2024-2025學(xué)年貴州省六盤水市高三（上）第一次診斷數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年貴州省六盤水市高三（上）第一次診斷數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={x|x+1≤3}，N={0,1,2,3,5}，則M∩N=(

)A.{1,2} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{1,2,3,5}2.已知復(fù)數(shù)z=3+i(i是虛數(shù)單位)，則|z?2i|=A.1 B.2 C.2 D.3.“對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(0,+∞)都有x+4x≥a”是“a<4”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(3,1)，則tan2α=(

)A.?45 B.?35 C.5.若a=log352，b=(15)?0.1，c=(25A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a6.函數(shù)y=|cosx|+cos|x|的值域?yàn)?

)A.[?2,2] B.[?1,1] C.[0,2] D.[0,1]7.已知a>0>b且a+b>0，則(

)A.a3<b3 B.a2<8.已知拋物線E：y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,3)到其焦點(diǎn)的距離是它到y(tǒng)軸距離的2倍，若拋物線E的焦點(diǎn)與雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)重合，過(guò)雙曲線C左右頂點(diǎn)A.3 B.2 C.62二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,0<φ<π2,0<ω<π)的最大值為3，且f(0)=32，A.f(x)=3cos(2x+π3) B.f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是x=π12

C.f(x)在[?π10.圖(1)是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象.由于目前本條線路虧損，公司管理者提出兩種扭虧為贏的建議，具體方案分別用圖(2)和圖(3)表示，則(

)

A.圖(1)中乘客量為1.5單位時(shí)，收支持平

B.圖(1)中當(dāng)乘客量為0時(shí)，虧損1單位

C.圖(2)的建議可能為：提高票價(jià)并降低成本

D.圖(3)的建議可能為：降低成本而保持票價(jià)不變11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)=f(2?x)，f(x+2)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱.當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=aex+b，若f(2)+f(3)=1?e，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)的周期為4 B.f(x)的圖象關(guān)于(4,0)對(duì)稱

C.f(2025)=1?e D.當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α為銳角，且sin(3π2+α)=?3513.函數(shù)f(x)=f′(1)x2?lnx的圖象在點(diǎn)(1,f(1))14.函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[2]=2，[3.01]=3，[?1.68]=?2，則滿足方程[x+2]=x2的所有實(shí)數(shù)x組成的集合為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

六盤水紅心獼猴桃因富含維生素C及K、Ca、Mg等多種礦物質(zhì)和18種氨基酸，被譽(yù)為“維C之王”.某果農(nóng)通過(guò)不斷學(xué)習(xí)獼猴桃先進(jìn)種植技術(shù)，2017年至2023年的年利潤(rùn)y與年份代號(hào)x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該果農(nóng)的年利潤(rùn)與年份代號(hào)之間呈線性相關(guān)關(guān)系)．年份2017201820192020202120222023年份代號(hào)x1234567年利潤(rùn)y(單位：千元)29333644485259(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該果農(nóng)2024年的年利潤(rùn)；

(2)當(dāng)某年利潤(rùn)的實(shí)際值大于該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，該年為甲級(jí)利潤(rùn)年，否則為乙級(jí)利潤(rùn)年.現(xiàn)從2019年至2023年這5年中隨機(jī)抽取3年，求恰有1年為甲級(jí)利潤(rùn)年的概率．

參考公式：回歸方程y?=b?x+a?中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=i=116.(本小題15分)

已知△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且tanC=3tanB．

(1)若a=2b，求C；

(2)若a=6，b+c=3，求△ABC的面積．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，且PB=AB=BC=1，AD=12，M為PA中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)M到直線PC的距離；

(2)求平面PAD與平面PBC所成夾角的余弦值．18.(本小題17分)

近年來(lái)，六盤水市認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場(chǎng)需求，深挖冷水魚產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢(shì)潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向.為擴(kuò)大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場(chǎng)計(jì)劃在如圖所示的扇形區(qū)域OMN內(nèi)修建矩形水池ABCD，矩形一邊AB在OM上，點(diǎn)C在圓弧MN上，點(diǎn)D在邊ON上，且∠MON=π3，OM=30米，設(shè)∠COM=α．

(1)求扇形OMN的面積；

(2)求矩形ABCD的面積S(α)；

(3)當(dāng)α為何值時(shí)，S(α)取得最大值，并求出這個(gè)最大值．19.(本小題17分)

設(shè)?′(x)為?(x)的導(dǎo)函數(shù)，若?′(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱?(x)為D上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=?sinx+ax2+ax．

(1)若f(x)為[0,π2]上的“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)a=?1參考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.C

7.D

8.C

9.AC

10.ABD

11.AB

12.4513.y=x

14.{?1,15.(1)根據(jù)表中的數(shù)列，計(jì)算可得y?=17i=17yi=17×301=43，x?=1+2+3+4+5+6+77=4，

所以b=i=17(xi?x?)(yi?y?)i=17(xi?x?)2=14028=5，

故a=y??bx?=43?5×4=23，

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=5x+23，

當(dāng)16.解：(1)因?yàn)閠anC=3tanB，

所以sinCcosC=3sinBcosB，則sinCcosB=3sinBcosC，

因?yàn)閍=2b，由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

所以2sinB=4sinBcosC，由B為三角形內(nèi)角，故sinB≠0，

所以cosC=12，又0<C<π，

故C=π3；

(2)由(1)知，sinCcosB=3sinBcosC，

則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，

由正弦定理可得a=4bcosC，

由a=6，且cosC=a2+b2?c22ab=6+b2?c226b17.解：(1)因?yàn)锳B⊥AD，AD//BC，所以AB⊥BC，

因?yàn)镻B⊥平面ABCD，AB、BC?平面ABCD，

所以PB⊥AB且PB⊥BC，

所以可以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B?xyz，

則由題意，M(12,0,12),P(0,0,1),C(0,1,0)，

A(1,0,0),D(1,12,0),B(0,0,0)，

所以MP=(?12,0,12),PC=(0,1,?1),PA=(1,0,?1)，

AB=(?1,0,0),AD=(0,12,0)，

所以PC|PC|=12(0,1,?1)，

MP?PC|PC|=(?12,0,12)?12(0,1,?1)=?122，又MP2=12，

故點(diǎn)M到直線PC的距離為MP2?(MP?PC|PC|)2=(1218.解：扇形區(qū)域OMN內(nèi)修建矩形水池ABCD，矩形一邊AB在OM上，

點(diǎn)C在圓弧MN上，點(diǎn)D在邊ON上，且∠MON=π3，OM=30米，設(shè)∠COM=α；

(1)由題意，∠MON=π3，扇形半徑即OM=30米，

則扇形OMN的面積為12×π3×302=150π平方米；

(2)在Rt△OBC中，BC=30sinα，OB=30cosα，

在Rt△OAD中，AD=BC=30sinα，則OA=AD3=33×30sinα，

∴AB=OB?OA=30cosα?103sinα，

則停車場(chǎng)面積：

S(α)=AB?BC=30sinα(30cosα?103sinα)

=3003(3sinαcosα?sin2α)=1503(3sin2α+cos2α?1)19.解：(1)由f(x)=?sinx+ax2+ax，則f′(x)=?cosx+2ax+a．

由題意可知，f(x)為x∈[0,π2]上的“凸函數(shù)”，

則f′(x)在區(qū)間x∈[0,π2]上單調(diào)遞減，設(shè)φ(x)=f′(x)，

則φ′(x)=sinx+2a，所以sinx+2a≤0在x∈[0,π2]恒成立，

則2a≤?sinx在x∈[0,π2]恒成立，

又當(dāng)x=π2時(shí)，函數(shù)y=?sinx取最小值，且最小值為?1，

所以有2a≤?1，解得a≤?12，

即a的取值范圍為(?∞,?12]．

(2)證明：當(dāng)a=?1時(shí)，由f(x+1)=?sin(x+1)?(x+1)2?(x+1)得

g(x)=?sin(x+1)?(x2+2x+1)?(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2=?sin(x+1)+ln(x+2)．

令H(x)=g(x?1)=?sinx+ln(x+1)，x>?1，其中H(0)=0，

則H′(x)=?cosx+1x+1，其中H′(0)=0．

①當(dāng)x≥2時(shí)，H(x)=?sinx+ln(x+1)≥?1+ln3>0，

故H(x)在[2,+∞)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)π2≤x<2時(shí)，由?cosx≥0,1x+1>0，則H′(x)>0，

故故H(x)在[π2,2)單調(diào)遞增，

H(π2)=?sinπ2+ln(π2+1)<0，且H(2)=?sin2+ln3>