上海市寶山區(qū)2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學

2023學年第二學期期末高二年級數(shù)學學科教學質(zhì)量監(jiān)測試卷考生注意：1.本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3.在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4.可使用符合規(guī)定的計算器答題.一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分.1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為__________.2.在等差數(shù)列中，，則的值是__________.3.若雙曲線的一條漸近線方程為，則實數(shù)___________．4.若無論實數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為__________.5.經(jīng)過點，且與直線平行的直線的方程為___________.6.已知向量，，則在方向上的投影向量為__________.7.如圖，在四面體中，是的中點，，設(shè)，，，則__________.（用表示）8.中中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.其意思是：有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因為腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了__________里.9.在數(shù)列中，，且，則__________.10.拋物線的焦點為，準線為，點是準線上的動點，若點在拋物線上，且，則（為坐標原點）的最小值為__________.11.已知點在橢圓上，為橢圓右焦點，直線與圓相切，且（為原點），則橢圓的離心率為______.12.我國著名數(shù)學家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學問題的重要思想方法之一.比如：這個代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點可得，方程的解為__________.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分），每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得相應(yīng)滿分，否則一律得多分.13.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.已知直線的方向向量是，平面的一個法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A.⊥ B.C與相交但不垂直 D.或15.已知曲線，過點作該曲線的5條弦，這些弦的長度構(gòu)成一個遞增的等差數(shù)列，則該數(shù)列公差的取值范圍是（）A. B. C. D.16.已知實數(shù)滿足，則取值范圍是（）A. B. C. D.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知直線和直線.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值.18.已知等差數(shù)列首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式：（2）若是數(shù)列的前項和，求的最小值.19.從空間一點出發(fā)作三條兩兩互相垂直的坐標軸，可以建立空間直角坐標系.如果坐標系中的坐標軸不垂直；那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.設(shè)是空間中相互成角的三條坐標軸，其中分別是軸?軸?軸正方向的單位向量.（1）計算的值，（2）若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在該斜坐標系中的坐標.已知①求的值；②求的面積：20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，且.（1）求證：；（2）當為鈍角時，求實數(shù)的取值范圍；（3）若二面角的大小為，求點到平面的距離.21.已知橢圓的離心率為，左?右頂點分別為，左?右焦點分別為，過右焦點的直線交橢圓于點，且的周長為16.（1）求橢圓的標準方程；（2）記直線的斜率分別為，證明：為定值：（3）記的面積分別為，求的取值范圍.2023學年第二學期期末高二年級數(shù)學學科教學質(zhì)量監(jiān)測試卷考生注意：1.本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3.在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4.可使用符合規(guī)定的計算器答題.一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分.1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，從而利用可求傾斜角.【詳解】因為直線的方程為，所以直線的斜率1，令直線傾斜角為，則，因為，所以.故答案為：.2.在等差數(shù)列中，，則的值是__________.【答案】12【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】等差數(shù)列中，，則，所以.故答案為：123.若雙曲線的一條漸近線方程為，則實數(shù)___________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的焦點在軸上的漸近線為即可解決.【詳解】由題知雙曲線的焦點在軸上，所以即解得故答案為：9.4.若無論實數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為__________.【答案】【解析】【分析】變形得到方程組，求出定點坐標.【詳解】令，解得，故經(jīng)過定點坐標為.故答案為：5.經(jīng)過點，且與直線平行的直線的方程為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線平行得到，得到，整理得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，直線方程為，即.故答案為：6.已知向量，，則在方向上的投影向量為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量定義和向量坐標運算直接求解即可.【詳解】，又，在方向上的投影向量為.故答案為：.7.如圖，在四面體中，是的中點，，設(shè)，，，則__________.（用表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算直接求解即可.【詳解】為中點，；，；.故答案為：.8.中中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.其意思是：有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因為腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了__________里.【答案】96【解析】【分析】由等比數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】由題意，此人每天走的路程可以構(gòu)成等比數(shù)列，公比，，因為，解得，所以（里）.故答案為：96.9.在數(shù)列中，，且，則__________.【答案】5【解析】【分析】用累加法求解.【詳解】，，…，各式累加得.故答案為：5.10.拋物線的焦點為，準線為，點是準線上的動點，若點在拋物線上，且，則（為坐標原點）的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合拋物線的定義求出，設(shè)點關(guān)于直線對稱點為，則，從而可求出的最小值.【詳解】由，得，所以，準線為，不妨設(shè)點在第一象限，過作于，則，得，則，得，所以，設(shè)點關(guān)于直線對稱點為，則，所以，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為，故答案為：11.已知點在橢圓上，為橢圓的右焦點，直線與圓相切，且（為原點），則橢圓的離心率為______.【答案】【解析】【分析】如圖，左焦點為，由幾何性質(zhì)得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及橢圓定義建立齊次式，從而求得離心率.【詳解】如圖所示，左焦點為，設(shè)圓的圓心為，切圓C于A，則半徑.∵，∴，則，∴，∴，化簡得.∴橢圓的離心率為.故答案為：.12.我國著名數(shù)學家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學問題的重要思想方法之一.比如：這個代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點可得，方程的解為__________.【答案】【解析】【分析】將原方程配方，方程的解轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的交點的縱坐標。【詳解】原方程可化為，其幾何意義為點到，距離之差的絕對值等于，則該點的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：，，，所以，又因為雙曲線焦點在軸上，所以雙曲線的標準方程為：，令得，所以原方程的解為。故答案為：二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分），每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號涂黑，選對得相應(yīng)滿分，否則一律得多分.13.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，可求得t的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為曲線為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B14.已知直線的方向向量是，平面的一個法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A.⊥ B.C.與相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，所以，進而可以得到與的關(guān)系.【詳解】因為，所以，所以或.故選：D.15.已知曲線，過點作該曲線的5條弦，這些弦的長度構(gòu)成一個遞增的等差數(shù)列，則該數(shù)列公差的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系求出最短弦長和最長弦長，然后利用等差數(shù)列基本量運算求解即可.【詳解】曲線，即由已知圓的圓心為，半徑為，因為，所以點在圓內(nèi)，且，所以過點的最短弦長為，最長弦長為直徑長，從而公差.故選：B16.已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】去絕對值分別列出每個象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.【詳解】當，表示橢圓第一象限部分；當，表示雙曲線第四象限部分；當，表示雙曲線第二象限部分；當，不表示任何圖形；以及兩點，作出大致圖象如圖：曲線上的點到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，直線與距離為，曲線二四象限上的點到的距離為小于且無限接近1，聯(lián)立，消得，，且，所以直線與橢圓第一象限部分由兩個交點，考慮曲線第一象限的點到距離得最小值為，所以，所以的取值范圍是.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題問題的關(guān)鍵是確定方程表示的圖形，以及通過曲線上的點到直線的距離為的取值范圍，間接求解的取值范圍.三?解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知直線和直線.（1）若，求實數(shù)值；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式，即可求解；（2）根據(jù)兩直線平行，，求解，再代回直線驗證.【小問1詳解】若，則，解得或2；【小問2詳解】若，則，解得或1.時，，滿足，時，，此時與重合，所以.18.已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為，且是3與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式：（2）若是數(shù)列的前項和，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比中項的性質(zhì)即可得，再由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式代入化簡可求出，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）由裂項相消法求和即可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可求得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，即，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由，.因為，即，所以為嚴格增數(shù)列，所以時，有最小值.19.從空間一點出發(fā)作三條兩兩互相垂直的坐標軸，可以建立空間直角坐標系.如果坐標系中的坐標軸不垂直；那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.設(shè)是空間中相互成角的三條坐標軸，其中分別是軸?軸?軸正方向的單位向量.（1）計算的值，（2）若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在該斜坐標系中的坐標.已知①求的值；②求的面積：【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)量積定義求解；（2）①根據(jù)數(shù)量積定義求的值；②求出各邊長，再求其面積.【小問1詳解】同理，所以.【小問2詳解】①，，所以②，同理，，，等腰三角形中，可計算得邊上的高為，所以的面積為.20.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，且.（1）求證：；（2）當為鈍角時，求實數(shù)的取值范圍；（3）若二面角的大小為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，由，即可證明；（2）首先求出點坐標，即可表示出，，依題意可得，即可求出的取值范圍；（3）利用空間向量法求出二面角二余弦值，即可求出，從而得到平面的法向量，再由向量法求出點到平面的距離.【小問1詳解】因為底面為正方形，底面，如圖以點為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，所以，因為，所以；【小問2詳解】因為，所以，所以，，當為鈍角時，，化簡得，解得，顯然不平行，所