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文檔簡介
第4節(jié)一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性
第3章一、函數(shù)的單調(diào)性若定理1.
設(shè)函數(shù)則在I
內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:
無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I
內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I
內(nèi)可導(dǎo),證畢例1.
確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,
則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,定義.
設(shè)函數(shù)在區(qū)間
I
上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、函數(shù)的凹凸性連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點
.拐點定理2.(凹凸判定法)(1)在
I內(nèi)則f(x)在I
內(nèi)圖形是凹的;(2)在
I內(nèi)則f(x)在
I
內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例2.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,例3.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)
為曲線的拐點.凹凸對應(yīng)例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)
及均為拐點.凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I
上單調(diào)遞增在
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