高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教師用書(shū)第五章數(shù)　列

第五章數(shù)列第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法3.通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)n的值，直接代入求出an都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過(guò)一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an4.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(S1)，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))5．?dāng)?shù)列的分類分類的標(biāo)準(zhǔn)名稱含義例子按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4，…，100無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列1,4,9，…，n2，…按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3,4,5，…，n遞減數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，…，eq\f(1,2015)常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列6,6,6,6，…擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1，－2,3，－4按項(xiàng)的有界性有界數(shù)列任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一正值1，－1,1，－1,1，－1，…無(wú)界數(shù)列不存在某一正值能使任一項(xiàng)的絕對(duì)值小于它1,3,4,4，…1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．()(2)1,1,1,1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．()(3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．()(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，不是{an}的項(xiàng)的是()A．21 B．33C．152 D．153解析：選C由9＋12n＝152，得n＝eq\f(143,12)?N*.3．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(1,an－1)(n≥2)，則a4＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,4) D.eq\f(8,5)解析：選B由題意知，a1＝1，a2＝1＋eq\f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(1,a2)＝eq\f(3,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝eq\f(5,3).4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，則a7＝()A．53 B．54C．55 D．109解析：選C由題意知，a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.5．?dāng)?shù)列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________.解析：由已知得，數(shù)列可寫(xiě)成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通項(xiàng)公式可以為an＝eq\f(n,2n－1).答案：eq\f(n,2n－1)6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________________．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.又a1＝－1不適合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,2n－1，n≥2.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,2n－1，n≥2))eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]由Sn和an的關(guān)系求通項(xiàng)公式是一種常見(jiàn)題型，高考中選擇題、填空題、解答題都有呈現(xiàn)，但以解答題的分支命題為重點(diǎn)，近幾年來(lái)考查難度有所降低.考法(一)已知Sn，求an1．已知Sn＝3n＋2n＋1，則an＝____________.解析：因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不適合此式，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2))2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ改編)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an解析：因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n兩式相減得(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)(n≥2)．又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式，從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,2n－1)(n∈N*)．答案：eq\f(2,2n－1)(n∈N*)[題型技法]已知Sn求an的3步驟(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；(3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．考法(二)由Sn與an的關(guān)系，求an，Sn3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，則an＝()A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1解析：選C當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n.4．(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.又eq\f(1,S1)＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).答案：－eq\f(1,n)[題型技法]Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，有選擇題、填空題，也出現(xiàn)在解答題的第1問(wèn)中，近幾年考查難度有所降低，但也要引起關(guān)注.方法(一)疊乘法求通項(xiàng)公式1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．解析：∵an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq\f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq\f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq\f(1,2)a1.以上(n－1)個(gè)式子相乘得an＝a1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(a1,n)＝eq\f(1,n).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq\f(1,n)(n∈N*)．答案：an＝eq\f(1,n)(n∈N*)[方法點(diǎn)撥]疊乘法求通項(xiàng)公式的4步驟方法(二)疊加法求通項(xiàng)公式2．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________．解析：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n,2)＝eq\f(n2＋n－2,2).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)．答案：an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)[方法點(diǎn)撥]疊加法求通項(xiàng)公式的4步驟方法(三)構(gòu)造法求通項(xiàng)公式3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________．解析：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．答案：an＝2·3n－1－1(n∈N*)[方法點(diǎn)撥]構(gòu)造法求通項(xiàng)公式的3步驟[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．正確選用方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，并且容易求數(shù)列{f(n)}前n項(xiàng)的積時(shí)，采用疊乘法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式．(3)對(duì)于遞推關(guān)系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)．2．避免2種失誤(1)利用疊乘法，易出現(xiàn)兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是在連乘的式子中只寫(xiě)到eq\f(a2,a1)，漏掉a1而導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是根據(jù)連乘求出an之后，不注意檢驗(yàn)a1是否成立．(2)利用構(gòu)造法求解時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的首項(xiàng)的正確求解以及準(zhǔn)確確定疊加、疊乘后最后一個(gè)式子的形式．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)從近幾年高考可以看出，數(shù)列中的最值、周期是高考的熱點(diǎn)，一般難度稍大.在復(fù)習(xí)中，從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)數(shù)列，注意數(shù)列的函數(shù)特征，特別是利用函數(shù)的方法研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).[典題領(lǐng)悟]1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，則a2018＝()A．－1 B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析：選D由a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,1－an)，得a2＝eq\f(1,1－a1)＝2，a3＝eq\f(1,1－a2)＝－1，a4＝eq\f(1,1－a3)＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(1,1－a4)＝2，…，于是可知數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，因此a2018＝a3×672＋2＝a2＝2.2．已知數(shù)列{an}滿足an＝eq\f(n＋1,3n－16)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是第________項(xiàng)．解析：因?yàn)閍n＝eq\f(n＋1,3n－16)，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)必為an<0，即eq\f(n＋1,3n－16)<0,3n－16<0，從而n<eq\f(16,3).又n∈N*，所以當(dāng)n＝5時(shí)，an的值最?。鸢福?[解題師說(shuō)]1．解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．2．判斷數(shù)列單調(diào)性的2種方法(1)作差比較法：比較an＋1－an與0的大?。?2)作商比較法：比較eq\f(an＋1,an)與1的大小，注意an的符號(hào)．3．求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；(2)利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到數(shù)列的最小項(xiàng)．[沖關(guān)演練]1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1(n∈N*)，則a2018＝()A．1 B．0C．2018 D．－2018解析：選B∵a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1＝(an－1)2，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2018＝a2＝0，選B.2．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為()A．5 B．6C．5或6 D．6或7解析：選C由aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因?yàn)閐<0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6因?yàn)閐<0，所以{an}是遞減數(shù)列，所以a1>a2>…>a5>a6＝0>a7>a8>…，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C.(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．已知數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…，則2eq\r(19)在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A．16 B．24C．26 D．28解析：選C因?yàn)閍1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26.2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝()A．10 B．15C．－5 D．20解析：選D當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.3．(2017·河南許昌二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為()A．31 B．32C．61 D．62解析：選A∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.4．(2018·云南檢測(cè))設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．(－∞，3) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析：選C因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.5．(2018·湖南湘潭一中、長(zhǎng)沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1,2)，那么a5＝()A.eq\f(1,32) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：選A∵數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1,2)，∴a2＝a1a1＝eq\f(1,4)，a3＝a1·a2＝eq\f(1,8)，∴a5＝a3·a2＝eq\f(1,32).6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為()A．5 B.eq\f(7,2)C.eq\f(9,2) D.eq\f(13,2)解析：選B∵an＋an＋1＝eq\f(1,2)，a2＝2，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n為奇數(shù)，,2，n為偶數(shù).))∴S21＝11×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋10×2＝eq\f(7,2).7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________.解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2))8．已知數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，…，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式是________．解析：各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子都比分母少3，且第1項(xiàng)可變?yōu)椋璭q\f(2－3,2)，故原數(shù)列可變?yōu)椋璭q\f(21－3,21)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，…故其通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N*.答案：an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N*9．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且S2＝3，則a1＋a3的值為_(kāi)_______．解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，則a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.答案：－110．在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：28B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．若a1＝eq\f(1,2)，an＝4an－1＋1(n≥2)，則an>100時(shí)，n的最小值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C由a1＝eq\f(1,2)，an＝4an－1＋1(n≥2)得，a2＝4a1＋1＝4×eq\f(1,2)＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×2．(2018·咸陽(yáng)模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2C．a(chǎn)n＝eq\f(n,2) D．a(chǎn)n＝eq\f(n2,2)解析：選B∵eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)，∴eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)＝eq\f(nn－1,2)(n≥2)，兩式相減得eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)－eq\f(nn－1,2)＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)．又當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(a1)＝eq\f(1×2,2)＝1，a1＝1，適合上式，∴an＝n2，n∈N*.故選B.3．若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為()A．6 B．7C．8 D．9解析：選B∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設(shè){an}的前k項(xiàng)和數(shù)值最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0))k∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3k＋1≤0，))∴eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3)，∵k∈N*，∴k＝7.∴滿足條件的n的值為7.4．在數(shù)列{an}中，an>0，且前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝(an＋1)2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，4S1＝(a1＋1)2，解得a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，由4Sn＝(an＋1)2＝aeq\o\al(2,n)＋2an＋1，得4Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋2an－1＋1，兩式相減得4Sn－4Sn－1＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋2an－2an－1＝4an，整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因?yàn)閍n>0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，又a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.答案：an＝2n－15.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·2n＋1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．a(chǎn)1a2aa4a5……解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為數(shù)列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝eq\f(9×10,2)＋3＝48項(xiàng)，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為97.答案：976．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3，所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因?yàn)閍n＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－eq\f(k,2)<eq\f(3,2)，解得k>－3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)．7．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝1－eq\f(4,an)(n∈N*)，定義所有滿足cm·cm＋1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)，求數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)．解：(1)依題意，Δ＝a2－4a所以a＝0或a＝4.又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.所以Sn＝n2－4n＋4.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－4＋4＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－5，n≥2.))(2)由題意得cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3，n＝1，,1－\f(4,2n－5)，n≥2.))由cn＝1－eq\f(4,2n－5)可知，當(dāng)n≥5時(shí)，恒有cn>0.又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－eq\f(1,3)，c5＝eq\f(1,5)，c6＝eq\f(3,7)，即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，所以數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)為3.C級(jí)——重難題目自主選做1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是()A．a(chǎn)6或a7 B．a(chǎn)7或a8C．a(chǎn)8或a9 D．a(chǎn)7解析：選B因?yàn)閍n＋1－an＝(n＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＋1－(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))n·eq\f(7－n,10)，當(dāng)n<7時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an；當(dāng)n＝7時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>7時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1<an，則a1<a2<…<a7＝a8>a9>a10>…，所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)，即a7或a8.故選B.2．(2018·成都診斷)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n2,n2－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則an＝________.解析：由題意知eq\f(an,an－1)＝eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(n2,n－1n＋1)，所以an＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(22,22－1)×eq\f(32,32－1)×…×eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,2－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n－1×n＋1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,1×3×2×4×3×5×…×n－1×n＋1)＝eq\f(2n,n＋1).答案：eq\f(2n,n＋1)(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級(jí)——保分題目巧做快做1．已知數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…，則2eq\r(19)在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是()A．16 B．24C．26 D．28解析：選C因?yàn)閍1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26.2.(2018·鄭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為()A．31 B．32C．61 D．62解析：選A∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝()A．10 B．15C．－5 D．20解析：選D當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.4．(2018·湖南湘潭一中、長(zhǎng)沙一中等六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1,2)，那么a5＝()A.eq\f(1,32) B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：選A∵數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1,2)，∴a2＝a1a1＝eq\f(1,4)，a3＝a1·a2＝eq\f(1,8)，∴a5＝a3·a2＝eq\f(1,32).5．若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大時(shí)，n的值為()A．6 B．7C．8 D．9解析：選B∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.設(shè){an}的前k項(xiàng)和最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0))k∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－3k≥0，,22－3k＋1≤0，))∴eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3)，∵k∈N*，∴k＝7.∴滿足條件的n的值為7.6.(2018·河北唐山一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝eq\f(a14n－1,3)，若a4＝32，則a1＝________.解析：∵Sn＝eq\f(a14n－1,3)，a4＝32，∴S4－S3＝eq\f(255a1,3)－eq\f(63a1,3)＝32，∴a1＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．已知數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，…，則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式是________．解析：各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，…，易看出從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的分子都比分母少3，且第1項(xiàng)可變?yōu)椋璭q\f(2－3,2)，故原數(shù)列可變?yōu)椋璭q\f(21－3,21)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，…故其通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N*.答案：an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N*8．在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值為8.試確定常數(shù)k，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：因?yàn)镾n＝－eq\f(1,2)n2＋kn＝－eq\f(1,2)(n－k)2＋eq\f(1,2)k2，其中k是常數(shù)，且k∈N*，所以當(dāng)n＝k時(shí)，Sn取最大值eq\f(1,2)k2，故eq\f(1,2)k2＝8，k2＝16，因此k＝4，從而Sn＝－eq\f(1,2)n2＋4n.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－eq\f(1,2)＋4＝eq\f(7,2)；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)n2＋4n))－－eq\f(1,2)(n－1)2＋4(n－1)＝eq\f(9,2)－n.當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(9,2)－1＝eq\f(7,2)＝a1，所以an＝eq\f(9,2)－n.10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3，所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因?yàn)閍n＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－eq\f(k,2)<eq\f(3,2)，解得k>－3.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－3，＋∞)．B級(jí)——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.(2018·云南檢測(cè))設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－bn，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．(－∞，3) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析：選C因?yàn)閿?shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，所以b<2n＋1(n∈N*)，所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.2.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，則eq\f(an,n)的最小值為()A．21 B．10C.eq\f(21,2) D.eq\f(17,2)解析：選C由已知條件可知，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，又n＝1時(shí)，a1＝33滿足此式．所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1.令f(n)＝eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1，則f(n)在[1,5]上為減函數(shù)，在[6，＋∞)上為增函數(shù)．又f(5)＝eq\f(53,5)，f(6)＝eq\f(21,2)，則f(5)>f(6)，故f(n)＝eq\f(an,n)的最小值為eq\f(21,2).3.(2018·成都質(zhì)檢)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n2,n2－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則an＝________.解析：由題意知eq\f(an,an－1)＝eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(n2,n－1n＋1)，所以an＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(22,22－1)×eq\f(32,32－1)×…×eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,2－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n－1×n＋1)＝eq\f(22×32×42×…×n2,1×3×2×4×3×5×…×n－1×n＋1)＝eq\f(2n,n＋1).答案：eq\f(2n,n＋1)4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·2n＋1，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣(如圖)，則該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．a(chǎn)1a2aa4a5……解析：由題意可得該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為數(shù)列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝eq\f(9×10,2)＋3＝48項(xiàng)，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故該數(shù)陣中的第10行第3個(gè)數(shù)為97.答案：975．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝1－eq\f(4,an)(n∈N*)，定義所有滿足cm·cm＋1<0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)，求數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)．解：(1)依題意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.所以Sn＝n2－4n＋4.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－4＋4＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－5，n≥2.))(2)由題意得cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3，n＝1，,1－\f(4,2n－5)，n≥2.))由cn＝1－eq\f(4,2n－5)可知，當(dāng)n≥5時(shí)，恒有cn>0.又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－eq\f(1,3)，c5＝eq\f(1,5)，c6＝eq\f(3,7)，即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，所以數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)為3.6.已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝2S2＋4，在數(shù)列{bn}中，bn＝eq\f(1＋an,an).(1)求公差d的值；(2)若a1＝－eq\f(5,2)，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(3)若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍．解：(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋eq\f(3×4,2)d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.(2)∵a1＝－eq\f(5,2)，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－eq\f(5,2)＋(n－1)×1＝n－eq\f(7,2)，∴bn＝eq\f(1＋an,an)＝1＋eq\f(1,an)＝1＋eq\f(1,n－\f(7,2)).∵函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,x－\f(7,2))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))上分別是單調(diào)減函數(shù)，∴b3<b2<b1<1，當(dāng)n≥4時(shí)，1<bn≤b4，∴數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)是b4＝3，最小項(xiàng)是b3＝－1.(3)由bn＝1＋eq\f(1,an)，得bn＝1＋eq\f(1,n＋a1－1).又函數(shù)f(x)＝1＋eq\f(1,x＋a1－1)在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分別是單調(diào)減函數(shù)，且x<1－a1時(shí)，y<1；當(dāng)x>1－a1時(shí)，y>1.∵對(duì)任意的n∈N*，都有bn≤b8，∴7<1－a1<8，∴－7<a1<－6，∴a1的取值范圍是(－7，－6)．第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的eq\a\vs4\al(差)都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號(hào)表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md4．與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì)(1)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的eq\f(1,2).(2)若{an}是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S(3)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)．①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).②若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).(4)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．()(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．()(3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．()(4)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差為－2.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．在等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1 B．0C．1 D．6解析：選B∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2＝23．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為()A．－24 B．－3C．3 D．8解析：選A設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝aeq\o\al(2,3)，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，則d＝－2，所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝6×1＋eq\f(6×5,2)×(－2)＝－24.4．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4，則a10＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(5,4)C.eq\f(4,13) D.eq\f(13,4)解析：選A設(shè)等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的公差為d，由題意可知，eq\f(1,a4)＝eq\f(1,a1)＋3d＝eq\f(1,4)，解得d＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a10)＝eq\f(1,a1)＋9d＝－eq\f(5,4)，所以a10＝－eq\f(4,5).5．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，則n＝________.解析：因?yàn)閍3＋a9＝a10－a8，所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.答案：56．在等差數(shù)列{an}中，an>0，a7＝eq\f(1,2)a4＋4，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S19＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a7＝eq\f(1,2)a4＋4，得a1＋6d＝eq\f(1,2)(a1＋3d)＋4，即a1＋9d＝8，所以a10＝8，因此S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝19×a10＝19×8＝152.答案：152eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本運(yùn)算)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]等差數(shù)列的基本運(yùn)算是高考中的?？純?nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題和解答題的第1問(wèn)中，屬于基礎(chǔ)題.1．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25，且a2＝3，則a7＝()A．12 B．13C．14 D．15解析：選B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S5＝eq\f(5a2＋a4,2)，得eq\f(53＋a4,2)＝25，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為()A．1 B．2C．4 D．8解析：選C設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a5＝24，,S6＝48，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋4d＝24，,6a1＋\f(6×5,2)d＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋7d＝24，,2a1＋5d＝16，))解得d＝4.3．(2018·福州質(zhì)檢)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，若ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，則k＝()A．5 B．6C．9 D．11解析：選C因?yàn)閍k是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，所以aeq\o\al(2,k)＝a6ak＋6.又等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，所以[a2＋(k－2)d]2＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，所以(k－3)2＝3(k＋3)，解得k＝9，或k＝0(舍去)，故選C.4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________.解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＝a1＋11d＝－8，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))∴S16＝16×3＋eq\f(16×15,2)×(－1)＝－72.答案：－72[怎樣快解·準(zhǔn)解]1．等差數(shù)列運(yùn)算中方程思想的應(yīng)用(1)等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題．[易錯(cuò)提醒]在求解數(shù)列基本量運(yùn)算中，要注意公式使用時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．在遇到一些較復(fù)雜的方程組時(shí)，要注意整體代換思想的運(yùn)用，使運(yùn)算更加便捷．2．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用方法根據(jù)不同的已知條件選用兩個(gè)求和公式，若已知首項(xiàng)和公差，則使用公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；若已知通項(xiàng)公式，則使用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)，同時(shí)注意與性質(zhì)“a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…”的結(jié)合使用．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)等差數(shù)列的判定與證明是高考中常見(jiàn)題型，其基本方法是等差數(shù)列的定義，即證明an＋1－an是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，既有選擇題、填空題也有解答題，但以解答題為主，難度不大.[典題領(lǐng)悟](2018·貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．[思維路徑](1)要求數(shù)列的項(xiàng)，可根據(jù)已知首項(xiàng)和遞推關(guān)系式，令n＝1,2可解得．(2)證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，其關(guān)鍵應(yīng)推出eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)為常數(shù)，對(duì)所給條件進(jìn)行必要的變形即可．解：(1)由已知，得a2－2a1則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2由2a3－3a得2a3＝12＋3a2，所以a(2)證明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得eq\f(nan＋1－n＋1an,nn＋1)＝2，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝2，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項(xiàng)eq\f(a1,1)＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．則eq\f(an,n)＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.[解題師說(shuō)]等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對(duì)于任意自然數(shù)n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列[注意]用定義證明等差數(shù)列時(shí)，容易漏掉對(duì)起始項(xiàng)的檢驗(yàn)，從而產(chǎn)生錯(cuò)解．比如，對(duì)于滿足an－an－1＝1(n≥3)的數(shù)列{an}而言并不能判定其為等差數(shù)列，因?yàn)椴荒艽_定起始項(xiàng)a2－a1是否等于1.[沖關(guān)演練]1．(2018·陜西質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，則S7等于()A．13 B．49C．35 D．63解析：選B由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7a2＋a6,2)＝49.2．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，設(shè)bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．證明：∵an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2)，∴an＋1＝2－eq\f(1,an).∴bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2－\f(1,an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－1,an－1)＝1，∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝eq\f(1,2－1)＝1，公差為1的等差數(shù)列．

eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和的最值)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)等差數(shù)列的性質(zhì)在高考中也是?？純?nèi)容.靈活應(yīng)用由定義推導(dǎo)出的重要性質(zhì)，在解題過(guò)程中可以達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的目的.常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和的最值在高考中時(shí)常出現(xiàn)，題型既有選擇題、填空題也有解答題，難度不大.[典題領(lǐng)悟]1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝29，S10＝S20，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為()A．S15 B．S16C．S15或S16 D．S17解析：選A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋eq\f(10×9,2)d＝20a1＋eq\f(20×19,2)d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴當(dāng)n＝15時(shí)，Sn取得最大值．2．(2018·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和為?? ()A．－200 B．－100C．－50 D．0[學(xué)審題]①由函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性知f(x)在(－∞，－1)上也單調(diào)；②結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)知a50＋a51＝－2.解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，所以f(x)在(－∞，－1)上也單調(diào)，且數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝eq\f(100a1＋a100,2)＝50(a50＋a51)＝－100.[解題師說(shuō)]1．應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的2個(gè)注意點(diǎn)(1)如果{an}為等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出現(xiàn)am－n，am，am＋n等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件；若求am項(xiàng)，可由am＝eq\f(1,2)(am－n＋am＋n)轉(zhuǎn)化為求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．(2)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如an＝am＋(n－m)d，d＝eq\f(an－am,n－m)，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(na2＋an－1,2)(n，m∈N*)等．2．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.3．理清等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d可變形為Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，令A(yù)＝eq\f(d,2)，B＝a1－eq\f(d,2)，則Sn＝An2＋Bn.當(dāng)A≠0，即d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，(n，Sn)在二次函數(shù)y＝Ax2＋Bx的圖象上，即為拋物線y＝Ax2＋Bx上一群孤立的點(diǎn)．利用此性質(zhì)可解決前n項(xiàng)和Sn的最值問(wèn)題．[沖關(guān)演練]1．(2018·岳陽(yáng)模擬)在等差數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．95 B．100C．135 D．80解析：選B由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8構(gòu)成新的等差數(shù)列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)nA．6 B．7C．12 D．13解析：選C因?yàn)閍1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以滿足Sn>0的最大自然數(shù)3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，最后6項(xiàng)的和為180，Sn＝324(n＞6)，則數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_______．解析：由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝324，∴18n＝324，∴n＝18.答案：18(一)普通高中適用作業(yè)A級(jí)——基礎(chǔ)小題練熟練快1．(2018·蘭州診斷考試)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，則S9＝()A．36 B．72C．144 D．288解析：選B法一：∵a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1∴d＝eq\f(3,2)，∴S9＝9×2＋eq\f(9×8,2)×eq\f(3,2)＝72.法二：∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9∴S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝72.2．(2018·安徽兩校階段性測(cè)試)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是()A．20 B．36C．24 D．72解析：選C由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋4d＝4，,6a1＋12d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝1，))∴a4＋S7＝8a1＋24d3．(2018·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝()A．21 B．22C．23 D．24解析：選C由3an＋1＝3an－2?an＋1－an＝－eq\f(2,3)?{an}是等差數(shù)列，則an＝eq\f(47,3)－eq\f(2,3)n.∵ak·ak＋1<0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,3)－\f(2,3)k))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq\f(45,2)<k<eq\f(47,2)，又∵k∈N*，∴k＝23.4．(2018·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，則a8＝()A．0 B．－109C．－181 D．121解析：選B設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則d＝b3－b2＝－14，因?yàn)閍n＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝eq\f(7b1＋b7,2)＝7b4＝7×(－2－14)＝－112，又a1＝3，所以a8＝－109.5．(2018·云南11?？鐓^(qū)調(diào)研)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，則a4＝()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)解析：選A依題意得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)為首項(xiàng)、eq\f(1,3)為公差的等差數(shù)列，則eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n,3)，an＝eq\f(3,n)，a4＝eq\f(3,4).6．(2018·東北四市高考模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．9 B．15C．18 D．30解析：選C由an＋1－an＝2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________.解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋eq\f(6×6－1,2)d＝6×6－30＝6.答案：68．等差數(shù)列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，則{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為_(kāi)_______．解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a5＋a6<0，,a5>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5>0，,a6<0，))∴Sn的最大值為S5.答案：S59．若等差數(shù)列{an}的前17項(xiàng)和S17＝51，則a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.解析：因?yàn)镾17＝eq\f(a1＋a17,2)×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.答案：310．在等差數(shù)列{an}中，公差d＝eq\f(1,2)，前100項(xiàng)的和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.解析：因?yàn)镾100＝eq\f(100,2)(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝eq\f(9,10)，a1＋a99＝a1＋a100－d＝eq\f(2,5)，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝eq\f(50,2)(a1＋a99)＝eq\f(50,2)×eq\f(2,5)＝10.答案：10B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．(2018·湖南五市十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝()A．72 B．88C．92 D．98解析：選C法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，∴a1＝1，S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(8a4＋a5,2)＝92.2．(2018·廣東潮州二模)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增一十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢，問(wèn)：幾日相逢()A．8日 B．9日C．12日 D．16日解析：選B設(shè)n日相逢，則依題意得103n＋eq\f(nn－1,2)×13＋97n＋eq\f(nn－1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1125×2，整理得n2＋31n－360＝0，解得n＝9(負(fù)值舍去)，故選B.3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中n∈N*，則下列命題錯(cuò)誤的是()A．若an>0，則Sn>0B．若Sn>0，則an>0C．若an>0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列D．若{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則an>0解析：選D由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：?n∈N*，an>0，則Sn>0，反之也成立．a(chǎn)n>0，d>0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．因此A、B、C正確．對(duì)于D，{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0，而an>0不一定成立．4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)_______．解析：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn有最大值，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,a8>0，,a9<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d<0，,7＋7d>0，,7＋8d<0，))解得－1<d<－eq\f(7,8).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,8)))5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝________.解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2所以a1＝3－m.由Sm＝(3－m)m＋eq\f(mm－1,2)×1＝0，解得m＝5.答案：56．(2018·廣西三市第一次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝eq\f(n＋1,2)，則bn＋1－bn＝eq\f(n＋2,2)－eq\f(n＋1,2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列，∴Tn＝nb1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(n2＋3n,4).7．已知遞增等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且