shù)的定義可得出中位數(shù)為第15和16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第15和16個(gè)數(shù)均在8組，求解即可;

（4）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的求解方法計(jì)算即可.

【小問1詳解】

3

—X360°=36°,

30

故答案為：36；

【小問2詳解】

。組個(gè)數(shù)：30xl0%=3個(gè)，

C組個(gè)數(shù)：30—12—8—3—3=4個(gè)，

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

共30個(gè)數(shù)，中位數(shù)為第15和16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第15和16個(gè)數(shù)均在B組,

???中位數(shù)為"土3=15.5百萬,

2

故答案為：15.5；

【小問4詳解】

5.5x12+16x8+32.5x4+42x3+50x3

=20（百萬）,

30

答：這30個(gè)地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù)是20百萬.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，涉及求扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù)，畫頻數(shù)

分布直方圖，求中位數(shù)，求加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，并能夠從題目中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，AB,CD為OO的直徑，C為上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切線與八片的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，

ZABC=2NBCP,點(diǎn)E是BQ的中點(diǎn)，弦CE，3。相交于點(diǎn)￡.

(1)求N0C8的度數(shù)；

(2)若EF=3,求OO直徑的長(zhǎng).

【答案】(1)60°

⑵6/

【解析】

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，得出OC1PC,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出NOC8+NBC尸=90。，

再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出NOC3=NQ3C，再根據(jù)等量代換，得出NOC8=2NBCP,再根據(jù)

ZOCB+NBCP=90。，得出2NBCP+NBCP=90°,即3/BCP=90°,得出/BCP=30°，進(jìn)而計(jì)算

即可得出答案；

(2)連接。石，根據(jù)圓周角定理，得出ZDEC=90。，再根據(jù)中點(diǎn)定義，得出DE=EB，再根據(jù)同弧或

同弦所對(duì)的圓周角相等，得出NOCE=NECB=ZFOE=，NOC5=30。，再根據(jù)正切的定義，得出

2

DE=3』，再根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出CD=2DE=6，5,進(jìn)而即可得出答案.

【小問1詳解】

解：???PC與相切于點(diǎn)C,

???OC1PC,

???N0C8+/8C尸=90。，

?：OB=OC,

???ZOCB=ZOBC,

???ZABC=2ZBCP,

???/OCB=2NBCP,

???2ZBCP+NBCP=90°，即3/BCP=90。，

.?.NBC尸=30。，

???NOCB=2/BCP=60。；

【小問2詳解】

解：如圖，連接OE，

???C￡＞是OO直徑,

:.ZDEC=90°,

???點(diǎn)E是50的中點(diǎn),

：?DE=EB，

???ZDCE=NECB=NFDE=-4DCB=30°，

2

在RlaFDE1中，

VEF=3,NFDE=30。,

在RizXOEC中，

???NDCE=30。，

:?CD=2DE=66

???00的直徑的長(zhǎng)為6石.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、等邊對(duì)等角、圓周角定理及其推論、銳角三角

函數(shù)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

23.某校開設(shè)智能機(jī)器人編程校本課程，購買了A,8兩種型號(hào)的機(jī)器人模型.A型機(jī)器人模型單價(jià)比8

型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同.

(1)求A型，3型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和8型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購買8型機(jī)器人模型不超過4型機(jī)器人模型的3

倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買人型和B型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最

少?最少花費(fèi)是多少元？

【答案】（1）A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，8型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元

（2）購買A型機(jī)器人模型10臺(tái)和8型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元

【解析】

【分析】（1）設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x元，8型編程機(jī)器人模型單價(jià)是（工一200）元，根據(jù)：用2000

元購買4型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同即可列出關(guān)于x的分式方程，解方程并

檢驗(yàn)后即可求解；

（2）設(shè)購買4型編程機(jī)器人模型機(jī)臺(tái)，購買A型和8型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)卬元，根據(jù)題意可求出機(jī)

范圍和W關(guān)千機(jī)的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值

【小問1詳解】

解：設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是（X—200）元.

20001200

根據(jù)題意，得——

xX-200

解這個(gè)方程，得工=500

經(jīng)檢驗(yàn)，x=500是原方程的根.

工-200=300

答：A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元.

【小問2詳解】

設(shè)購買A型編程機(jī)器人模型加臺(tái)，購買8型編程機(jī)器人模型（40-"。臺(tái)，購買A型和3型編程機(jī)器人模型

共花費(fèi)w元，

由題意得：40-TH<3/H?解得，〃之10.

/.w=500x0.8?/??+300x0.8-（40-/n）

即w=160帆+9600,

V160>0,

???w隨m的增大而增大.

，當(dāng)機(jī)=10時(shí)，卬取得最小值11200,此時(shí)40-m=30；

答：購買A型機(jī)器人模型10臺(tái)和8型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元.

【點(diǎn)睹】木題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意、找準(zhǔn)相

等與不等關(guān)系、得出分式方程與不等式是解題的關(guān)鍵.

24.綜合與實(shí)踐

如圖1,某興趣小組計(jì)劃開墾一個(gè)面積為8