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習(xí)題課一、重積分計算的基本方法二、重積分計算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用
第7章重積分的計算及應(yīng)用一、重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:
面、線、點)3.掌握確定積分限的方法—累次積分法例1.計算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:
利用極坐標(biāo)原式二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號4.利用擴(kuò)展積分域進(jìn)行計算則提示:如圖,由對稱性知在上是關(guān)于y的奇函數(shù)在上是關(guān)于
x
的偶函數(shù)A例2.例3.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個的另一邊長度應(yīng)為多少?提示:
建立坐標(biāo)系如圖.由已知可知由此解得問接上去的均勻矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圓心上,例4.
計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)
利用對稱性.圍成.(2)
積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例5.計算二重積分在第一象限部分.解:(1)兩部分,則其中D為圓域把D分成作輔助線(2)提示:兩部分說明:若不用對稱性,需分塊積分以去掉絕對值符號.作輔助線將D分成例6.求拋物線所圍區(qū)域
D的面積A.解:如圖所示注:則也可利用上述方法簡化計算.上可積,例7.交換積
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